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例1：（1）函数的单调减区间是
；
（2）函数的单调递减区间为
．
例2：函数的最大值为________．
例3：（1）已知定义域为的函数在区间上单调递增，且满足，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知函数是定义在[]上的增函数，且，则实数的取值范围为
．
例4：偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
例5：已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调函数，若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
例6：对任意，函数都有成立，则函数的图象关于点中心对称．
例7：已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且对任意的实数都有，且，，则
．
一、选择题
1．已知函数是偶函数，当时，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数是偶函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．设函数，则的递增区间是（
）
A．
B．
C．和
D．和
4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，且，
有，若，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数满足对定义域中任意两个不相等的都成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数是定义在上的奇函数，下列说法：
①；
②若在上有最小值为，则在上有最大值为；
③若在上为增函数，则在上为减函数；
④若时，，则时，．
其中正确说法的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．已知函数是定义在上的偶函数，且时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．函数的单调递减区间为
．
10．已知函数是奇函数，且，则
．
11．已知函数为偶函数，其定义域为，则的值域为
．
12．已知函数是定义在上的不恒为零的奇函数，且对任意实数都有，若，则
；
．
三、解答题
13．已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（2）求函数在上的最小值．
14．设函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值；
（3）计算的值．
15．已知函数定义域为，对任意都有，当时，，．
（1）求；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）解不等式．
16．已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）是否存在非负实数，使得当时，函数的值域为，若存在，
求出实数的值；若不存在，请说明理由．
例1：【答案】（1）；（2）和．
【解析】（1）令，则，
因为在是增函数，
所以，当为的减函数时，为的减函数．
为了使得函数有意义，需，
又得对称轴为，所以函数的减区间为．
（2）由定义域可知，且易得的单减区间为和．
例2：【答案】
【解析】令，则，∴，
当，即时取等号，∴函数取最大值为．
例3：【答案】（1）C；（2）．
【解析】（1）由可得函数的图像关于直线对称，
∴，，
又在区间上单调递增，∴，即．
（2）因为函数是定义在上的增函数，
∴，解得，
故的取值范围是．
例4：【答案】B
【解析】偶函数在上单调递增，且，
∴当时，的解集为；当，的解集为，
∵，即，即或，
∴或，
∴不等式的解集为．
例5：【答案】A
【解析】∵函数是定义在上的偶函数，∴函数的图象关于直线对称，
∴，，
又，∴，∴函数在上单调递减，
∴，即．
例6：【答案】
【解析】∵函数满足，∴函数的图象关于点中心对称．
例7：【答案】1
【解析】由，得，及周期为3，
由图象关于点成中心对称，可得，
从而，∴，
由，，可得，
∴，
．
一、选择题
1．【答案】A
【解析】∵函数是偶函数，∴，，．
2．【答案】C
【解析】当，，∴，
∵是偶函数，∴，∴．
3．【答案】C
【解析】的单调递增区间是和．
4．【答案】A
【解析】函数的单调递减区间是，
若函数在区间上是减函数，则，∴．
5．【答案】D
【解析】对任意的，且，有，
即函数在上是减函数，
又，再结合奇偶性可画出函数的草图如下．
等价于或，
解出可得或或．
6．【答案】A
【解析】由可得函数在定义域内是增函数，
则，解得．
7．【答案】B
【解析】①显然正确；
∵奇函数的图象关于原点对称，∴②正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，③错误；
若时，，则时，，④错误，
∴只有2个说法正确．
8．【答案】D
【解析】根据题意，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又当时，是单调函数，则时，也是单调函数，
若，则或，
化简得或，
有两根，两根之和为，有两根，两根之和为，
则满足的所有之和为．
二、填空题
9．【答案】和
【解析】由定义域可知，且易得的单减区间为和．
10．【答案】
【解析】令，，
∵是奇函数，∴，
又，∴．
11．【答案】
【解析】∵是偶函数，∴定义域关于原点对称，
∴，∴，且此时抛物线的对称轴为轴，∴，
此时在上的值域为．
12．【答案】，
【解析】令，由可得；
当且时，由可得，
，所以．
三、解答题
13．【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】（1）函数在上的单调递增，证明如下：
令，
又，
∵，∴，，，，
∴，即，
∴函数在上的单调递增．
（2）由（1）知函数在上的单调递增，
∴函数在上的最小值为．
14．【答案】（1）偶函数；（2）0；（3）1．
【解析】（1）函数的定义域为，
又，∴为偶函数．
（2），∴．
（3）由（2）可得，∴，又，，∴．
15．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）令，可得，
令，可得，
又，∴．
（2）函数在上单调递增，证明如下：
令，可得，
即，
令，则，
又∵当时，，∴，即，
∴函数在上单调递增．
（3），∴，
又，∴，即，
由（1）得，∴，
结合单调性可得．
16．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，∴，
∵是定义在上的奇函数，∴，
∴．
（2）当时，函数在上单调递减，
显然不存在非负实数使得函数的值域为；
当时，对讨论如下，
当时，函数在上单调递增，有，，
为的两个解，∴，解得，，此时不合题意；
当时，有，，解得或（不合题意，舍去），．
综上，存在，，使得当时，函数的值域为．
函数的图像与性质
1、单调性的判断
2、利用单调性求最值
3、利用单调性比较大小、解抽象函数不等式
4、奇偶性
5、轴对称
6、中心对称
7、周期性的应用

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