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第3节　万有引力理论的成就
1．“称量”地球的质量
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G。
(2)地球质量m地＝，即只要知道引力常量G、地球半径R、地球表面的重力加速度g的值就能计算地球的质量。
2．计算天体的质量
(1)计算太阳的质量：行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力由它们之间的万有引力提供，G＝mr，得m太＝，只要测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就能计算太阳的质量。
(2)计算其他天体的质量：只要测得卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，就可以计算行星的质量。
3．发现未知天体
(1)海王星的发现：18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差。英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出“新”行星的轨道。1846年，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。
(2)其他未知天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
4．预言哈雷彗星回归
(1)英国天文学家哈雷预言哈雷彗星回归的周期为76年。海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
(2)牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。万有引力定律还可以用于分析地面重力加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。
典型考点一　　　万有引力与重力的关系
1．(多选)下列关于地球表面上万有引力与重力的关系，说法正确的是(　　)
A．在任何地方重力等于万有引力，方向都指向地心
B．地球两极处万有引力等于重力，即mg＝F＝G
C．在地球除两极的其他位置，重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg>G
D．赤道上万有引力等于重力和向心力之和，即G＝mω2R＋mg
答案　BD
解析　在赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即G＝mω2R＋mg，故D正确；在地球两极处：向心力为零，所以重力等于万有引力，即mg＝F＝G，故B正确；在除两极的其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg典型考点二　　　天体质量和密度的计算
2．(多选)要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有(　　)
A．已知地球半径R
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
D．已知地球公转的周期T′及运动半径r′
答案　ABC
解析　设相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G＝mg，解得M＝，所以A正确；设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运动的向心力，可得＝m，即M＝，所以B正确；再根据T＝，得M＝＝＝，所以C正确；若已知地球公转的周期T′及运动半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以D错误。
3．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，则可估算月球的(　　)
A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期
答案　A
解析　由万有引力提供向心力有G＝mr，由于在月球表面附近轨道有r＝R，则月球质量M＝＝，由球体体积公式V＝πR3以及M＝ρV，联立解得月球的密度ρ＝，故A正确。
4．(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
答案　AB
解析　根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，A正确；由mg月＝G解得m月＝，B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，C错误；月球的平均密度ρ＝＝，D错误。
5．为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6.0×1024 kg，日地中心距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g＝10 m/s2,1年约为3.2×107 s，但引力常量G未知。试估算目前太阳的质量M。(结果保留两位有效数字)
答案　1.9×1030 kg
解析　设地球绕太阳运动的周期为T，则由太阳对地球的引力提供地球围绕太阳做圆周运动的向心力得G＝mr
设在地球表面附近有质量为m′物体，则G＝m′g
联立解得M＝m2＝6.0×1024×2× kg≈1.9×1030 kg。
典型考点三　　　发现未知天体
6．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是(　　)
A．天王星和海王星，都是运用万有引力定律，经过大量计算以后而发现的
B．在18世纪已经发现的七颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差
C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的
D．天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
答案　B
解析　天王星是在1781年发现的，而卡文迪许测出引力常量是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算，故A错误，B正确；太阳系的第八颗行星即海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道和位置，由德国的伽勒首先发现的，故C、D错误。
典型考点四　　　双星问题
7．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。如图所示，某双星系统中A、B两颗恒星围绕它们连线上的固定点O分别做匀速圆周运动，在运动中恒星A、B的中心和O三点始终共线，下列说法正确的是(　　)
A．恒星A的角速度比恒星B的角速度小
B．恒星A的线速度比恒星B的线速度小
C．恒星A受到的向心力比恒星B受到的向心力小
D．恒星A的质量比恒星B的质量小
答案　D
解析　由于二者具有相同的周期，故二者角速度ωA＝ωB，故A错误；根据公式v＝ωr，由于二者角速度相同，A的轨道半径大，则恒星A的线速度比恒星B的线速度大，故B错误；恒星A受到的向心力和恒星B受到的向心力均由二者之间的万有引力提供，而万有引力大小相等，故二者受到的向心力大小相等，故C错误；根据上面的分析可知：mAω2rA＝mBω2rB，由于rA>rB，故mA

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