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圆锥曲线的七种常考题型
题型一：定义的应用
圆锥曲线的定义：
（1）椭圆
（2）双曲线
（3）抛物线
2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系
（2）等价转换，数形结合
3、定义的适用条件：
典型例题
例1、动圆M与圆C1：内切,与圆C2：外切,求圆心M的轨迹方程。
例2、方程表示的曲线是
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
椭圆：由分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
双曲线：由系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题
例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
例2、当k为何值时,方程表示的曲线：
(1)是椭圆；(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
常利用定义和正弦、余弦定理求解
，四者的关系在圆锥曲线中的应用
典型例题
例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角，
求的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法
典型例题
例1、已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（
）
A.
　　B.
　　C.
　　D.
例2、双曲线的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.
(1，3)
B.
C.(3,+)
D.
例3、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在
点使.
求椭圆离心率的取值范围；
例4、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断
点与椭圆的位置关系
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
>0相交
=0相切
（需要注意二次项系数为0的情况）
<0相离
3、弦长公式：
4、圆锥曲线的中点弦问题：
韦达定理：
点差法：
带点进圆锥曲线方程，做差化简
得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x2－4y2=4的弦AB－被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程。
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；?
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；
例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．
待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为?????????????????
　
定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为???????
???????????
例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______
例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为?????
??
?
代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:
例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________
?
(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是
题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题”
“向量的数量积大于、等于、小于0问题”
>0；
③“等角、角平分、角互补问题”
斜率关系（或）；
④“共线问题”
（如：
数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题”
坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
典型例题：
例1、已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.
例3、设、分别是椭圆：的左右焦点。
（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线
，
的斜率都存在，并记为，?，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论。
例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
例5、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一
象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆
于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
典型例题：
例1、
由①、②解得，．
不妨设，，
∴，．
∴
，
③
当时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．
当时，由③得，．
故当时，的最大值为．
例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知=λ
由韦达定理得
将x1=λx2代入得
两式相除得
①
M在D、N中间，∴λ＜1
②
又∵当k不存在时，显然λ=
(此时直线l与y轴重合)
综合得：1/3
≤λ＜1.
例3、解：（1）由于点在椭圆上，得2=4,
…2分
椭圆C的方程为
，焦点坐标分别为
……4分
（2）设的中点为B（x,
y）则点
………………………5分
把K的坐标代入椭圆中得……………7分
线段的中点B的轨迹方程为
………………………8分
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设,
在椭圆上，应满足椭圆方程，得
……10分
==
……………………………13分
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，
………………14分
例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．
…………（5分）
（Ⅱ）设，，
联立得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，
，，
．
解得：，，且均满足，
1、当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
2、当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
…………（14分）
例5、解（1）。
，设
则
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，
则PB的直线方程为：
由得
设则
同理可得，则
所以：AB的斜率为定值
例6、
解：（1）由，
得……………………3分
∴夹角的取值范围是（）……6分
（2）
………8分
………………10分
∴当且仅当
或
…………12分
椭圆长轴
或
故所求椭圆方程为.或
…………14分

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