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排列、组合中“至少型”问题求解策略
含“至少”、“至多”相关排列、组合题目，题型变化较大，解法不唯一，难度较大，为帮助大家领会这类题目求解策略，本文剖析几点求解技巧。
1、
直接讨论求解
例1、
某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至
多选一门．学校规定，每位同学选修门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）
例2、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法
共有（
）
A、150种
B、180种
C、200种
D、280种
2、
间接求解
例3、现有尺码各不相同的5双鞋，若从中取出5只，至少有2只能配成一双（尺码相
同）的不同取法有多少种？
例4、我们班有43位同学，从中任选5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内
的选法有多少种？
3、
构造模型隔板求解
例5、某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？
4、
等价转化法
例6、圆上有9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内至多有多少个交点？
排列、组合中“至少型”问题求解策略（答案）
含“至少”、“至多”相关排列、组合题目，题型变化较大，解法不唯一，难度较大，为帮助大家领会这类题目求解策略，本文剖析几点求解技巧。
5、
直接讨论求解
例1、
某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至
多选一门．学校规定，每位同学选修门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）
解：设上课时间相同的三门课为A，B，C，由题意知：满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A，B，C外的六门课程，则不同的选修方案有＝15种；第二类是所选的4门中有且仅有一门来自于A，B，C，另外三门从除A，B，C外的六门课程中选择，则不同的选修方案有＝60种，由分类加法计数原理可得满足题意下选修方案共有15＋60＝75种。
点评：组合与顺序无关，解题时首先判断是组合问题还是排列问题。本题与顺序无关，解题时需要把9门课程分为两类，即A，B，C三门课程与除A，B，C外的六门课程，然后进行安排。
例2、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法
共有（
）
A、150种
B、180种
C、200种
D、280种
解：人数分配上有1，2，2，与1，1，3两种方式：
（1）若是1，2，2，有种；
（2）若是1，1，3，有种，
所以共有90＋60＝150种，故选A.
点评：合理运用排列、组合公式，结合分类计数原理，从而解决了问题。
6、
间接求解
例3、现有尺码各不相同的5双鞋，若从中取出5只，至少有2只能配成一双（尺码相
同）的不同取法有多少种？
解：因为5只鞋中无两只配成一双的取法共有种，所以至少有两只能配成一双的取法有种。
例4、我们班有43位同学，从中任选5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内
的选法有多少种？
分析：此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成耗几种情况，这样解题，容易造成
遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便，可以简化计算过程。
解：43人中任选5人的方法有种，正、副班长、团支部书记都不在内的选法有种，所以正、副班长、团支部书记至少有1人在内的选法有－种。
7、
构造模型隔板求解
例5、某地区有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法？
解：因为名额没有区别，因此，可以在11个名额所产生的10个空隙中插入8个板，即将这11个名额分成9份，有种分配方法。
点评：这类问题的特征是：（1）被分的元素没有区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式：将n个相同的元素分成m份（）时，有种分配方法。
8、
等价转化法
例6、圆上有9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内至多有多少个交点？
解：本题直接求解比较困难，如果转换角度，建立下面对应关系：线段AC、BD在圆
内交于点P，连接AB、BC、CD、DA得到一个四边形ABCD，于是问题等价转化为：9个点可构成多少个圆内接四边形。故所有线段在圆内至多有个交点。

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