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函数高考大题的类型与解法
函数问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个函数问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来函数大题问题主要包括：①运用导函数探导函数的性质并求函数的极值（或最值）；②运用导函数求方程的根（或确定函数的零点）；③运用导函数证明不等式；④运用导函数，求函数满足某一条件时，解析式中参数的值（或取值范围）；⑤运用导函数求解与函数相关的应用问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=a+
-2x，其导函数为（x），且（-1）=0。
（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值（2019成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数在某点导函的定义与基本求法；②函数在某点导数的几何意义；③求曲线在某点切线方程的基本方法；④函数导函数的定义与基本求法；⑤运用导函数判断函数在区间上单调性的基本方法；⑥运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出导函数（x），结合问题条件得到关于参数a的方程，求解方程得出a的值，根据求函数在某点导数的基本方法和函数在某点导数的结合意义，求曲线在某点切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；
（2）根据导函数为（x）在［-1,1］上的取值，确定函数f(x)
在［-1,1］上的单调性，利用由导函数求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值。
【详细解答】（1）（x）=3a+x-2，（-1）=3a-1-2=0，a=1，函数
f(x)=+
-2x，（x）=3+x-2，（1）=3+1-2=2，
f(1)=1+-2=-，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：y+=2(x-1)，即：2x-y-=0；（2）（x）=3+x-2，令（x）=0得：x=-1或x=，
函数（x），f(x)在［-1,1］上随自变量x的变化情况如表所示：
f(-1)=-1++2
x
-1
（-1,
）
（，1）
1
=，f()=+-=-，
（x）
0
<0
0
>0
>0
f(1)=1+-2=-，函数
f(x)
-
-
f(x)在［-1,1］上的最大值为，最小值为-。
2、（理）已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
（文）已知函数f(x)=2-a+2。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数的导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④求解探索性问题的基本方法；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出导函数（x），根据结合问题条件得到关于参数a的方程，求解方程得出a的值，根据参数分类讨论的原则与基本方法和由函数的导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数的单调性；
（2）（理）根据求解探索性问题的基本方法和由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)在区间［0，1］上的最大值和最小值，结合问题条件就可得出结论。（文）根据由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)
在［0,1］上的最大值和最小值，从而得到关于参数a的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出函数f(x)在［0,1］上的最大值和最小值之差的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=6-2ax，函数（x）图像的对称轴为x=，与X轴的两个交点为（0，0），（，0），①当a>0时，（x）>0在（-，0）（，+）上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，
函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；②当a=0时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；③当a<0时，（x）>0在（-，）（0，+）上恒成立，（x）<0在（，0）上恒成立，
函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；综上所述，当a>0时，函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；当a=0时，函数f(x)在R上单调递增；当a<0时，函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）（理）设存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1，①当0<<1，即00
在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减，
f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，=
f()=-+b
=-+b，=2-a+b（0函数f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1，-+b=-1，2-a+b=1或b=1，此时没有满足条件的a，b的值存在；②当1，即a3时，（x）<0在[0，1]上恒成立，函数f(x)在[0，1]上单调递减，=
f(1)=
2-a+b
=-1，=
f(0)=
b=1，a=4，b=1；③当a=0时，（x）0在[0，1]上恒成立，函数f(x)在[0，1]上单调递增，=
f(0)=
b
=-1，=
f(1)=
2-a+
b=1，a=0，b=-1；④当a<0时，（x）>0在[0，1]上恒成立，函数f(x)在[0，1]上单调递增，=
f(0)=
b
=-1，=
f(1)=
2-a+
b=1，此时没有满足条件的a，b的值存在，综上所述，存在a=4，b=1或a=0，b=-1，使得函数f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1。
（文）0＜a＜3，0<<1，（x）>0在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减，
f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，=
f()=-+b=-+b，=2-a+b（0设g(a)=
-a+2，(a)=
-1=<0在（0，2）上恒成立，函数g(a)在（0，2）上单调递减，<
g(0)=0-0+2=2，>
g(,2)=
-2+2=，函数g(a)的值域为（，2）；②当2a<3时，M==b，m==-+b，M-m=，
设g(a)=
，(a)=
>0在[2，3）上恒成立，函数g(a)在[2，3）上,单调递增，
<
g(3)=1，=g(2)=
，函数g(a)的值域为[，1），综上所述，
若函数f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，则M-m的取值范围是[，2）。
3、设函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，cR，（x）为f(x)的导函数。
（1）若a=b=c，f(4)=8，求a的值；
（2）若a
b，b=c，且（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，求f(x)的极小值；
（3）若a=0，01，c=1，且f(x)的极大值为M，求证：M（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）由a=b=c得到函数f(x)含参数a的解析式，结合问题条件得到关于参数ad的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由a
b，b=c得到函数
f(x)含参数a，b的解析式，根据（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中得到关于参数a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，利用函数导函数求函数极值的基本方法求出函数f(x)的极小值；（3）由a=0，01，c=1得到函数f(x)含参数b的解析式，运用函数导函数求函数极值的基本方法得出函数f(x)的极大值关于参数b的函数，设函数g(b)，根据求函数最值的基本方法求出函数g(b)在（0，1]上的最大值，从而证明结论。
【详细解答】（1）
a=b=c，
函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c）=
，
f(4)=
=8，,
a=2；（2）
a
b，b=c，函数f(x)=（x-a）（x-b）（x-c）=（x-a），（x）=3（x-b）（x-），令（x）=0，f(x)=0得：x=a或x=b或x=，（x）和f(x)的零点均在集合{-3，1，3}中，a
b，=1，a=3，b=-3，函数f(x)=（x-3）=，（x）=3（x-1）（x+3），令（x）=0得：x=1或x=-3，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示：
x
（-，-3）
-3
（-3，1）
1
（1，+）
=
f(1)=（1-3）=-32；
（x）
>0
=0
<0
=0
>0
（3）
a=0，01，c=1，函数
f(x)
0
-32
f(x)=（x-a）（x-b）（x-c）=x（x-b）（x
-1）=-（b+1）+bx，（x）=3-2（b+1）x+b，01，=4-12b
=+3>0，令（x）=0得：=，=，函数
（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示：M==
f()=-（b+1）+b
=[3-2（b+1）+b]（-）
x
（-，）
（，）
（，+）
-+
（x）
>0
=0
<0
=0
>0
=++
f(x)
=-++，
若a=0，01，c=1，且f(x)的极大值为M，则M。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导函数探导函数的性质，并求函数的极值（或最值）问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，函数的极值，函数的最值的定义，掌握运用函数导函数求函数单调区间（或判断函数单调性），函数极值，函数最值的基本方法；
（2）判断函数的单调性（或求函数的单调区间），可将问题转化为求解不等式（x）0（或（x）0）或证明（x）0（或（x）0）在区间上恒成立的问题；
（3）解答含参数的函数极值或函数最值问题关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，需要注意结合导函数图像的性质进行分析。
「练习1」解答下列问题：
1、已知函数f(x)=+a+bx+在x=1处有极值4（2018成都市高三零诊）。
（1）求实数a，b的值；
（2）当a＞0时，求曲线y=f(x)在点（-2，f（-2））处的切线方程。
2、已知函数f(x)=
cosx-x（2017全国高考北京卷）。
（1）求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间［0，］上的最大值和最小值。
3、（理）设函数f(x)=x+bx，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=(e-1)x+4.
（1）求a，b的值；
（2）求f(x)的单调区间。
（文）设函数f(x)=+a+bx+c。
（1）求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f(x)有三个不同的零点，求c的取值范围；
（3）求证：-3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件（2016全国高考北京卷）
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=
-2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y=
f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。
（文）已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y=
f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y=
f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（文）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线y=
f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）（理）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。（文）利用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】（1）（理）当a=1时，
f(x)=
-2-2x，(x)=2-2-2=2（--1），
(0)=2（1-1-1）=-2，
f(0)=1-2-0=-1，曲线y=
f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：y+1=-2(x-0)，2x+y+1=0；（文）当a=2时，
f(x)=
2--1，(x)=2-=，(0)=21-1=1，
f(0)=
21-0-1=1，曲线y=
f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为：y-1=(x-0)，x-y+1=0；（2）（理）(x)=2-2a-2a=2（-a-a），令t=，t（0，+），(t)=2（-at-a），
a>0，存在唯一的（0，+），使()=0，即存在R，使=，且()=0，当x（-，）时，(x)<0，当x（，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，当x
-时，-2a
0，-2ax
+，
f(x)
+，当x
+时，（-4a
）+，
f(x)
+，函数f(x)有唯一零点，=f
()=-2a-2a=0，且()=2-2
a-2a=0，+2-1=0，设g(x)=
+2x-1，
(x)=
+2>0在R上恒成立，函数g(x)在R上单调递增，
g(0)=
1+0-1=0，方程+2-1=0有唯一解=0，2-2
a-2a=0，a=，当函数f(x)有唯一零点时，实数a=。（文）函数f(x)有唯一零点，
方程+
=a有唯一一解，设g(x)=
+
，（x）=-+=，令h(x)=1-2x-，(x)=-2-<0在R是恒成立，函数h(x)在R上单调递减，h(0)
=1-0-1=0，当x(-，0)时，（x）>0，当x(0，+)时，（x）<0，函数g(x)在(-，0)上单调递增，在(0，+)上单调递减，=
g(0)=1+0=1，当x(-，0)时，
g(x)(-，1]，当x(0，+)时，
g(x)(-，1]，
a>0，当方程+
=a有唯一一解时，a=1，当函数f(x)有唯一零点时，实数a的值为1。
2、（理）设函数f(x)=
+bx+c，曲线y=
f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。
（文）已知函数f(x)=
-kx+
。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有三个零点，求k的取值范围（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④参数分类讨论的原则与基本方法；⑤函数零点的定义与性质；⑥求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数在某点导数的求法和函数在某点导数的几何意义，结合问题条件得到关于参数b的方程，求解方程就可求出b的值；（文）运用求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x）含参数k的解析式，根据参数分类讨论的原则与基本方法分别判断函数f(x)的单调性就可得出结果；（2）（理）由（1）得到函数f(x)含参数c的解析式，从而得到导函数（x）的解析式，根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到参数c的取值范围，利用参数分类讨论的原则与基本方法分别求出函数f(x)的两点就可证明结论。（文）由（1）知函数f(x)有三个零点，k>0，利用函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于参数k的不等式组，求解不等式组就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】（1）（理）（x）=3+b，（）=3+b=+b，曲线y=
f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直，（）=+b=0，即b=-；（文）（x）=3-k，①当k0时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当k>0时，令（x）=0得：x=-或x=，（x）>0在（-，-），（，+）上恒成立，（x）<0在（-，）上恒成立，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减，综上所述，当k0时，函数f(x)在R上单调递增；当k>0时，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减。（2）由（1）得：f(x)=
-x+c，（x）=3-，令（x）=0解得：x=-或x=，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示，
f（1）=1-+c=+c，f（-）=-
+
+c=+c，
f（-1）=-1++c=-+c，f（）=
-+c=-+c，当c<-时，函数f(x)
只有大于1的零点，当c>时，函数f(x)只有
小于-1的零点，函数f(x)有一个
x
（-，-）
-
（-，）
（，+）
绝对值不大于1的零点，-
（x）
>0
=0
<0
=0
>0
c，①当c=时，
f(x)
f(x)
+c
-+c
=
-x+=（x+1），函数f(x)有-1和两个零点；②当-0f（-）=+c<，-
f（）=-+c<0，
函数f(x)有三个不同的零点，，，且-1<<-，-<<，<<1；③当c=-时，
f(x)=
-x-=（x-1），函数f(x)有1和-两个零点，综上所述，若函数f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则函数f(x)所有零点的绝对值都不大于1。（文）由（1）知函数f(x)有三个零点，必有k>0，函数（x），f(x)随自变量x的变化情况如表所示，
f（-）
=-++
x
（-，-）-（-，）
（，+）
=，（x）
>0
=0
<0
=0
>0
f（）=
f(x)
-+=，>0①，且<0②，联立①②解得：03、设函数f(x)=axlnx-x+
，a
0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
（文）若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤确定函数零点的基本方法；⑥运用导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出函数（x）含参数a的解析式，根据参数分类讨论的原则与基本方法，结合问题条件分别对参数a的不同取值判断函数的单调性就可得出结果；（2）（理）当a＞0时，根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于，的方程组，从而得到关于，的等式，代入原不等式，令t=(0【详细解答】（1）（x）=alnx+a-1，①当a>0时，令（x）=0得，x=，（x）<0在（0，）上恒成立，（x）>0在（，+）上恒成立，函数f(x)
在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；②当a<0时，令（x）=0得，x=，（x）>0在（0，）上恒成立，（x）<0在（，+）上恒成立，函数f(x)
在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，综上所述，当a>0时，函数f(x)
在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；当a<0时，函数f(x)
在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），aln-+=0，且aln-+=0，
aln=
，且aln=，aln=-=，0<＜，0<<1，
ln<0，a=，7+＞7a，7+＞，<，<，令t=(02lnt-，（t）=-=>0在（0，1）
上恒成立，函数g(t)
在（0，1）上单调递增，<
g(1)=0-0=0，当0alnx-1++＞0成立，存在x∈（1，e］，使alnx-1+
＞0成立,
x∈（1，e］，
lnx>0,
存在x∈（1，e］，使a
＞成立,设g(x)=
，（x）
==，令h(x)=
，（x）=-1+=<0
在（1，e］上恒成立，函数h(x)
在（1，e］上单调递减，
<
h(1)=-1+0+1=0，（x）<0在（1，e］上恒成立，函数g(x)
在（1，e］上单调递减，=g(e)
=
，a>，即：若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，则实数a的取值范围是（，+）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
（2）求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
「练习2」解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，
(x)为f(x)的导函数。证明：
（1）
(x)在区间（-1，）存在唯一最大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点。
（文）已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，（x）为f(x)的导数。
（1）证明：（x）在区间（0，）存在唯一零点；
（2）若x［0，］时，f(x)
ax，求a的取值范围（2019全国高考新课标I）
2、（理）已知函数f(x)=lnx-
。
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（，ln
）处的切线也是切线y=
的切线。
（文）已知函数f(x)=（x-1）lnx-x-1.证明：
（1）f(x)存在唯一的极值点；
（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（2019全国高考新课标II）
3、（理）已知函数f(x)=
，其中e=2.71828----为自然对数的底数。
（1）若曲线y=f(x)在点P（，f()）处的切线方程为y=kx+b，求k-b的最小值；
（2）当常数m（2，+）时，若函数g(x)=（x-1）f(x)-m+2在［0，+）上有两个零点，（＜），证明：+ln＜＜m。
（文）已知函数f(x)=
（x-1）-m+2，其中mR，e=2.71828----为自然对数的底数。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当常数m（2，+）时，若函数f(x)在［0，+）上有两个零点，（＜），证明：
-＞
ln（2018成都市高三一诊）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数（2020成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a-
。（文）当a=2时，证明：
f(x)-
(x)
x+对任意的x[1,2]都成立。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，根据参数的分类法则和方法分别确定导函数在（0，+）的正负，运用导函数与函数的单调性的定理判断函数的单调性；（2）（理）运用（1）的结论，先求出函数f(x)
在（1，+）上的最小值，结合问题条件得到关于a的不等式，证明不等式在在（1，+）上恒成立就可得到结论。（文）构造函数g(x)，证明函数g(x)
0在给定区间上恒成立，从而得到结论。
【详细解答】（1）（x）=+1-==，①当a0时，x+a>0，
x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数f(x)
在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当-a<1，即-1x（0，-a）（1，+）时，（x）>0，x（-a，1）时，（x）<0，函数f(x)
在（0，-a），（1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；③当-a>1，即a<-1时，
x（0，1）（-a，+）时，（x）>0，x（1，-a）时，（x）<0，
函数f(x)在（0，1），（-a，+）上单增，在（1，-a）上单减，综上所述，当a0时，函数f(x)
在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当-1在（0，-a），（1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；当a<-1时，函数f(x)在（0，1），（-a，+）上单增，在（1，-a）上单减；（2）（理）由（1）知，当a<-1时，函数在（1，-a）上单减，f(x)在（-a，+）上单增，
当x（1，+）时，=
f(-a)=（a-1）ln(-a)-a-1，x（1，+）时，f(x)>-a-
恒成立，+（a-1）ln(-a)
-1>0成立，
a<-1，+（a-1）ln(-a)
-1>0，
ln(-a)
<-a-1，设g(x)=lnx-x+1
(x（1，+）)，
（x）=--1=，x（1，+）时，（x）<0恒成立，函数g(x)在（1，+）上单调递减，<-a-1恒成，当a<-1，
x（1，+）时，f(x)>-a-
恒成立。（文）当a=2时，
f(x)-
（x）x+在x[1，2]上恒成立，lnx+x+--1+x+在x[1，2]上恒成立，
lnx--1+0在x[1，2]上恒成立，设g(x)=
lnx--1+，（x）=+-=
，
当x
[1，）时，（x）<0，当x
（，2]时，（x）>0，
函数g(x)
在[1，）上单调递减，在（，2]
上单调递增，
g(1)=0-1-1+2=0，g(2)=
ln2--1-=
ln2-2<0，当x[1，2]时，=
g(1)=0-1-1+2=0，当x[1，2]时，函数g(x)
0恒成立，当a=2时，
f(x)-
（x）x+在x[1，2]上恒成立。
2、（理））已知函数f(x)=a
，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)=
f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)=
-lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，结合问题条件就可求出函数g(x)（或函数f(x)）的单调区间；（2）（理）构造函数g(x)=
f(x)-x(1+lnx)，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，+）上的单调性，证明函数g(x)在（0，+）上的最小值大于零就可证明结论。（文）运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件证明函数f(x)
>0在（0，+）上恒成立就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）当a=m=1时，g(x)=
f(x)-lnx
=-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数g(x)
在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（文）当m=1时，函数f(x)=
-lnx=-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数f(x)
在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）（理）当a=4，m=2时，f(x)=
4，
f(x)>x(1+lnx)，4
-
x(1+lnx)>0，设,h(x)=
x-1-lnx，（x）=1-=，令（x）=0得：x=1，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数h(x)
在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，=
h(1)=1-1-0=0，
x-1-lnx
0，即
x
1+lnx在（0，+）上恒成立，x(1+lnx)在（0，+）上恒成立，当且仅当x=1时等号成立，设函数g(x)=ln4-ln=x-2+ln4-2lnx,
（x）=1-=，令（x）=0得：x=2，（x）<0在（0，2）上恒成立，（x）>0在（2，+）上恒成立，即：函数g(x)
在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，=
g(2)=0+ln4-2ln2=0，
x-2+ln4-2lnx
0，即ln4-ln0在（0，+）上恒成立，当且仅当x=2时等号成立，
当a=4，m=2时，f(x)>x(1+lnx)。（文）当m=2时，函数f(x)=
-lnx=
-lnx=
-
lnx，（x）=-，（1）=-1=<0，（2）=1-=>0，存在（1，2），使（）=0，（x）<0在（0，）上恒成立，（x）>0在（，+）上恒成立，函数f(x)
在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
=
f()=-ln=-2+，
（1，2）,
-2+>2-2>0，
>0，当m=2时，f(x)>0。
3、（理）已知函数f(x)=sin
xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：|
f(x)|
；
（3）设n，证明：sin
x
sin
2x
sin
4x------
sin
x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)=
的单调性（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数导函数的基本求法求出函数f(x)的导函数，根据运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)在区间（0，）的单调性；（文）构造函数g(x)=
f(x)-2x-c，运用函数导函数的基本求法求出函数g(x)的导函数，根据用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法得到关于参数c的不等式，利用不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出c的取值范围；（2）（理）运用函数导函数求函数值域的基本方法求出函数f(x)的值域，从而证明结论；（文）求出函数g(x)的导函数，根据参数分类讨论的原则与基本方法，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法分别判断函数g(x)在定义域上的单调性，就可得出函数g(x)的单调性；（3）（理）由（2）得：f(x)=sin
xsin2x，从而得到sin
2xsin4x=sin
2xsinx，-----
sin
xsin
x，运用叠乘法就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）f(x)=sin
xsin2x=2xcosx，（x）=2sin
x（3x-
sin
x）=-8
sin
xsin(x+)
sin(x-)，当x(0，)时，（x）>0，当x(，)时，（x）<0，当x(，)时，（x）>0，函数f(x)在(0，)，(，)上单调递增，在(，)上单调递减；（文）设函数g(x)=
f(x)-2x-c=2lnx-2x+1-c，
（x）=-2=，当x(0，1)时，（x）>0，当x(1，+)时，（x）<0，
函数g(x)在(0，1)上单调递增，在
(1，+)上单调递减，=
g(1)=0-2+1-c=-1-c，
g(x)
0在（0，+）上恒成立，-1-c0，c-1，若函数f(x)2x+c，则实数c的取值范围是[-1，+）；（2）（理）（x）=4xx=4x
=，当且仅当1-x=3x，即cosx=时，等号成立，|
f(x)|
；（文）函数g(x)=
=，（x）=，设h(x)=
，
（x）=-+=，a>0，令（x）=0得：x=a，当x(0，a)时，（x）>0，当x(a，+)时，（x）<0，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在
(a，+)上单调递减；
（3）（理）由（2）得：f(x)=sin
xsin2x，
sin
2xsin4x=sin
2x
Sinx，-----
sin
xsin
x，sin
xsin2x.
sin
2xsinx.
sin
xsin
x=sin
x.
2x.
x
-------.x.x
..----
.
，x.
2x.
x
-------.x.x=sinx（sin
x.
2x.
x
-------.x.
sin
x）sinx，
sin
x
sin
2x
sin
4x------
sin
x。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
「练习3」解答下列问题：
1、已知函数f(x)=
-+x。
（1）求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；
（2）当x［-2，4］时，求证：x-6f(x)
x；
（3）设F（x）=［f(x)-(x+a)
］(aR)，记F（x）在区间［-2，4］上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值（2019全国高考北京）
2、（理）已知函数f(x)=(1-k)x-klnx+k-1，其中kR，k0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设函数f(x)的导函数为g(x)，若函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明：g（）＞0。
（文）已知函数f(x)=lnx，g(x)=x+1，若函数f(x)图像上任意一点P关于直线y=x的对称点
Q恰好在函数h(x)的图像上。
（1）证明：g(x)
h(x)；
（2）若函数F（x）=
在［k，+）（k）上存在极值，求k的最大值（2018成都市高三三诊）
3、已知函数f(x)=xlnx+ax+1，aR。
（理）（1）挡x＞0时，若关于x的不等式f(x)
0恒成立，求a的取值范围；
（2）当n时，证明：＜ln2+ln+------+ln＜.
（文）（1）当x＞0时，若关于x的不等式f(x)
0恒成立，求a的取值范围；
（2）当n（1，+
），证明：＜lnx＜-x（2018成都市高三二诊）
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=
+m+nx+3，其导函数（x）的图像关于Y轴对称，f(1)=-
，
（1）求实数m，n的值；
（2）若函数y=
f(x)-
的图像与X轴有三个不同的交点，求实数的取值范围（2020成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②函数奇偶性的定义与性质；③函数零点的定义与性质；④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出函数（x）的解析式，根据函数奇偶性的性质，结合问题条件得到关于m，n的方程组，求解方程组就可求出m，n的值；（2）由函数y=
f(x)-
的图像与X轴有三个不同的交点，函数f(x)的图像与函数g(x)=
的图像有3个不同的交点，运用导函数探导函数f(x)的性质，求出函数f(x)的极值（或最值），作出函数f(x)的大致图像，利用函数f(x)的大致图像确定出实数的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=+2mx+n，导函数（x）的图像关于Y轴对称，导函数（x）是偶函数，（-x）=（x），2mx=0①，
f(1)=
+m+n+3=-
②，联立①②解得：m=0，n=-4，
m=0，n=-4；（2）函数y=
f(x)-
的图像与X轴有三个不同的交点，函数f(x)的图像与函数g(x)=
的图像有3个不同的交点，由（1）得函数f(x)=
-4x+3，（x）=-4，令（x）=0得：x=-2或x=2，函数（x），f(x)
随自变量x的变化情况如下表所示：
y
X
（-，-2）
-2
（-2，2）
2
（2，+）
f(x)
（x）
>0
0
<0
0
>0
g(x)
f(x)
-
-2
-1
0
1
2
x
作出函数f(x)的大致图像如图所示，由图知要使函数f(x)的图像与函数g(x)=
的图像有3个不同的交点，-<<，若函数y=
f(x)-
的图像与X轴有三个不同的交点，实数的取值范围是（-，）。
2、（理）已知函数f(x)=
+2x-mln(x+1)，其中mR。
（1）当m>0时，求函数f(x)的单调区间；
（2）设g(x)=
f(x)+
，若g(x)>
在（0，+）上恒成立，求实数m的最大值。
（文））已知函数f(x)=
-mx-mlnx，其中m>0。
（1）若m=1，求函数f(x)的极值；
（2）设g(x)=
f(x)+mx，若g(x)>
在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑤运用函数导函数求不等式在某区间上恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出函数（x）的解析式，根据用函数导函数判断函数单调性的基本方法和数分类讨论的原则与基本方法分别求出函数的单调区间，从而求出函数f(x)的单调区间；（文）求出函数f(x)的导函数，根据用函数导函数求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值；（2）（理）构造函数
h(x)=
g(x)-，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数
h(x)
在（0，+）上的最小值，从而得到关于参数m的不等式，根据函数导函数求函数最值的基本方法就可求实数m的最大值。（文）构造函数
h(x)=
g(x)-
，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数
h(x)
在（0，+）上的最小值，从而得到关于参数m的不等式，求解不等式就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】（1）（理）（x）=2x+2-=，m>0，令（x）=0得：
x=-1-，或x=-1+，-1-（-1，+），
x=-1+，当x(-1，-1+)时，（x）<0，当x(-1+，+)时，（x）>0，函fh(x)在(-1，-1+)上单调递减，在
(-1+，+)上单调递增；（文）当m=1时，函数f(x)=
-mx-mlnx
=-x-lnx，（x）=2x-1-=，令（x）=0得：x=-，或x=1，
-（0，+），
x=1，当x(0，1)时，（x）<0，当x(1，+)时，（x）>0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在
(1，+)上单调递增，即：=
f(1)=1-1-0=0，无极大值；（2）（理）①当m
0时，
ln(x+1)>0，
mln(x+1)
0，
g(x)=
f(x)+
，
g(x)>
在（0，+）上恒成立，+2x+
->mln(x+1)
在（0，+）上
恒成立，设函数
h(x)=
+2x+
-
（x）=2x+2-+>0在（0，+）上恒成立，函数
h(x)
在（0，+）上单调递增，>
h(0)
=1+1=2，+2x+
->mln(x+1)
在（0，+）上恒成立；②当m
>0时，设函数
h(x)=
-x-1，（x）=-1>0在（0，+）上恒成立，函数
h(x)
在（0，+）上单调递增，>
h(0)
=1-0-1=0，
>x+1>0在（0，+）上恒成立，>，
g(x)=
f(x)+
>在（0，+）上恒成立，
f(x)>
->0在（0，+）上恒成立，由（1）知
==
f((-1+)，f(0)=0+0-0=0，若-1+>0，即m>2时，函数
f(x)
在（0，-1+）上单调递减，f((-1+)<
f(0)=0，与题意不符；-1+0，
0g(x)-=
+2x-
mln(x+1)+
-
+2x-
2ln(x+1)+
-，
设函数q(x)=+2x-2ln(x+1)+
-，（x）=2x+2--+，
-<-，（x）=2x+2--+>2x+2-+
==>0在（0，+）上恒成立，函数q(x)
在（0，+）上单调递增，>
q(0)=0+0-0+1-1=0，
g(x)->0在（0，+）上恒成立，综上所述，若g(x)>
在（0，+）上恒成立，则实数m的最大值为2。（文）
g(x)=
f(x)+mx，若g(x)>
在（1，+）上恒成立，-mlnx->0在（1，+）上恒成立，
设函数
h(x)=
-mlnx-，
（x）=2x-+=，令函数q(x)=
，（x）=6-m，①当m6时，（x）>0在（1，+）上恒成立，函数
q(x)
在（1，+）上单调递增，>
q(1)
=2-m+1=3-m，若3-m0，即00在（1，+）上恒成立，函数
h(x)在（1，+）上单调递增，>
h(1)=1-0-1=0，g(x)>
在（1，+）上恒成立；若3-m<0，即3h(x)在（1，+）上单调递减，<
h(1)=1-0-1=0与题意不符；②当m>6时，令（x）=0得：x=-，或x=，
x=-（1，+），
x=，当x(1，)时，（x）<0，当x(，+)时，（x）>0，函数q(x)在(1，)上单调递减，在
(，+)上单调递增，=
q()=2-m+1=3-m<0（x）<0在(1，)上恒成立，函数
h(x)
在(1，)上单调递减，
h(x)<
h(1)=1-0-1=0在(1，)上恒成立与题意不符，综上所述，若g(x)>
在（1，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（0，3]。
3、已知函数f(x)=a-lnx+lna。
（1）当a=e时，求曲线y=
f(x)在点（1，f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f(x)
1，求a的取值范围（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②函数在某点的导数的集合意义与基本求法；③求曲线在某点的切线方程的基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑦运用函数导函数求不等式在某区间上恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数在某点导数的基本方法求出函数f(x)在点x=1的导数值（1），,根据求曲线在某点的切线方程的基本方法求出曲线y=
f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程，从而求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式通过运算就可求出切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）构造函数
g(x)=
f(x)
-1，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数
g(x)
在（0，+）上的最小值，从而得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=e时，f(x)=
-lnx+1，
f(1)=e-0+1=e+1，（x）=-，
（1）=e-1，曲线y=
f(x)在点（1，f(1)）处的切线肥肠粉为：y-（e+1）=（e-1）(x-1)，
即：(e-1)x-y+2=0，曲线与两坐标轴的交点分别为：A（-，0），B（0，2），=2
=，即曲线y=
f(x)在点（1，f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为；（2）f(x)
1，
a-lnx+lna-10，设函数
g(x)=
a-lnx+lna-1，（x）
=
a-=，①当0g(1)=1-0+lna-1=lna<0与题意不符；②当a=1时，
（x）=，（1）=1-1=0，x
（0，1）时，（x）<0，x
（1，+）时，（x）>0，函数
g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，
=
g(1)=1-0-1=0，函数
g(x)
0在（0，+）上恒成立；③当a>1时，
g(x)=
a-lnx+lna-1>
a-lnx-1>-lnx-1
0在（0，+）上恒成立，综上所述，若f(x)
1，实数a的取值范围是[1，+）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题的基本思路是构造一个新函数，其解析式是不等式两边的差，把问题转化为运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法分别求函数最值的问题，从而求出参数的值（或取值范围）；
（2）求解运用函数导函数求不等式在某个区间恒成立时，不等式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①构造一个新函数（函数解析式为不等式两边的差）；②运用函数导函数求函数最值的基本方法和参数分类讨论的原则与基本方法求出新函数在区间上的最值；③由②判断不等式在区间上是否恒成立；④综合得出参数的值（或取值范围）。
「练习4」解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=
+a-x。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x0时，f(x)
+1，求a的取值范围。
（文））已知函数f(x)=
-a（x+2）。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围（2020全国高考新课标I）。
2、已知函数f(x)=-alnx-
+ax，aR。
（理）（1）当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=1时，若关于X的不等式f(x)+(x+)-bx1恒成立，求实数b的取值范围。
（文）（1）当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=1时，若关于X的不等式f(x)+(bx-b+)-x0在x（1，+）时恒成立，求实数b的取值范围（2019成都市高三一诊）
3、（理21）已知函数f(x)=
（aR）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设函数g(x)=（x-k）+
k，kZ，e=2.71828----为自然对数的底数。当a=1时，若
（0，+），（0，+），不等式5f()+g()＞0成立，求k的最大值。
（文21）已知函数f(x)=（x-k）+k，kZ，e=2.71828----为自然对数的底数。
（1）当k=0时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若当x（0，+）时，不等式f(x)+5＞0恒成立，求k的最大值（2018成都市高三零诊）
【典例5】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值（2019全国高考江苏）
【解析】
【考点】①正方形和等腰直角三角形的定义与性质；②正方体的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④求一元二次函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正方体侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正方体的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），如图a=x，h=
=（30-x），（0（30-x）=8x（30-x）=-8+240x，当且仅当x=-=15时，=-8225+24015=120（30-15）=1800（cm），包装盒侧面积S（cm）最大时，x=15；（2）V=h=2.（30-x）=-2+60，
（x）=-6+120x=6x（20-x），令（x）=0得：x=0或x=20，0x=20，当x（0，20）时,
（x）>0，当x（20，30）时,
（x）<0，函数
V（x）在（0，20）上单调递增，在（20，30）上单调递减，=
V（30）=800
（-20+30）=8000（cm），此时==，包装盒容积V（cm）最大时，x=20，包装盒的高与底面边长的比值为。
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
【解析】
【考点】①圆和矩形的定义与性质；②求三角形和矩形面积的基本方法；③三角函数的定义与性质；④求三角函数最值的基本方法；⑤函数导函数的定义与基本求法；⑥运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，结合问题条件把a，h表示成关于x的式子，从而根据正方体侧面积的公式求出S关于x的解析式，利用求一元二次函数最值的基本方法就可求出S的最大值与x的值；（2）运用正方体的体积公式把包装盒的体积表示成关于x的函数，运用求函数导函数和用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出包装盒体积的最大值与x的值。
【详细解答】（1）如图过A，B分别作ADMN于点A，BCMN于点B，分别交圆弧MPN于点D，C，设PO交CD于点H，AD=BC=40sin+10，AB=CD=240cos=80
cos，PH=40-40sin，=AB.BC=（40sin+10）.80
cos，=3200
sin.
cos+800
cos，
=CD.PH=40
cos（40-40sin）=1600
cos-1600
sin.
cos，若点C，D落在优弧MN上时，AB>MN，与题意不符，点C，D只能落在劣弧MN上，<40
sin
sin<1；（2）设甲种蔬菜年产值为4k(k>0)，则乙种蔬菜年产值为3k(k>0)，年总产值为y，y=4k+3k=8000k（sin.
cos+
cos），令f（）=
sin.
cos+
cos，（）=
cos
-
sin
-
sin=
-2sin
-
sin+1，令（）=0
得：sin=-1或sin=，-1（，1），
sin=，=，若sin=，当
（，）时,
（）>0，当（，）时,
（）<0，函数f（）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，=
f（）=
sin.
cos+
cos
=+=，即y=8000k=6000k为年产值的最大值，当=时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大。
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数解答函数实际应用问题的类型，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数解决函数实际应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，列出相应函数的解析式；
③运用该函数导函数求出函数的最值；④得出函数实际应用问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（理）（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
（文）（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润（2013全国高考上海卷）
2、（理）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A与城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4，对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中喊声的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，请说明理由。
（文）已知函数f(x)=
a+b+x+3，(其中a≠0)
(1)当a、b满足什么条件时，f(x)取得极值；
（2）已知a＞0,且f(x)在区间〔0,1〕上单调递增，试用a表示出b的取值范围（2009全国高考山东卷）

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