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第十二章
实数
第一节实数的概念
12.1实数的概念
有理数和无理数统称为实数。
实数按如下方式分类：
正有理数
有理数
零
有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点表示一个实数。
正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。
第二节数的开方
12.2平方根和开平方
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。
求一个数ɑ的平方跟的运算叫做开平方，ɑ叫做被开方数。
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。
正数ɑ的两个平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算术平方根)，读作“根号a”；表示ɑ的负平方根，读作“负根号ɑ”。
零的平方根记作√0，√0=0.
当a>0时，（）?=a，（）?=a.
当a≥0时，
=a;
当a≤0时，
=－ɑ
12.3
立方根和开立方
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号ɑ”。中的ɑ叫做被开方数，“3”叫做根指数。
求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。
正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
12.4n次方根
如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于ɑ，那么这个数叫做ɑ的n次方根，当n为奇数时，这个数为ɑ的奇次方根；当n为偶数时，这个数为ɑ的偶次方根
求一个数ɑ的n次方跟的运算叫做开n次方，ɑ叫做被开方数，n叫做根指数。
实数ɑ的奇次方根有且只有一个，用“”表示，其中被开方数ɑ是任意一个实数,根指数n是大于1的奇数。
正数ɑ的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“”表示，负n次方根用“－”表示，其中被开方数ɑ>0，根指数n是正偶数（当n=2时，在±中省略n)
负数的偶次方根不存在。
零的n次方根等于零，表示为=0
“”读作“n次根号ɑ”
第三节
实数的运算
12.5用数轴上的点表示数
有理数范围内绝对值、相反数意义：
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作∣ɑ∣.
绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；
零的相反数是零。非零实数ɑ的相反数是－ɑ。
实数大小的比较：
负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
两点间的距离：
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为ɑ、b，那么
A、B两点的距离
AB=∣ɑ－b∣.
12.6
实数的运算
设ɑ>0，b>0，可知（·）=（
）?·（）?=ɑb。
根据平方根的意义，得=·。
同理：=
近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。
对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
第四节
分数指数幂
分数指数幂
=（ɑ>0）
=
（ɑ>0）
其中m、n为正整数，n>1.
有理数指数幂有下列性质：
设ɑ>b，b>0，P、q为有理数，那么
（1）·=，
=
（2）=
（3）
本章小结
有理数
实数的分类
无理数
实数
用数轴上的点表示数
运算法则及运算性质
实数的运算
近似数及近似计算
数的开方
分数指数幂
有理数指数幂
运算性质
第十三章
相交线、平行线
第1节
相交线
13.1邻补角，对顶角
相交线的定义：
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。
对顶角的定义：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的定义：
有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
垂线的定义：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：垂线段最短。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
同位角：
两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直
线也平行。
13.2垂线
1.垂线与斜线
通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：
在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。
2.点到直线的距离
联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
13．3同位角，内错角，同旁内角（三线八角）
第2节
平行线
13.4
平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）
平行线具有以下基本性质：
经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）
13.5
平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行，同
位角相等)
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内
错角相等）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，
同旁内角互补）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。（对于直线、、,如果，那么。被称为平行
的传递性）
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都
是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。
第十四章
三角形
第1节
三角形的有关概念与性质
14.1
三角形的有关概念
1.三角形的有关线段
三角形的高，中线，角平分线
2.三角形的分类
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形
三角形的内角和
三角形的内角和等于。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的外角和等于。
第2节
全等三角形
全等三角形的概念与性质
能够重合的两个图形叫做全等形。
两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的判定
判定方法1
在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.A.S）。
判定方法2
在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.S.A）。
判定方法3
在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.A.S）。
判定方法4
在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.S.S）。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“HL”。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思路
　　　　　　　　　找夹角——ＳＡＳ
Ⅰ.已知两边　　找直角——ＨＬ
找另一边——ＳＳＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　找边的对角——ＡＡＳ
Ⅱ.已知一边一角　边为角的邻边　找夹角的另一边——ＳＡＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　找夹边的另一角——ＡＳＡ
　　　　　　　　　　　
边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ
Ⅲ.已知两角　　找夹边——ＡＳＡ
　　　　　　　　　找任意一边——ＡＡＳ
第3节
等腰三角形
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。
等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。
等边三角形的性质：
等边三角形的每个内角等于。
判定等边三角形的方法：
（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
1、线段的垂直平分线：
定理：
⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。
2、等腰三角形：
性质：
①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”。
②等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°。
定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”。
推论：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、角的平分线：
定理：
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第十五章
平面直角坐标系
第1节
平面直角坐标系
15.1
平面直角坐标系
在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且使它们以点为公共原点。这样，就在平面内建立了一个直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条轴叫做纵轴（记作轴）。如图所示，记作平面直角坐标系；点叫做坐标原点（简称原点），轴和轴统称为坐标轴。
在平面直角坐标系xOy中，点P所对应的有序实数对（ab)叫做点P的坐标，记作P（a,b)，其中ɑ叫做横坐标，b叫做纵坐标。
象限的划分：
经过点A（a,b)且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=ɑ,经过点A(a,b)且垂直于y轴的直线可以表示为直线y=b.
第2节直角坐标平面内点的运动
15.2
直角坐标平面内点的运动
点的坐标
　　有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）。
在直角坐标平面内，
平行于x轴的直线上的两点A(,y)、B(,y)的距离
AB=∣－∣；
平行于y轴的直线上的两点C(x,)、D(x,)的距离
CD=∣－∣.
点的平移
在平面直角坐标系中，(m>0)
将点（x,y）向右平移m个单位长度，可以得到对应点（x＋m
，y）；
将点（x,y）向左平移m个单位长度，可以得到对应点（x－m，y）；
将点（x,y）向上平移m个单位长度，可以得到对应点（x，y＋m）；
将点（x,y）向下平移m个单位长度，可以得到对应点（x，y－m）。
坐标平面图
　　
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为
六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。
建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）。这样，原来平面内的点都可以用有序实数对来表示。
在平面直角坐标系中，点所对应的有序实数对叫做点的坐标，记作，其中叫做横坐标，叫做纵坐标。
原点的坐标是。的坐标是，的坐标是。
在平面直角坐标系中对称点的特点：
①关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（横同纵反）
　
②关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（横反纵同）
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)关于X轴对称的点的坐标为（x,y);与点M(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)关于原点对称的点的坐标为（-x,-y)。

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