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等效最高点模型专练（较难）
1．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接。在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示。小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)。已知A、B间距离为2R，重力加速度为g。在上述运动过程中，求
(1)小球在电场中受到的电场力大小；
(2)
小球过B点时对圆轨道的压力大小
(3)小球在圆轨道上运动时的最大速率。
2．如图所示，空间某区域存在足够大的水平方向的匀强电场E=2×104
N/C，将一长为L=1m的不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端连接一个质量为m=0.1
kg的可视为质点小球，小球带电量q=
+5
×l0-5
C，现将绝缘细线AO拉至与电场线平行位置，且细线刚好拉直，让小球从A处静止释放，取g=
10
m/s2，求：
(1)小球第一次到达O点正下方的B点时细线的拉力F;
(2)小球从A运动到B过程中，小球的最大速度vm；
(3)若让小球在如图所示的竖直平面内做完整的圆周运动，则需在A处给小球一个垂直于细线的初速度vo，求vo的最小值．（以上结果可用根式表示）
3．用长为L的绝缘细线拴一个质量为m，电荷量为q的小球，如图所示，线的另一端固定在水平方向的匀强电场中，开始时将带电球拉到使线成水平的位置，小球由静止从A点向下摆动，当细线转过60°角，小球到达B点时，速度恰好为零，试求：
（1）匀强电场的场强E为多大？
（2）小球由A运动到B点的过程中，细线的最大拉力多大？
（3）在A点给小球一竖直向下的初速度使小球能完成竖直平面内的完整的圆周运动，求小球速度最小的点的电势．（设O点的电势为零，电场区域足够大，小球始终在匀强电场中）
4．如图所示，虚线左侧有一长度为L，动摩擦因数μ=0.5、倾角θ=37°的粗糙斜面AB，虚线右侧有一光滑的半圆形轨道BCD，圆心为O，半径，斜面AB与半圆形轨道BCD在B点平滑连接.已知在虚线的右侧空间有方向水平向右、电场强度的匀强电场.现将一质量为m、电量为+q的小球从斜面AB顶端A由静止释放，求：
(1)小球第一次经过圆形轨道最低点B时，对圆形轨道的压力(用m，g表示)；
(2)试分析小球在运动过程中是否会脱离半圆形轨道；
(3)小球在整个运动过程中在斜面AB上因摩擦产生的热量(用m，g，L表示).
5．如图所示，在竖直平面内有一固定的光滑绝缘轨道，圆心为O，半径为r，A、B、C、D分别是圆周上的点，其中A、C分别是最高点和最低点，BD连线与水平方向夹角为。该区间存在与轨道平面平行的水平向左的匀强电场。一质量为m、带正电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过D点时速度最大，重力加速度为g（已知，），求:
(1)小球所受的电场力大小；
(2)小球经过A点时对轨道的最小压力。
6．如图所示，在沿水平方向的匀强电场中用一根长度L=0.8m的绝缘细绳把质量为m=0.20kg、带有正电荷的金属小球悬挂在固定点O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37?．现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，（g=10m/s2，sin37?=0.6，cos37?=0.8）求：
(1)从A到C静电力对小球做的功；
(2)小球通过最低点C时的速度的大小；
(3)小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。
7．如图所示，AB是一倾角为θ=37°的绝缘粗糙直轨道，滑块与斜面间的动摩擦因数，BCD是半径为R=0.2m的光滑圆弧轨道，它们相切于B点，C为圆弧轨道的最低点，整个空间存在着竖直向上的匀强电场，场强E
=
4.0×103N/C，质量m
=
0.20kg的带电滑块从斜面顶端由静止开始滑下．已知斜面AB对应的高度h
=
0.24m，滑块带电荷q
=
-5.0×10-4C，取重力加速度g
=
10m/s2，sin37°=
0.60，cos37°=0.80．求：
（1）滑块从斜面最高点滑到斜面底端B点时的速度大小；
（2）滑块滑到圆弧轨道最低点C时对轨道的压力．
8．如图所示，在竖直面内放置光滑的绝缘轨道，匀强电场水平向右，电场强度为E.一带负电的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动(小球通过B点时无机械能的损失)并进入圆环内做圆周运动.已知小球带电量为，圆环半径为R，斜面倾角，BC段长为2R.
（1）若h=5R，求小球到斜面底端时的速度大小.
（2）若要求小球在全过程中不脱离轨道，求h的取值范围.(用R表示)
9．如图所示，在水平向右的匀强电场中，一个质量为、电量为的小球，用长为的绝缘细线悬挂于点，当小球静止在点，此时细线与竖直方向夹角．现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰好能在竖直平面内做圆周运动．试求：
（1）小球速度的最小值．
（2）小球在点的初速度．
（3）小球机械能的最小值（设圆周运动的最低点为重力势能的零点）．
10．如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，水平轨道AB也是光滑的，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中．现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小等于mg，重力加速度为g．
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心等高的C点时速度为多大？
（2）在（1）的情况下，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
（3）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求这种情况下滑块在圆轨道上滑行过程中的最小动能。
参考答案
1．（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）设小球在C点速度的大小为vC，从C到P用时间为t，则从C到P：水平：2R=vCt
竖直方向：R=gt2
从A到C由动能定理：
解得；
（2）从A到B由动能定理：
，
在B点：
解得：N=5mg
（3）设等效竖直方向与竖直方向的夹角为θ，过O点的等效竖直线与BN轨道交于F点，
从A到F，由动能定理：
解得：
【点睛】
本题关键灵活地选择过程并运用动能定律列式，同时根据向心力公式和平抛运动的位移公式列式进一步分析求解；注意由于电场力和重力都是恒力，则可以用等效思想进行解答。
2．(1)1N
(2)m/s
(3)m/s
【详解】
（1）因mg=1N，qE=1N，则小球沿圆弧运动，由A到B由动能定理：
解得vB=0，
则F=mg=1N
（2）依题意小球运动到AB圆弧中点C时，速度最大，由A到C由动能定理：
解得：
（3）由题意可知，当小球运动到圆周上与C点对称的D处时，有：
由A到D由动能定理：
解得：
【点睛】
此题是带电粒子在电场和重力场中的运动问题，因重力和电场力都是恒力，则解题时也可以把它们等效为一个恒力来处理，然后结合圆周运动的规律求解.
3．（1）；
（2）（6﹣2）mg；
（3）
【解析】
（1）小球从A到B的运动过程中运用动能定理的：
﹣EqL（1﹣cos60°）+mgLsin60°=0
解得：E=
（2）当小球运动到细线方向与电场力和重力合力的方向相反时，绳子的拉力最大，
设此时绳子与水平方向夹角为θ，则tanθ=
所以θ=30°
根据动能定理得：mgLsinθ﹣Eq（1﹣cosθ）L=mv2
T﹣F合=m
由上述各式解得：T=（6﹣2）mg
（3）小球速度最小的点应在与C位置在同一直径上的C′点，如图所示
则有：U=ELsin60°
解得：φ=
4．(1)
方向竖直向下
(2)
小球不会脱离半圆形轨道
(3)
【解析】
(1)设第一次到达B点的速度为，则由动能定理：
所以
在B处根据牛顿第二定律：
所以根据牛顿第三定律：，方向竖直向下；
(2)小球进去虚线右侧区域后，受到的电场力
电场力与重力的合力，斜向下、与竖直方向成53°，
如下图所示：
假设小球始终不脱离轨道，且当速度减为0时，在合力的反方向上移动了距离h.
由动能定理：，
由(1)知，所以
经分析，小球不脱离轨道需满足，
因为，所以假设成立，小球不会脱离半圆形轨道；
(3)经分析，如上图所示，最终小球将在半圆形轨道上的B点与E点间往复运动，，在B点与E点时速度恰好为0.
由能量守恒：，所以。
5．（1）；
（2）2mg，方向竖直向上.
【解析】
（1）由题意可知
:
?
所以:
（2）由题意分析可知，小球恰好能做完整的圆周运动时经过A点对轨道的压力最小.
?
??
小球恰好做完整的圆周运动时，在B点根据牛顿第二定律有:?
小球由B运动到A的过程根据动能定理有:?
小球在A点时根据牛顿第二定律有:?
联立以上各式得:
?由牛顿第三定律可知，小球经过A点时对轨道的最小压力大小为2mg，方向竖直向上.
6．（1）-1.2J
（2）2m/s
（3）4.5N
【解析】
【详解】
（1）小球受到电场力qE,重力mg和绳的拉力F的作用下处于静止，
根据共点力的平衡条件有：qE=mgtan37
?
小球从A到C的过程中，W=-qEL=-1.2J
（2）A到C的过程中，根据动能定理有：mgL-qEL=mvc2
可得：vc=2m/s
（3）在摆动过程中，经B点时，细线的拉力最大，从A到B的过程中，
根据动能定理可得：mgLcos37?-qEL（1-sin37
?）=
在B点时，满足:
拉力:F=4.5N
【点睛】
本题主要考查了动能定理及向心力公式的直接应用，注意小球在等效最低点受到的拉力最大是关键。
7．(1)
(2)
【解析】
(1)滑块沿斜面滑下的过程中，受到的滑动摩擦力：
设到达斜面底端时的速度为v1，根据动能定理得：
解得：
v1=2.4m/s
(2)滑块从B
到C
点，由动能定理可得：
当滑块经过最低点时，有：
由牛顿第三定律：
方向竖直向下．
【点睛】
本题是动能定理与牛顿定律的综合应用，关键在于研究过程的选择.
8．（1），
（2）.
【解析】
（1）由动能定理可以求出小球到斜面底端时的速度大小，（2）对小球受力分析可知小球受到的合力为恒，在复合场中做完整的圆周运动的临界条件是恰小球到达与圆心等效等高点D时速度为0或小球恰能通过等效最高点E，根据动能定理和牛顿第二定律即可求出h的取值范围.
（1）由A到B的过程：重力做正功，电场力做负功
由动能定理：，又F=qE
解得：
（2）小球在复合场中运动，重力与电场力的合力，方向与竖直方向夹角为，斜向左下方，如图所示
由等效重力思想，小球不脱离轨道，临界时：
①小球到达与圆心等效等高点D时速度为0：
从C到D：
解得：
由斜面顶端到C点：
解得：
②小球恰能通过等效最高点E：
在E点：，解得：
从C到E：
解得：
由斜面顶端到C点：
解得：
综上：或
9．（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）受力分析如图所示：
等效重力为
依据几何关系可得
解得
由题可知
解得
（2）由动能定理可得
解得
（3）设圆周运动的最低点为重力势能的零点，根据动能定理
解得
故点的机械能
电场力做功且做负功
，
故机械能的最小值为
10．（1）
（2）7mg
（3）
【解析】
（1）设滑块到达C点时的速度为v，从A到C过程，
由动能定理得：qE?（s+R）﹣mgR=
由题，qE=mg，s=3R
代入解得，v=
（2）滑块到达C点时，由电场力和轨道作用力的合力提供向心力，则有
N﹣qE=m
解得，N=7mg
（3）重力和电场力的合力的大小为F=
mg
滑行过程中等效最高点速度最小，
,
故在圆轨道上滑行过程中的最小动能为
本题答案是：（1）（2）7mg（3）

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