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南京市秦淮中学一轮复习专题-----三角中结构不良题型解题策略探究
编者的话：（1）三角中解题总体抓住“角，名，形，幂”四个字的和谐与统一。角能不能统一，不能统一，能不能利用角的关系转化或者减少角的个数，函数名能不能统一？充分利用诱导公式以及辅助角公式，统一函数名，以达到简化式子的目的。式子的形状接近正弦定理，还是余弦定理，是两角和差（阔阔撒撒，还是撒阔阔撒）这一款，还是和差乘积平方切换这一款，等等，抓住式子的形状转化化归，以达到简化条件之目的。至于幂，往往升幂半角，降幂倍角以达到角的统一，以及涉及常数1的代换问题。
（2）一般涉及解三角形问题，我们一定得回归到三角形中。有什么，要什么，作出方案的选择，加以优化，从而达到提高解题速度之目的。
引例：
1.【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
例题讲解：
例1：在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且
【解析】给定条件复杂，选项简单，需要对给定条件进行分析，再做出初步判断
由且正弦定理得
在中,
且
方案一：选条件①．得由正弦定理得由
因此不存在这样的三角形
方案二：选条件②，由正弦定理
这个与
符合，因此不存在这样的三角形。此时
方案三：选条件③．，，由正弦定理
这个与符合
由余弦定理得代入解之得或者
当时，当时
因此存在这样的三角形。
例2【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．由和余弦定理得．
由及正弦定理得．于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
课堂练习：
1.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且面积为，且，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
在中,
方案一：选条件①．得（三角及其一边对角）
由正弦定理得，此时周长为
方案二：选条件②综合题意：解答出，结合得。即显然不存在这样的三角形。
方案三：选条件③，又又根据余弦定理
，此时周长为
2.在①②
③这三个条件中任选一个,补充在面问题中,然后补充在下面的问题中，并加以解答
在中，内角所对的边分别为a,b,c.且满足______________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求(2)已知,的外接圆半径为，求在的边AB上的高h
【解析】(1)方案一：选条件①．
且正弦定理
即
在中,
在中,
在中,
方案二：选条件②．由降幂得
解得或在中,
方案三：选条件③．
且正弦定理
在中,
在中,
(2)
由于（1）中三个选项所得答案由正弦定理得
由余弦定理得代入
得于是的面积
课后练习
3.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，A＝，b＝，求△ABC的面积．
【解析】方案一：选条件①．由
则根据余弦定理得
方案二：选条件②．由且正弦定理得
方案三：选条件③．由得
在选择条件①②③都解得的前提下
由正弦定理得，又
的面积
4．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______，且，，成等差数列，则是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．∵，∴，
即，解得（舍去）或．
∵∴或，又∵，，成等差数列，∴，∴不是三角形中最大的边，即，由，得，即，
故是等边三角形．
方案二：选条件②．由正弦定理可得，
故．整理得．
∵，∴．即．∵．∴．
又∵，，成等差数列．∴．由余弦定理．可得，即．故是等边三角形．
方案三：选条件③．由正弦定理得，∵，∴．
即，∵，∴，即，可得．
由余弦定理．可得，即．故是等边三角形．
5．在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在中，角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值．
【分析】
（1）若选①，根据向量数量积的坐标表示，以及余弦定理，即可求出角；若选②，根据正弦定理，化简整理，即可求出角；若选③，先将条件化简，得到，即可求出角；
（2）先由余弦定理，根据（1）的结果，得到，再由基本不等式，求出，即可得出周长的最值.
【详解】
（1）方案一：选条件①．由，得，
即，所以，
……………………
3分
又因为，所以，因此．
……………………
5分
方案二：选条件②根据正弦定理，由得，
又因为，
所以，又因为，
所以，又因为，所以．
……………………
5分
方案三：选条件③∵，，且，
∴．
……………………
2分
化简得，，由余弦定理得，
又因为，∴．
……………………
5分
（2）由余弦定理，得．
又∵，∴，当且仅当时等号成立.………………
7分
∴，解得，，
当且仅当时，等号成立．
∴．
∴的周长的最大值为12．
……………………
10分
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．
请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：方案一：选条件①．
由正弦定理可将化为：
又，所以
所以即，
，
所以（当时取到等号）
所以面积的最大值为2.
方案二：选条件②由正弦定理可将化为：
又，所以
所以
即，又，
又由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号）
所以面积的最大值为.
方案三：选条件③因为，所以（当且仅当时取等号）又由余弦定理得：
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
所以面积的最大值为.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．现在以下三个条件：①(2c＋b)cosA＋acosB＝0；②sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0；③a2﹣b2﹣c2＝S．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．
已知向量＝(4sinx，)，＝(cosx，sin2x)，函数，在△ABC中，a＝，且
，求2b＋c的取值范围．
【解析】由题意得
【解析】方案一：选条件①．．(2c＋b)cosA＋acosB＝0；且正弦定理
即
因为C为三角形内角，sinC＞0，可得，因为，可得．
方案二：选条件②．
若sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，因为，可得．
方案三：选条件③．
③若a2﹣b2﹣c2＝S，则，
所以，可得，因为，可得．
由正弦定理
，，，即2b＋c的取值范围为．

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