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专题03
函数的极值与导数
一、极值点与极值的概念
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧f(x)单调递增，f′(x)__>__0，右侧f(x)单调递减，f′(x)__<__0，在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)__＝__0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有__(c，f(c))__，(e，f(e))，与b类似的点还有__(d，f(d))__.
我们把点a叫做函数f(x)的极__大__值点，f(a)是函数的一个极__大__值；把点b叫做函数f(x)的极__小__值点，f(b)是函数的一个极__小__值．
一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于x0附近的所有点x，如果都有__f(x)f(x0)__，则称函数f(x)在点x0处取得__极小值__，并把x0称为函数f(x)的一个__极小值点__.极大值与极小值统称为__极值__，极大值点与极小值点统称为__极值点__.
极值的定义
(1)极大值与极小值统称为极值．
(2)极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
三、求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(4)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．
技巧1
利用导数求函数的极值
例1、求下列函数的极值，并画出函数的草图：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
【解】　(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
0
＋
y
?
无极值
?
极小值0
?
无极值
?
∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.
函数的草图如图所示：
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
函数的草图如图所示：
『规律总结』　利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
例2、设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.求f(x)的极值；
[解析]　f
′(x)＝3x2－2x－1.
令f
′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
技巧2
求参数的值或取值范围问题
例3、已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．
[思路分析]　本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左、右异号．
[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
『规律总结』　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
例4、已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，f
′(x)＝.
由f
′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f
′(x)＝＝.
①当a<0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
F(x)
↘
极小值
↗
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2②当a>0时，F(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
F(x)
↗
极大值
↘
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，
即x≤1－时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点．
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
一、选择题
1．已知函数，则有（
）
A．极小值-1
B．极大值-1
C．极小值点-1
D．极大值点-1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得导函数,令求得极值点.判断极值点左右两侧的单调性,即可判断是极大值还是极小值,代入函数求得极值即可.
【详解】
函数，则
令,解得
当时,,则在时单调递减
当时,,则在时单调递增
所以在处取极小值,极小值为
故选:A
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值与极值点,属于基础题.
2．函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数(
)
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【答案】C
【解析】
【分析】
设导函数的图象与x轴的交点从左到右依次为，写出函数的单调区间即得极值点.
【详解】
设导函数的图象与x轴的交点从左到右依次为，
所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，
所以函数有两个极大值点，两个极小值点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．己知函数，在处取得极大值，则实数的值是（
）
A．
B．2
C．2或6
D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
【详解】
函数的导数为，?
由在处有极大值，即有，即，
解得或6，?若时，，可得或，?
由在处导数左负右正，取得极小值，?
若，，可得或2?，
由在处导数左正右负，取得极大值.?综上可得.
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题.
4．已知f(x)＝x2－cos
x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(
)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，依题意可知该函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，另一方面，因为，所以，所以，故在单调递增，最大值为，最小值为，综上可知选D.
考点：1.函数的单调性与极值；2.函数的奇偶性.
填空题
5．为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．
【答案】0
【解析】
∵，∴。
∵为函数的一个极值点，
∴，解得。
当时，。∴当或时，单调递增，
当时，单调递减。∴当时，有极大值，且极大值为。
答案：0.
6．若函数的极小值为2，则实数的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出函数的单调区间，再求出函数的极小值点得解.
【详解】
由题得，
由得函数的增区间为，
由得函数的减区间为，所以当x=0时，函数取极小值，
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查函数的极值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．
【详解】
解：由题意得，函数f（x）＝x3﹣6bx+3b
的导数为
f′（x）＝3x2﹣6b
在（0，1）内有零点，
且
f′（0）＜0，f′（1）＞0．
即﹣6b＜0，且
（3﹣6b）＞0．∴0＜b，
故答案为：．
点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
【答案】（1）见解析；
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
2．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
【答案】（1）；（2）见解析；
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
所以的极小值为．
3【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：
1
-
0
+
↘
极小值
↗
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值．
4．[2016·四川卷]已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4
B．－2
C．4
D．2
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
5.[2014·重庆卷]已知函数f(x)＝＋－ln
x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，
解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln
x－，则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)上，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln
5.
6.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（
）
A.
B.
C.
D.1
【答案】A
【解析】
【考点】
函数的极值；函数的单调性
【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。
今天错在哪里啦？
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