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基本不等式及应用
一、考纲要求：
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
二、基本不等式
基本不等式
不等式成立的条件
等号成立的条件
≤
a>0，b>0
a＝b
三、常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
(2)ab≤()2(a，b∈R)
(3)≥()2(a，b∈R)
(4)＋≥2(a，b同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.
四、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+：
当且仅当a＝b时取等号.
五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．
(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.
强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等：等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）
想一想:错在哪里？
3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．
解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.
解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．
【错因分析】　错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
【正确解答】　z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，
令t＝xy，则0f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时z有最小值.
误区警示：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－2而不是有最小值1＋2.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．
课堂纠错补练：
若0解析：令sinx＝t,0答案：5
考点1　利用基本不等式证明不等式
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．
2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．
例1：（1）已知均为正数，求证：
（2）已知为不全相等的正数，求证：
（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.
【证明】　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
∴＋≥4.∴原不等式成立．
练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
证明：∵a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴(－1)(－1)(－1)
＝
＝≥＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
考点2　利用基本不等式求最值
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
例4：
(1)设0【分析】　由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件
【解】　(1)∵00，
∴y＝＝·
≤·＝，
当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值是.
(2)
x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求
xy的最大值.
（4）已知＋a，求的取值范围．
显然a≠2，当a>2时，a－2>0，∴＋a＝＋(a－2)＋2≥2＋2＝6，
当且仅当＝a－2，即a＝4时取等号，
当a<2时，a－2<0，
∴＋a＝＋(a－2)＋2＝－[＋(2－a)]＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当＝2－a，即a＝0时取等号，
∴＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(＋)(x＋y)
＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝，即2x＝y时等号成立，
∴＋的最小值为7＋4.
练习：
求下列各题的最值．
(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；
解：(1)由x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则＋＝≥＝2.∴zmin＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．
(2)x0，求f(x)＝＋3x的最大值；
∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，等号成立的条件是＝3x，即x＝2，
∴f(x)的最小值是12.
(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.
（4），求的最大值。
考点3　利用基本不等式求最值的解题技巧
1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．
例3：（1）已知,，求的最小值。
（2）已知，求的最大值。
（3）已知，，求的最大值。
（4）求函数的最大值。
（5）设a>b>c>0，求2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值。
A．2　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5
【分析】　通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．
【解析】　原式＝(a2－10ac＋25c2)＋＋ab＋＋a(a－b)＋a2－ab－a(a－b)
＝(a－5c)2＋＋ab＋＋a(a－b)
≥0＋2＋2＝4，
当且仅当，即a＝，b＝，c＝时，等号成立．【答案】　B
练习：
（1）(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析：4x2＋y2＋xy＝1，∴4x2＋4xy＋y2－3xy＝1
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤·()2
∵(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2　∴(2x＋y)2≤
即－≤2x＋y≤当且仅当2x＝y时取等号，∴(2x＋y)最大值＝.
（2）已知，求的最大值。
（3）已知，，求的最小值及相应的的值。
考点4　基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤是：
(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；
(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；
(3)应用基本不等式求出函数的最值；
(4)还原实际问题，作出解答．
例4
围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45
元/m，新墙的造价为180
元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【分析】　(1)首先明确总费用y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论．
【解】　(1)如图，设矩形的另一边长为a
m.
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>2)．
(2)∵x>2，
∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
方法归纳：
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
练习：
1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d＝kv2l＋l(k为正常数)，假定车身长都为4
m，当车速为60
km/h时，车距为2.66个车身长．
(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；
(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？
解：(1)∵当v＝60
km/h时，d＝2.66l，∴k＝＝＝0.0006，
∴d＝0.0024v2＋2.
(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q＝，即Q＝＝.
∵0.0024v＋≥2＝0.24，∴Q≤＝.
当且仅当0.0024v＝，即v＝50时，Q取最大值.
答：当v＝50
km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多．
2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？
归纳提升：
1．创设应用基本不等式的条件：
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；
(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．
(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立．
(2)＋≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立．
(3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋，当a>0，b>0时函数在[－，0)，(0,
]上是减函数，在(－∞，－)，(
，＋∞)上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－[(－ax)＋(－)]来解决最值问题．

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