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第11章第3节简谐运动的回复力和能量
【学习目标】
1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。
2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。
3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4．知道什么是单摆。
5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
知识回顾：
上一讲课说的弹簧振子的振子为什么围绕着中心点来回往复的运动？
答：因为它受到了指向中心的回复力。
振子所作的运动是不是匀变速运动呢？
答：不是，因为它受到的力是变力。
3.简谐运动中涉及的我们学过的那些物理量？
答：位移、回复力、加速度、速度、动能、势能
知识点一、简谐运动的回复力、能量
回复力：
物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．
．
要点诠释：（1）负号表示回复力的方向是与位移方向相反．
（2）为与的比例系数，对于弹簧振子，为劲度系数．
（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．
（4）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为（但合力可能不为）．
（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化．
简谐运动的能量:
（1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒．
（2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．

（3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即。
（4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能
量越大．
（5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．
简谐运动的特征
物体做简谐运动的三个特征:
（1）振动图像是正弦曲线；
（2）回复力满足条件；
（3）机械能守恒．
简谐运动的判定方法:
（1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．
（2）故简谐运动的物体所受的力满足，即回复力与位移成正比且方向总相反．
（3）用判定振动是否是简谐运动的步骤：
①对振动物体进行受力分析；
②沿振动方向对力进行合成与分解；
③找出回复力，判断是否符合．
简谐运动的运动特点:
简谐运动的加速度分析方法:
简谐运动是一种变加速的往复运动，由知其加速度周期性变化，“”表示加速度的方向与振动位移的方向相反，即总是指向平衡位置，的大小跟成正比．
简谐运动的运动特点:
物体 位置 位移 回复力 加速度 速度 势能
动能
方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小

平衡 位置O









最大位移处M 指向M
指向O
指向O




指向
M
指向O
指向O
指向M


指向
M
指向O
指向O
指向O


通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置靠近的过程及远离平衡位置的过程的不同特点：靠近点时速度大小变大，远离点时位移、加速度和回复力大小变大
弹簧振子在光滑斜面上的振动:
光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动．

分析如下：
如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为
，
往下拉后弹簧相对于静止位置伸长时，物体所受回复力
．
由此可判定物体是做简谐运动的．
例题1.如图所示，水平面的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上点，已知物体的质量为，物体与水平面间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数．现用力拉物体，使弹簧从处于自然状态的点由静止开始向左移动，这时弹簧具有弹性势能，物体处于静止状态．若取，则撤去外力后（ ）．

A．物体向右滑动的距离可以达到
B．物体向右滑动的距离一定小于
C．物体回到点时速度最大
D．物体到达最右端时动能为，系统机械能不为

【答案】B、D
【解析】如图所示，物体由最大位移处释放，在弹力作用下向右加速，由于受滑动摩擦力的作用，物体向右运动时的平衡位置应在点左侧处，

由平衡条件
得
，
即
由简谐运动的对称性可知到达点右侧的点时物体速度减小为零，即
，
A项错误，B项正确；在平衡位置处速度最大，C项错误；物体到达最右端时动能为零，弹簧处于压缩状态，系统机械能不为零，故D项正确．

课堂练习一：
如图所示，水平面上质量相等的两木块A、B用一轻弹簧相连，整个系统处于静止状态．t=0时刻起用一竖直向上的力F拉动木块，使A向上做匀加速直线运动．t1时刻弹簧恰好恢复原长，t2时刻木块B恰好要离开水平面．以下说法正确的是（　　）
A．在0~t2时间内，拉力F与时间t成正比
B．在0~t2时间内，拉力F与A位移成正比
C．在0~t2间间内，拉力F做的功等于A的机械能增量
D．在0~t1时间内，拉力F做的功等于A的动能增量
【思路点拨】以木块A为研究对象，分析受力情况，根据牛顿第二定律得出F与A位移x的关系式，再根据位移时间公式，得出F与t的关系．根据功能关系分析拉力做功与A的机械能增量关系．
【答案】C
【解析】A、B设原来系统静止时弹簧的压缩长度为x0，当木块A的位移为x时，弹簧的压缩长度为（x0─x），弹簧的弹力大小为k（x0─x），根据牛顿第二定律得：
F+ k（x0─x）─mg=ma
得到：F=kx─kx0+ma+mg，
又kx0=mg，则得到：F=kx+ma
可见F与x是线性关系，但不是正比．
由得：，F与t不成正比．故AB错误．
据题t=0时刻弹簧的弹力等于A的重力，t2时刻弹簧的弹力等于B的重力，而两个物体的重力相等，所以t=0时刻和t2时刻弹簧的弹力相等，弹性势能相等，根据功能关系可知，在0~t2时间内，拉力F做的功等于A的机械能增量，故C正确．
根据动能定理可知：在0~t1时间内，拉力F做的功与弹力做功之和等于A的动能增量，故D错误．
【总结升华】对于匀变速直线运动，运用根据牛顿第二定律研究力的大小是常用的思路．分析功能关系时，要注意分析隐含的相等关系，要抓住t=0时刻和t2时刻弹簧的弹性势能相等进行研究．
课堂练习二：
如图所示，质量为的物块放置在质量为的物块上，与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为，当物块离开平衡位置的位移为时，间摩擦力的大小等于（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
课堂练习三：
如图所示，一质量为的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体和，．剪断间的细线后，做简谐运动，则当振动到最高点时，木箱对地面的压力为________。


【答案】
【解析】本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析．剪断细线前的受力情况：
重力：，向下；
细线拉力：，向下；
弹簧对的弹力：，向上．
设弹簧的劲度系数为，则此时弹簧的伸长量为
．
剪断细线后，做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为。由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处．此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为．
【总结升华】在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，注意弹簧的原长点、平衡点、最高点、最低点等特殊点，可收到事半功倍的效果．
课堂练习四：
如图所示，弹簧下面挂一质量为的物体，物体在竖直方向上作振幅为的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ）
　　　　
A．物体在最低点时的弹力大小应为
B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
C．弹簧的最大弹性势能等于
D．物体的最大动能应等于
【答案】AC
【解析】A、小球做简谐运动的平衡位置处，，．当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知．所以在最低点时，形变量为．弹力大小为．故A正确．
?? B、在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变．故B错误．
?? C、从最高点到最低点，动能变化为，重力势能减小，则弹性势能增加．而初位置弹性势能为，在最低点弹性势能最大，为．故C正确．
?? D、在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能不等于．故D错误．
故选AC．
【总结升华】解决本题的关键抓住简谐运动的对称性以及灵活运用能量守恒定律和机械能守恒定律．

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