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函数与方程问题的类型及解法
函数与方程问题是近几年高考的热点问题之一。从题型上看主要是选择题（或判断题），但有时也可能参透到函数的大题之中；难度可能是中，低档，也可能是高档。纵观近几年高考试题，归结起来函数与方程问题主要包括：①函数零点与方程的根之间内在联系；②函数零点存在定理及运用；③求函数零点的基本方法；④一元二次函数的零点与一元二次方程的根的综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数与方程问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)有零点，下列说法不正确的是（
）
A
f(0)=0
B方程f(x)=0有实根
C函数f(x)的图像与X轴有交点
D函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点与方程的关系。
【解题思路】根据函数零点的性质和函数零点与方程根的关系对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)有零点，函数f(x)的图像与X轴有交点，方程f(x)=0有实根，
B，C，D正确，
A错误，选A。
2、下列图像表示的函数中没有零点的是（
）
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点与函数图像和X轴交点的关系。
【解题思路】根据函数零点的性质和函数零点与函数图像和X轴交点的关系，结合选项的图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)零点也是函数f(x)图像与X轴的交点，根据函数f(x)的图像与X轴有没有交点就可确定函数f(x)有没有零点，A中图像表示的函数没有零点，选A。
3、函数f(x)=
|x|-1的零点的个数为（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点与函数图像交点的关系。
【解题思路】根据函数零点的性质和函数零点与函数图像交点的关系，结合f(x)=
|x|-1=0，|x|=，在同一直角坐标系中分别作出函数g(x)=
|x|，h(x)
=
的图像，利用两个函数图像的交点个数就可得出选项。
y
h(x)=
【详细解答】
f(x)=
|x|-1=0，|x|=，
1
g(x)=
|x|
设函数g(x)=
|x|，h(x)=，在同一直角坐标系中
0
1
x
分别作出函数g(x)，h(x)的图像如图所示，由图知函数g(x)与函数h(x)的图像有两个交点，
函数f(x)=
|x|-1有两个零点，B正确，选B。
4、函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数为
；
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点与函数图像交点的关系。
【解题思路】根据函数零点的性质和函数零点与函数图像交点的关系，结合f(x)=lnx+2x-6=0，
lnx
=6-2x，在同一直角坐标系中分别作出函数g(x)=
lnx
，h(x)
=6-2x的图像，利用两个函数图像的交点个数就可得出函数f(x)零点的个数。
y
h(x)
=
6-2x
【详细解答】
f(x)=lnx+2x-6=0，
lnx
=6-2x，
设函数g(x)=
lnx，
h(x)=
6-2x，在同一直角坐标系中
分别作出函数g(x)，h(x)的图像如图所示，由图知函数
g(x)=
lnx
g(x)与函数h(x)的图像只有1个交点，函数f(x)=
lnx+
2x-6只有1个零点。
0
1
2
3
x
5、判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：
（1）f(x)=1-
（x+3）；
（2）f(x)=
-3；
（3）f(x)=
。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点与方程根的关系。
【解题思路】根据函数零点的性质和函数零点与方程根的关系，结合各函数解析式与零相等得到的方程，分别求解方程就可得出结果。
【详细解答】（1）
f(x)=1-
（x+3）=0，
（x+3）=1，x+3=2，x=-1，即函数f(x)=1-
（x+3）有一个零点为x=-1；（2）
f(x)=
-3=0，=3，
x-1=3，x=1+3，即函数f(x)=
-3有一个零点为x=1+3；（3）
f(x)
=
=0，+4x-12=0，且x-20，x=-6，函数f(x)=
有一个零点x=-6。
6、设函数f(x)=-3x-2，若g(x)=2-。
（1）求g(x)的解析式；
（2）画出函数g(x)的图像；
（3）求出函数g(x)的零点（精确到0.1）。
【解析】
【知识点】①求函数解析式的基本方法；②作函数图像的基本方法；③函数零点存在定理及运用；④二分法求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数解析式的基本方法就可求出函数g(x)的解析式；（2）根据作函数图像的基本方法作出函数g(x)的图像；（3）运用函数零点存在定理和二分法求函数零点的基本方法就可求出函数g(x)的零点。
【详细解答】（1）函数f(x)=--3x-2，函数g(x)=2-，
g(x)=2-
=2-，即：g(x)的解析式为：g(x)=
2-；（2）作出函数g(x)=
2-的图像如图所示；（3）由（2）知
y
函数g(x)的零点在（-3，-）或（-，0）内，
在（-3，-）或（-，0）上，（x+1）（x+2）>0，
-3
-2
-1
0
1
x
g(x)=
2-=0，（x+1）（x+2）-=0，+3x+2-=0，
x==，x-0.2或x-2.8，即函数g(x)的零点为x-0.2或x-2.8。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与函数零点定义相关的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、函数f(x)=xcos在区间［0，4］上零点的个数为（
）
A
4
B
5
C
6
D
7
2、已知函数f(x)=lnx-
的零点为，则所在的区间是（
）
A
（0，1）
B
（1，2）
C
（2，3）
D
（3，4）
3、已知函数f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一个零点为1，则函数f(x)的所有零点为
；
4、设函数y=与y=的图像的交点为（，），若（n，n+1），nN，则所在的区间是
；
5、利用函数图像判断下列方程有没有根，如果有，有几个根？
①-+3x+5=0
；
②2x（x-2）=-3；
③=4x-4；
④5+2x=3+5。
6、已知函数f(x)=sin2x-2sinx。
（1）求函数f(x)的最大值；
（2）求函数f(x)的零点的集合。
【典例2】解答下列问题：
1、设函数f(x)=4sin(2x+1)-x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（
）
A
〔-4,-2〕
B
〔-2,0〕
C
〔0,2〕
D
〔2,4〕
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，对各选项的区间进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，
f(-4)=4sin(-8+1)+4==4sin(-7)+4>0，f(-2)=4sin(-4+1)+2==4sin(-3)+2>0，
f(-4).
f(-2)>0，函数f(x)=4sin(2x+1)-x在〔-4，-2〕不存在零点，选A。
2、函数f(x)=
-
的零点所在的区间为（
）
A
（0,1）
B
（1,2）
C
（2,3）
D
（3,4）
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，对各选项的区间进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，
f(0)=
-
0=4-0=4>0，f(1)=
-
1=2-1=1>0，
f(0).
f(1)>0，
函数f(x)=
-
在（0，1）上没有零点；对B，
f(2)=
1-
8=-7<0，
f(1).
f(2)<0，
函数f(x)=
-
在（1，2）上有零点，选B。
3、已知函数y=f(x)(x∈R)满足：f(x+1)=-f(x)，且当x∈〔-1,1〕时，f(x)=|x|，函数g(x)
=
sin(x)，x＞0,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间〔-5,5〕上的零点的个数为（
）
-
，x＜0，
A
8
B
9
C
10
D
11
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，结合h(x)=f(x)-g(x)=0，
f(x)=g(x)，在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)，g(x)在区间〔-5,5〕上的图像，根据两个函数图像交点的个数就能得出选项。
y
【详细解答】
h(x)=f(x)-g(x)=0，
f(x)
=g(x)，在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)，
1
g(x)在区间〔-5,5〕上的图像如图所示，由图知
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
函数函数f(x)，g(x)的图像在区间〔-5,5〕上有
-1
9个交点，B正确，选B。
4、若a＜b＜c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（
）
A
（a，b）和（b，c）内
B
（-，a）和（a，b）内
C
（b，c）和（c，+）内
D
（-，a）和（c，+）内
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，对各选项的区间进行判断就可得出选项。
【详细解答】
f(a)=(a-a)(a-b)+(a-b)(a-c)+(a-c)(a-a)=
(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-a)
(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)(b-a)=
(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)+(c-b)(c-c)
+(c-c)(c-a)
=
(c-a)(c-b)>0，
f(a).
f(b)<0，f(b).
f(c)<0，函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)
+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，A正确，选A。
5、指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=-
-3x+5；
（2）f(x)=2xln(x-2)-3；
（3）f(x)=
+4x+4；
（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x；
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②确定函数零点所在区间的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和确定函数零点所在区间的基本方法就可得出函数零点所在的大致区间。
【详细解答】（1）
f(1)=-1-3+5=1>0，f(2)=-8-6+5=-9<0，
f(x)>0在（-，0]上恒成立，f(x)<0在[2，+）上恒成立，函数f(x)=-
-3x+5的零点所在的大致区间为（1，2）；
（2）
f(3)=6ln（3-2）-3=-3<0，f(4)=8ln（4-2）-3=8ln2-3>4-3>0，函数f(x)在（2，+）上单调递增，函数f(x)=2xln(x-2)-3的零点所在的大致区间为（3，4）；（3）
f(-1)=
-4+4=>0，f(-2)=
-8+4=-4<0，函数f(x)在R上单调递增，函数f(x)=
+4x+4的零点所在的大致区间为（-2，-1）；（4）
f(2)=34（-1）6+2=-72+2=-70<0，
f(3)=3507+3=0+3=3>0，f(-2)=30（-5）2-2=0-2=-2<0，f(-3)=3（-1）（-6）1-3
=18-3=15>0，f(-4)=3（-2）（-7）0-4=0-4=-4<0，f(x)<0在（-，-4]上恒成立，f(x)>0在[3，+）上恒成立，函数f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x的零点所在的大致区间为（-3，-4），（-3，-2），（2，3）。
6、判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）f(x)=-3x-18，x
［1，8］；
（2）f(x)=
（x+2）-x，x
［1，3］。
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点垂直定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，对函数在给定区间进行判断就可得出结果。
【详细解答】（1）
f(1)=1-3-18=-20<0，f(8)=64-24-18=64-42=22>0，函数f(x)=
-3x-18在区间［1，8］上存在零点；（2）
f(1)=
（1+2）-1=3-1>0，f(3)=
（3+2）-3=5-3<0，函数f(x)=
（x+2）-x，在区间［1，3］上存在零点。
7、已知函数f(x)的图像连续不断，且有下列表中的对应值：
X
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
说明函数y=f(x)在哪几个区间有零点，并说明理由。
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点存在定理和判断函数在给定区间上是否存在零点的基本方法，根据表中的对应值，对函数在各区间上进行判断就可得出结果。
【详细解答】由表中的对应值可得：f(2).
f(3)<0，f(3).
f(4)<0，f(4).
f(5)<0，函数y=f(x)在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均匀有零点。
『思考问题2』
（1）【典例2】是判断函数零点所在区间（或在给定区间上是否有零点）的问题，解答这类问题应该理解和掌握函数零点存在定理和判断函数零点所在区间（或在给定区间上是否存在零点）的基本方法；
(2)判断函数零点所在区间（或在给定区间上是否存在零点）的基本方法是：①运用函数零点存在定理；②
数形结合法；
（3）运用函数零点存在定理判断函数零点所在区间（或在给定区间上是否存在零点）时，应该注意：如果函数y=f(x)的图像是连续不间断的，则有：①当函数y=f(x)的图像通过零点（不是二重零点）时，函数值不一定要符号互异；②在相邻两个零点之间所有函数值保持相同的符号；
（4）由零点存在定理能够判断函数y=f(x)的零点一定存在，但对零点的个数并不确定；
（5）如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间〔a,b〕上不一定就没有零点；
（6）如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续不断的一条曲线，且是单调函数，f(a).f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间〔a，b〕上有
唯一的零点；
（7）判断零点个数的方法有：①解方程法，通过解方程求出方程的解，有多少个解就有多少个零点；②零点存在定理，结合函数的性质确定零点的个数；③数形结合法，转化为两个函数图像的交点个数来确定零点的个数。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=
-x在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（
）
A
（0，1）
B
（1，2）
C
（2，4）
D
（4，+
）
2、根据表格中的数据，可以判断方程-x-2=0必有一个根在区间（
）
x
-1
0
1
2
3
A
（-1，0）
B
（0，1）
0.37
1
2.72
7.39
20.09
C
（1，2）
D
（2，3）
x+2
1
2
3
4
5
3、方程=的解所在的区间是（
）
A
（2，3）
B
（1，2）
C
（0，1）
D
（-1，0）
4、对于函数f(x)，若f(-1).f(3)＜0，则（
）
A方程f(x)=0一定有实数解
B方程f(x)=0一定无实数解
C方程f(x)=0一定有两实数解
D方程f(x)=0可能无实数解
5、函数f(x)=lnx+2x-8的零点所在区间为（
）
A
（1，2）
B
（2，3）
C
（3，4）
D
（4，5）
6、指出下列函数零点所在的大致区间：
①f(x)=2-3x-5；
②f(x)=xln(2x-3)-3；
③f(x)=
+4x+4；
④f(x)=(x-2)(x+3)(x-4)+x；
7、已知函数f(x)的图像连续不断，且有下列表中的对应值：
X
-2
0
1
2
3
4
f(x)
9
-5
-6
-3
4
15
说明函数y=f(x)在哪几个区间有零点，并说明理由。
【典例3】解答下列问题：
1、下列函数图像与X轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
y
y
y
y
0
A
x
0
B
x
0
C
x
0
D
x
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②二分法求函数零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点存在定理和二分法求函数零点的基本方法，根据各选项的图像就可得出选项。
【详细解答】运用二分法的前提条件是函数在区间上只有唯一的零点，A中的图像不满足这个条件，A不能用二分法求图中函数零点，选A。
2、在二分法求方程-x-1=0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（
）
A
（1，）
B
（，2）
C
［1，］
D
（，2）
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②二分法求函数零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点存在定理和二分法求函数零点的基本方法，根据各选项的图像就可得出选项。
【详细解答】
f(1)=1-1-1=-1<0，f()=--1=-<0，f(2)=4-2-1=1>0，
f().
f(2)<0，函数f(x)的零点在区间（，2），B符合，选B。
3、求下列函数的零点：
（1）f(x)=-2x-3；
（2）f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内；
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②二分法求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用求解一元二次方程的基本方法就可求出函数f(x)的零点；（2）运用函数零点存在定理和二分法求函数零点的基本方法就可求出函数f(x)的零点。
【详细解答】（1）由方程-2x-3=0解得：x=-1或x=3，
函数f(x)=-2x-3的零点是x=-1或x=3；（2）
f(2)=ln2+4-6<5-6=-1<0，f()=ln
+5-6=
ln
-1<0，f(3)=ln3+6-6
=ln3>0，f().f(3)<0，
函数f(x)=
lnx+2x-6的零点在区间（，3）内，
f()=ln
+
-6=
ln->0，f().f()<0，
函数f(x)=
lnx+2x-6的零点在区间（，）内，即：函数f(x)=
lnx+2x-6的零点x。
4、用二分法求下列方程的近似解（精确度为0.1）：
（1）+3x=7；
（2）+5=6+3x；
（3）（x+1）(x-2)(x-3)=1在区间（-1，0）内；
（4）-1=lnx在区间（0，1）内；
（5）f(x)=lnx-
在区间（2，3）内。
【解析】
【知识点】①函数零点存在定理及运用；②二分法求函数零点的基本方法。
【解题思路】运用函数零点存在定理和二分法求函数零点的基本方法就可分别求出各函数f(x)的零点。
【详细解答】（1）设f(x)=
+3x-7，
f(1)=2+3-7=-2<0，f(2)=4+6-7=3>0，
函数f(x)=
+3x-7的零点在区间（1，2）内，
f()=2+
-7=2->0，f(1).
f()<0，
函数f(x)=
+3x-7的零点在区间（1，）内，
f()=2+-7=2-<0，f().
f()<0，
函数f(x)=
+3x-7的零点在区间（，）内，
f()=2+-7
=2-<0，f().f()<0，
函数f(x)=
+3x-7的零点在区间（，）内，
-=<0.1，方程+3x=7的近似解为x；（2）+5=6+3x，
5+3x-5=0，设f(x)=
5+3x-5，
f(0)=0+0-5=-5<0，f(1)=5+3-5=3>0，f(-1)=5-3-5=-3<0，f(-2)=20-6-5=9>0，函数f(x)零点在区间（-2，-1）或（0，1）内，
f(-)=--5=>0，
f()=+-5=-<0，函数f(x)零点在区间（-，-1）或（，1）内，
f(-)=
--5=-<0，f()=+-5=>0，函数f(x)零点在区间（-，-）或（，）内，
f(-)=--5=>0，f()=+-5=-<0，函数f(x)零点在区间（-，-）或（，）内，
f(-)=--5=-<0，f()=+-5=-<0，函数f(x)零点在区间（-，-）或（，）内，-+=<0.1，-=<0.1，
方程+5=6+3x的近似解为x-或x；（3）设f(x)=（x+1）(x-2)(x-3)-1，
f(-1)=0-1=-1<0，f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函数f(x)零点在区间（-1，-）内，
f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函数f(x)零点在区间（-1，-）内，
f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函数f(x)零点在区间（-1，-）内，
f(-)=（-）（-）-1=-1=-<0，函数f(x)零点在区间（-，-）内，-+=<0.1，方程（x+1）(x-2)(x-3)=1的近似解为x-；（4）设f(x)=
-1-lnx，
f(1)=0.8-1-0=-0.2<0，f()=-1+ln2>0.8-1+ln2=-0.2+ln2>0，
函数f(x)零点在区间（，1）内，f()=-1-ln<0.5-1-ln=-0.5-ln<0，函数f(x)零点在区间（，）内，f()=-1-ln>0.5-1-ln=-0.5-ln>0，函数f(x)零点在区间（，）内，f()=-1-ln<0.5-1-ln=-0.5-ln<0，函数f(x)零点在区间（，）内，-=<0.1，方程-1=lnx的近似解为x；（5）
f(3)=ln3->1-=>0，f()=ln-<0，函数f(x)零点在区间（，3）内，
f()=ln->0，函数f(x)零点在区间（，）内，
f()=ln->0，函数f(x)零点在区间（，）内，
f()=ln-<0，函数f(x)零点在区间（，）内，-=<0.1，方程lnx-
=0的近似解为x。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用二分法求方程近似解的问题，解答这类问题需要理解函数零点存在定理和精确度的定义，掌握二分法求方程近似解的基本方法；
（2）对于在区间〔a,b〕上连续不断，且f(a).f(b)<0的函数f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间二等分，使区间的两个端点与函数零点无限逼近，进而得到函数零点的方法，叫做二分法；
（3）给出精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤为：①确定函数零点所在的区间[a，b]；②取c=
；③求出f(c)的值，1）若f(c)=0，则c就是函数f(x)的零点；2）若f(c).f(a)<0，则零点在区间[a，c]内；3）若f(c).f(b)<0，则零点在区间[a，c]内；④判断零点是否达到精确度（即|零点的近似值-|＜），从而得到零的近似值，否则重复②至④；
（4）注意“精确度”与“精确到”具有不同的含义：①精确度为0.1是指函数零点的近似值与零点差的绝对值小于0.1；②精确到0.1是指得到函数的零点要近似到小数点后的1位。
〔练习3〕解答下列问题：
1、用二分法求函数f(x)=
-x-4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)=0.200
，
f(1.5875)=0.133
，f(1.5750)=0.067
，f(1.5625)=0.003
，f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060，据此数据，可知方程-x-4=0的一个近似解（精确度0.01）可取
；
2、用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）；
（1）-x-2=0；
（2）+3x+7=0；
（3）+1.1+0.9x-1.4=0在区间（0，1）内；
（4）x=3-lgx在区间（2，5）内。
【典例4】解答下列问题：
1、设函数f(x)=
-ax(a＞0)的零点都在区间〔0，5〕上，且函数g(x)=
与函数h(x)=
-a的图像的交点的横坐标为正整数，则实数a的取值有（
）
A
3个
B
4个
C
5个
D
无数个
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质和函数零点存在定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组得出实数a的取值范围，从而确定实数a取值的个数就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
-ax(a＞0)的零点都在区间〔0，5〕上，由f(x)=
-ax=0解得：
x=0或x=，0<5，0与函数h(x)=
-a的图像的交点的横坐标为正整数，-ax-1=0有正整数解，当x=1时，1-a-1=0，a=0；当x=2时，16-2a-1=0，a=；当x=3时，81-3a-1=0，a=；当x=4时，256-4a-1=0，a=
；当x=5时，625-5a-1=0，a=
；当x=6时，1296-6a-1=0，a=
；联立①得：a=或a=或或，综上所述，满足题意实数a的取值共有4个，B正确，选B。
2、函数f(x)=
--a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（
）
A
（1，3）
B
（1，2）
C
（0，3）
D
（0，2）
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质和函数零点存在定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式得出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
--a的一个零点在区间（1，2）内，且在（1，2）上单调递增，f(1)=
2-2-a=-a，f(2)=
4-1-a=3-a，
f(1).
f(2)=-a（3-a）<0，0--a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3），C正确，选C。
3、设函数f(x)=
，g(x)=
a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A（，），B（，），则下列判断正确的是（
）
A
当a＜0时，+＜0，+＞0
B
当a＜0时，+＞0，+＜0
C
当a＞0时，+＜0，+＜0
D
当a＞0时，+＞0，+＞0
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质和函数零点存在定理，结合问题条件对关于参数a>0（a<0）分别确定+，+的取值范围就可得出选项。
【详细解答】y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点，方程a+bx
-=0有两个不同的实数根，，a+b-1=a（x-）=a（-2+x
-+2x-），b=a（-2-）.+2=0，-a=-1，+2=0，a,0，①当a>0时，>0，+=-<0，+=+=>0；②当a<0时，<0，+=->0，+=+=<0，B正确，选B。
4、已知函数f(x)=
x+x-b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点∈（n，n+1），n∈，则n=
；
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质和函数零点存在定理，结合问题条件确定函数f(x)的零点所在的区间，从而求出实数n的值。
【详细解答】2＜a＜3＜b＜4，f(1)=0+1-b=1-b
<0，f(2)=
2+2-b<1+2-b=3-b<0，f(3)=
3+3-b>1+3-b=4-b>0，函数f(x)的零点在区间（2，3）内，函数f(x)的零点∈（n，n+1），n∈，n=2。
5、已知函数f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质和函数零点存在定理，结合问题条得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
y
【详细解答】设函数g(x)=
a|x-1|，方程f(x)
-a|x-1|=0，方程f(x)=a|x-1|，在同一直角坐
f(x)=|+3x|
g(x)=
a|x-1|
标系作出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，由图可
-3
-2
-1
0
1
x
知方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，
函数f(x)，g(x)的图像恰有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，联立函数f(x)，g(x)的解析式所得的方程：+（3-a）x+a=0有两个不相等的实数根，=-4a=-10a+9>0，a<1或a>9，由图知a>0，09，即：若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是（0，1）（9，+
）。
6、已知函数f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g(x)-
f(x)=0有两个相异实根。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②函数零点存在定理及运用；③求函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数零点的性质和求函数零点的基本方法得到关于参数m的不等式，求解不等式就可求实数m的取值范围；（2）运用函数零点的性质和求函数零点存在定理定点关于参数m的不等式，求解不等式就可求实数m的取值范围。
【详细解答】（1）
g(x)=m有零点，方程x+-m=0有实数根，x+
2
2e，当且仅当x=e时等号成立，
函数g(x)的值域为[2e，+
），m2e，若g(x)=m有零点，则实数m的取值范围是[2e，+
）；（2）方程g(x)-
f(x)=0有两个相异实根，函数g(x)，
f(x)的图像由两个不同的交点，在同一直角
y
g(x)=x+
坐标系中作出函数g(x)，
f(x)的图像如图所示，函
2e
------
数f(x)=-+2ex+m-1=-
+m-1+
图像的对称
f(x)=-+2ex+m-1
轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+
，由图知，当
0
e
x
m-1+
>2e，即m>1-
+2e时，函数g(x)，
f(x)的图像由两个不同的交点，即方程g(x)-
f(x)=0有两个相异实根，若g(x)-
f(x)=0有两个相异实根，则实数m的取值范围是（1-
+2e，+
）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是已知函数零点个数（或函数零点所在的区间）求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义和函数零点存在定理，掌握求函数零点的基本方法，注意该类问题的常见类型的特征和解答的基本方法；
（2）已知函数零点个数（或函数零点所在的区间）求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题常用方法有：①直接法；②分离参数法；③数形结合法；
（3）直接法的基本方法是：①判断函数的单调性；②利用零点存在定理得到关于参数的不等式（或不等式组），③求解不等式（或不等式组）得出参数的值（或取值范围）；
（4）分离参数法的基本方法是：①把原函数解析式中的参数分离出来与一个新函数构成不等式；②求出新函数的最值；③得出参数的值（或取值范围）；
（5）数形结合法的基本方法是：①对解析式变形，化为两个函数相等的等式；②在同一直角坐标系中画出两个函数的图像；③根据所作函数图像得出的值（或取值范围）。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=3ax+1-2a在区间（-1,1）内存在一个零点，则a的取值范围是（
）
A
a＞
B
a＞或a＜-1
C
-1＜a＜
D
a＜-1
2、已知方程|
-a|-x+2=0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（
）
A
0＜a＜4
B
a＞4
C
0＜a＜2
D
a＞2
3、已知函数f(x)=
x
，x
0，若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，则实数m的取值范
-x，x＞0，围是（
）
A
［-，1］
B
［-，1）
C
（-，0）
D
（-，0］
3、若函数f(x)=
-2x-a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是
；
4、已知函数f(x)=
+x+a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为
；
5、若函数f(x)=|
-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是
。
【典例5】解答下列问题：
1、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一个正根和一个负根，则有（
）
A
a＜0
B
a＞0
C
a＜-1
D
a＞1
【解析】
【知识点】①一元二次方程的定义与性质；②一元二次方程根的判别式及运用；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用。
【解题思路】运用一元二次方程的性质和一元二次方程根与系数的关系定理得到关于参数a的不等式，求解不等式求出参数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】元二次方程a+2x+1=0（a0）有一个正根和一个负根，<0，即a<0，
A正确，选A。
2、满足a，b{-1，0，1，2}，且关于x的方程a+2x+b=0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（
）
A
14
B
13
C
12
D
10
【解析】
【知识点】①参数分类讨论的原则与基本方法；②一元二次方程的定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用。
【解题思路】运用参数分类讨论的原则与基本方法，一元二次方程的性质和一元二次方程根的判别式，分别确定出参数a，b的可能取值，从而得到所有可能有序数对（a，b）的个数就可得出选项。
【详细解答】①当a=0时，方程a+2x+b=0，2x+b=0，b在{-1，0，1，2}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；②当a=-1时，=4+4b=4（1+b），1+b0，即b-1，方程a+2x+b=0有实数解，
b在{-1，0，1，2}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；③当a=1时，=4-4b=4（1-b），1-b0，即1b，方程a+2x+b=0有实数解，
b在{-1，0，1}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（1，-1），（1，0），（1，1）；④当a=2时，=4-8b=4（1-2b），1-2b0，即b，方程a+2x+b=0有实数解，
b在{-1，0}中任取一个值方程都有实数解，从而得到有序数对（2，-1），（2，0），综上所述，若满足a，b{-1，0，1，2}，且关于x的方程a+2x+b=0有实数解的有序数对（a，b）的个数为13个，B正确，选B。
3、方程+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，则m的取值范围为
；
【解析】
【知识点】①一元二次方程的定义与性质；②一元二次方程根的判别式及运用；③一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】运用一元二次方程的性质，根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件得到关于参数m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】设方程+（m-2）x+5-m=0的两根分别为，，<，方程+（m-2）x+5-m=0的两根都大于2，=-4（5-m）=-160①，（-2）（-2）=-2（+）+4=5-m+2m-4+4=m+5>0②，联立①②解得：-5[4，+）。
4、已知函数f(x)=
+（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②一元二次方程的定义与性质；③一元二次方程根的判别式及运用；④一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质，一元二次方程的性质，根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】设方程+（-1）x+（a-2）=0的两根分别为，，<，函数f(x)=
+（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，=-4（a-2）
=-2-4a+90①，（-1）（-1）=-（+）+1=a-2+-1+1
=+a-2<0②，联立①②解得：-2+（-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是（-2，1）。
5、已知函数f(x)=
m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数零点的定义与性质；②参数分类讨论的原则与基本方法；③一元二次方程定义与性质；④一元二次方程根的判别式及运用；⑤一元二次方程根与系数关系定理及运用。
【解题思路】运用函数零点的性质，参数分类讨论的原则与基本方法，一元二次方程的性质，根的判别式和根与系数关系定理，结合问题条件分别得到关于参数m的不等式（或不等式组），求解不等式（或不等式组）就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】①当m=0时，函数f(x)=
m+（m-3）x+1=-3x+1的零点为x=>0，函数f(x)=
m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0；②当m
0时，设函数f(x)=
m+（m-3）x+1的零点方分别为，，<，若<0，>0，由=-4m=-10m
+90，且.=<0解得：m<0，若0<<，由=-4m=-10m+90，且
.=>0解得：0m+（m-3）x+1的零点至少有一个大于0，则实数m的取值范围是（-，1]
[9，+）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是一元二次函数零点的问题，解答这类问题需要注意一元二次函数，一元二次方程知识的综合运用，特别是韦达定理和一元二次函数的图像及性质的运用；
（2）求解已知含参数的一元二次函数的零点存在情况求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据韦达定理和参数分类讨论的原则与基本方法，并结合一元二次函数的图像分别得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③综合分类讨论得出参数的值（或取值范围）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=
(m-2)+mx+2m+1的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，则实数m的取值范围是
；
2、若方程-2mx+2=0的两个不同根都小于1，则实数m的取值范围是
；
3、已知函数f(x)=
2(m+1)+4mx+2m-1，如果函数的两个零点在原点的两侧，则实数m的取值范围是
；
4、方程-（k+2）x+1-3k=0有两个不等的实数根
，，且0＜＜1＜＜2，则实数k的取值范围是
；
5、若方程a-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。

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