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线段的垂直平分线综合复习
1.
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
如图，∵点在直线上，
∴
2.
线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
∵，∴点在线段AB的垂直平分线上。
判断正误：“若，那么经过点的直线就是线段AB的垂直平分线。”
3.
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
如图，△ABC中，边AB和BC的垂直平分线MN和GH
相交于点P，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理，点在线段AC的垂直平分线上，因此，△ABC三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
【典型例题】
例1.
如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D。
求∠DBC的度数．
例2.
已知：如图所示，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．
求证：点M在BN的垂直平分线上．
例3.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．
例4.
如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。
练习：
如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E是BC边的中点，当点P运动到AC上的什么位置时，PB+PE的值最小？最小值是多少？
【模拟试题】
一、选择题
1.
如左下图，AC=AD，BC=BD，则（
）
A、CD垂直平分AB
B、AB垂直平分CD
C、CD平分∠ACB
D、以上结论均不对
2.
如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是
(
)
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
3.
如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5
cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是
(
)
A、6
cm
B、7
cm
C、8
cm
D、9
cm
4.
三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（
）
A、三角形内部
B、三角形外部
C、三角形的一条边上
D、三种情况都有可能
二、填空题
5.
三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________
6.
如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上．
7.
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12
cm，AC=5cm，则AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周长是__________cm.
8.
如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度．
三、解答题
9.
已知：如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．
求证：△ADE是等边三角形．
10．已知：如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．
求证：点D在线段BE的垂直平分线上．
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