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1　曲线运动
在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处的火星沿什么方向飞出？转动雨伞时，雨伞上的水滴沿什么方向飞出？根据以上两种现象，你能得出什么结论？
提示：均沿接触处的切线方向飞出．
得出的结论：质点做曲线运动时，在某一点的速度方向沿曲线上这一点的切线方向．
小汽车在匀速奔驰，乘客把手伸出窗外，让手中的一个物体自由下落(忽略空气阻力)．那么车中的乘客观察到物体在做什么运动？路边静止的人观察到物体在做什么运动？
提示：车中的乘客会看到物体做自由落体运动，路边静止的人会看到物体做曲线运动．
做曲线运动的物体所受的合力可以是零吗？做曲线运动的物体所受的合力可以是恒定不变的力吗？
提示：物体做曲线运动的条件是所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上，所以物体所受合力不能为零，至于物体所受的合力是否为恒力并无要求，所以可以是恒力．
【例1】　曲线滑梯如图所示，人从滑梯A点沿滑梯经B、C、D点滑下，试在图中建立平面直角坐标系标出B、C两点相对于A点的位移及两点的坐标．
选A点为坐标原点O，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，B，C两点相对于A点的位移坐标就能在图中表示出来．
【解析】　
如图，有向线段AB就是B点相对于A点的位移，有向线段AC就是C点相对于A点的位移，B、C两点的坐标分别为(xB，yB)、(xC，yC)．
【答案】　见解析
总结提能 曲线运动的位移仍然是有向线段，在大小上它比物体运动的路程小，为了方便计算可将其分解在对应的x轴和y轴上．
甲、乙两物体做曲线运动，如图所示，在某一时刻它们的位置分别在图中的A、B位置，试比较在该时刻时它们的位移大小．
解析：xOA＝＝ m＝ m，xOB＝＝ m＝ m，所以xOA>xOB即在此时刻甲物体的位移比乙物体的位移大．
答案：甲物体的位移比乙物体的位移大
考点二　　　　　　曲线运动的速度
(1)曲线运动的速度方向
做曲线运动的物体，在任一时刻(或位置)的瞬时速度方向与该时刻质点所在位置处曲线的切线方向一致，并指向物体运动的方向．
如：砂轮打磨下来的炽热微粒飞出的方向与飞出时的位置有关，但都与砂轮圆周相切．如图所示，A、B、C各处飞出的微粒方向各不相同，但均与该处圆周曲线相切．
(2)曲线运动的实质
物体做曲线运动时，瞬时速度沿曲线上该点的切线方向，而曲线上各点的切线方向是不同的．可见，做曲线运动时，物体速度的方向一定是变化的，因而一定有加速度，所以不管什么样的曲线运动一定是变速运动．
(3)速度的分解
速度是矢量，可以沿不同方向分解，在具体问题中，速度的分解要有意义，如水平抛出的钢球在空中某一点的速度通常按水平和竖直两个不同方向分解，如图所示．我们可以得到vx、vy两个分速度：vx＝vcosθ，vy＝vsinθ.
【例2】　翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目．如右图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如右图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点．下列说法中正确的是(　　)
A．过A点时的速度方向沿AB方向
B．过B点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C两点时的速度方向相同
D．圆形轨道上与M点速度方向相同的点在AB段上
过山车做曲线运动，在任一位置的速度方向沿轨迹上该点的切线方向．
【解析】　
翻滚过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示．由图判断B正确，A、C错误．用直尺和三角板作M点速度方向的平行线且与圆相切于N点，则过山车过N点时速度方向与M点相同．D错误．
【答案】　B
总结提能 在确定某点的速度方向时，首先弄清两点：一是物体沿轨迹的运动方向，二是沿该点的切线方向．然后两方面结合确定某点的速度方向．
如图所示的陀螺，是汉族民间最早的娱乐工具，也是我们很多人小时候喜欢玩的玩具．从上往下看(俯视)，若陀螺立在某一点顺时针匀速转动，此时滴一滴墨水到陀螺上，则被甩出的墨水径迹可能是下图中的(　D　)
解析：陀螺的边缘上的墨水沿切线方向飞出，所以A，B错误；陀螺立在某一点顺时针匀速转动，所以墨水滴的方向要与顺时针方向的前方一致，故C错误，D正确．
考点三　　　　　　运动的合成与分解
(1)演示实验中蜡块的运动特点：以蜡块的初始位置为坐标原点，水平向右和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向建立坐标系，如图所示，设蜡块的水平速度为vx，竖直上升速度为vy，则：
①蜡块任一时刻的坐标可以表示为x＝vxt，y＝vyt.
②蜡块任一时刻的位置l＝＝t.
③蜡块任一时刻的速度v＝＝.
④蜡块的运动轨迹由x＝vxt，y＝vyt消去t，则y＝x，由于vx和vy都是常量，所以也是常量，可见y＝x代表的是一条过原点的直线，也就是说蜡块的运动轨迹是直线．
(2)运动的合成与分解
合运动与分运动：如果某物体同时参与几个不同方向上的运动，那么这个物体的实际运动就叫做那几个运动的合运动．那几个运动叫这个物体实际运动的分运动．
①运动的合成：已知分运动求合运动叫做运动的合成．
②运动的分解：已知合运动求分运动叫做运动的分解．
③合运动与分运动的关系
A．独立性：某个方向上的运动不会因为其他方向上是否有运动而影响该方向的运动性质．在运动中一个物体可以同时参与几种不同的运动，在研究时，可以把各个运动都看做是互相独立进行，互不影响．
B．等时性：各个分运动与合运动总是同时开始同时结束，经历时间相等．求运动时间时，可选择一个容易求的分运动来解．
C．等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果．
D．同一性：各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动．不是几个不同物体发生的不同运动．
④运动的合成与分解法则
运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解．由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则．
A．两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
B．不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解．
⑤合运动与分运动的性质和轨迹的关系：两直线运动的合运动的性质和轨迹，由各分运动性质及合初速度与合加速度的方向和大小关系决定．
A．两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动．
B．一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动．
C．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动．若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上，则是直线运动；若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则是曲线运动．
【例3】　如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解答本题时应注意以下两点：
(1)橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向也做匀速直线运动．
(2)橡皮的实际运动是两个匀速直线运动的合运动．
【解析】　橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔速度相同的匀速直线运动，另一个是沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故选项A正确．
【答案】　A
总结提能 运动的合成与分解是研究曲线运动规律最基本的方法，它的指导思想是化曲为直、化变化为不变、化复杂为简单的等效处理观点．在解决有关运动的合成与分解问题时要注意合运动与分运动的等时性、独立性、等效性和同一性．
如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的运动轨迹；
(2)求出玻璃管向右平移的加速度大小；
(3)求t＝2 s时蜡块的速度v的大小．
解析：
(1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出的轨迹如图所示；
(2)由于玻璃管向右为匀加速平移，根据Δs＝aT2可求得加速度，由题中数据可得：Δs＝5.0 cm，相邻时间间隔为1 s，则a＝＝5×10－2 m/s2；
(3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为vy＝0.1 m/s.
水平方向做匀加速直线运动，2 s时蜡块的水平速度为
vx＝at＝0.1 m/s.
则2 s时蜡块的速度：v＝＝m/s.
答案：(1)轨迹如解析图所示　(2)5×10－2 m/s2
(3) m/s
考点四　　　　　　物体做曲线运动的条件
(1)物体做曲线运动的条件：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
(2)运动轨迹与速度和合力的夹角的关系
(3)曲线运动的特点
①无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧．
②曲线运动的位移大小一定小于其路程，其平均速度大小一定小于其平均速率．
③曲线运动中物体所受合力沿切线方向的分力使物体的速度大小发生变化，沿法线方向的分力使物体的速度方向发生变化．
【例4】　一物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则物体(　　)
A．一定做匀变速运动　　　 B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动 D．一定做曲线运动
解答本题时应把握以下三点：
(1)明确撤去F1后物体的受力情况．
(2)知道物体做直线运动和曲线运动的条件．
(3)物体所受的合力恒定，则物体的加速度恒定．
【解析】　物体在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动．由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，物体受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故物体一定做匀变速运动，选项A正确．在撤去F1之前，物体受力平衡，有两种可能：一是物体处于静止状态，则撤去F1后，物体做匀变速直线运动；二是物体处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，物体可能做直线运动(F1的方向和速度方向在同一直线上)，也可能做曲线运动(F1的方向和速度方向不在同一直线上)，故选项B、C、D错误．
【答案】　A
总结提能 1.在判断一个物体是否做曲线运动时，应先分析物体的受力，确定物体所受合力的方向与速度方向是否在一条直线上，若在一条直线上则物体做直线运动，若不在一条直线上，则物体做曲线运动．
2．物体做曲线运动时，其所受的合力可能是恒力，也可能是变力．合力是恒力时，加速度是恒量，物体做匀变速曲线运动；合力是变力时，加速度是变量，做变加速曲线运动．
小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是b(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是c(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在(填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
解析：磁铁放在位置A时，小球受磁场力方向与速度方向在一条直线上，小球沿轨迹b做直线运动；磁铁放在位置B时，小球沿轨迹c运动．当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
1．物体做曲线运动，在其运动轨迹上某一点的加速度方向(　D　)
A．为通过该点的曲线的切线方向
B．与物体在这一点时所受的合外力方向垂直
C．与物体在这一点的速度方向一致
D．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零
解析：加速度的方向就是合外力的方向，由物体做曲线运动的条件可知，加速度的方向与速度的方向一定不在同一直线上．
2．一个做匀速直线运动的物体突然受到一个与运动方向不在同一直线上的恒力作用时，物体的运动为(　B　)
A．继续做直线运动
B．一定做曲线运动
C．可能做直线运动，也可能做曲线运动
D．运动的形式不能确定
解析：当合外力的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体的运动一定是曲线运动．
3．(多选)关于曲线运动的条件，以下说法正确的是(　BC　)
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动
C．物体所受的合外力为零时不可能做曲线运动
D．只要所受的合外力不为零，物体就一定做曲线运动
解析：物体做曲线运动的条件是合外力的方向与速度的方向不在同一直线上，而不管这个力是恒力还是变力，所以选项A错误，B正确；当物体所受的合外力为零时，其加速度一定为零，此时不可能做曲线运动，选项C正确；如果受到的合外力不为零，但合外力的方向与速度的方向在同一直线上，物体将做直线运动，选项D错误．
4．游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的位移、时间产生的影响是(　C　)
A．位移增加、时间增加　　　 B．位移增加、时间缩短
C．位移增加、时间不变 D．位移、时间均与水速无关
解析：根据运动的独立性原理，运动员横渡过河所用的时间与水速无关，据此可以判断：运动员横渡的时间不会受水速的影响，即时间不变；但水速变大时将导致运动员顺水而下的位移增大，从而导致总的位移增大，选项C正确．
5．(多选)如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车速度的大小分别为vB，vA，则(　CD　)
A．vA＝vB B．vAC．vA>vB D．重物B的速度逐渐增大
解析：如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度vA可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长；二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以汽车的速度vA应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝vAcosα；又由于vB＝v0，所以vA>vB，故选项C正确．因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以vB逐渐增大，故选项D正确．
运动的合成与分解的两类典型问题
一、小船过河问题
[方法解读]
小船过河问题可以基于以下几点进行理解和分析：
(1)将船实际的运动看做船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动．
(2)如图所示，v水为水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v静水cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
1．过河的最短时间
过河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝，与v水无关．要使过河时间最短，应使垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ＝1，即v静水垂直于河岸时，过河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关．
2．过河的最小位移
过河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使过河位移最小，应使合位移(或合速度)与河岸方向的夹角最大．
(1)当v水(2)当v水>v静水时，不论船的航向如何，总是被水冲向下游．此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船过河的位移越小．那么，在什么条件下α角最大呢？如图所示，以v水的矢尖为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大．由三角形的相似性，最小位移为s＝d，过河时间t＝＝ .
【例1】　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船过河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样过河才能使船漂向下游的距离最小？最小距离是多少？
[解析]　(1)小船参与了两个分运动，即船随水流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船过河时间等于垂直河岸的分运动的时间，即
t＝＝ s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m，即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，即合速度v应垂直于河岸，如图所示，则cosθ＝＝＝，θ＝60°，即船的航向与上游河岸成60°角．
过河时间t＝＝s＝ s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图所示．船的过河时间决定于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sinθ，故小船过河时间为t＝＝s，当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
(4)因为v船cosθ＝＝，船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又＝＝，代入数据解得x′＝267 m.
[答案]　(1)50 s　正对岸下游100 m处　(2)船的航向与上游河岸成60°角　 s　(3)50 s　(4)船头与上游河岸成53°角　267 m
[变式训练1]　如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动．若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点．求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时渡河时间最短，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cosα，此时渡河时间为t＝，所以sinα＝＝0.8，故v2＝v1cosα＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为
sCD＝v2tmin＝72 m.
答案：(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m
二、关联速度问题
[方法解读]
绳、杆关联问题是指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
【例2】　(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vcosθ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
[解析]　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcosθ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcosθ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误．
[答案]　AC
[变式训练2]　如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以vA＝10 m/s匀速运动，在绳子与上轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为(　D　)
A．5 m/s　　　　　　　　 B. m/s
C．20 m/s D. m/s
解析：
物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcosα，由于绳不可伸长，所以绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vBcosα，所以vB＝＝ m/s，选项D正确．

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