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函数的单调性与导数
一、.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；
(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
二、函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_快，其图象比较陡峭_.即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率绝对值越大，函数f(x)的变化率就越大．
常用结论
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
技巧1
利用导数研究函数的单调性
例1、函数f(x)＝cos
x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　B．先减后增
C．增函数
D．减函数
【答案】D
【解析】∵f′(x)＝－sin
x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
例2、(1)(2019·临沂高二检测)f
′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f
′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　
　)
(2)证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
[解析]　
(1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0,2)上为减函数，排除B，故选D．
(2)证明：∵f(x)＝，∴f
′(x)＝，令f
′(x)>0.可知lnx<1，即0故函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)，又(0,2)?(0，e)，
∴函数f(x)＝在(0,2)上为单调增函数．
『规律总结』　
1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f
′(x)：(1)若f
′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f
′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f
′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
技巧2
求函数的单调区间
例3、求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝(x＋)′＝1－，
令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，∴x＞，或x＜－.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，∴－＜x＜，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
『规律总结』　
1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
一、单选题
1．函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)，(1，＋∞)
【答案】A
【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，得02．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)　　B．(0,3)
C．(1,4)　　D．(2，＋∞)
[解析]　
∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)>0得x>2，∴选D．
2．(2020·德州高二检测)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　
　)
[解析]　
∵f′(x)在[a，b]上为增函数，∴f(x)在[a，b]上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A．
3．(2020·宣城二模)若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2　　
B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1　　
D．a＞1或a＜－2
[解析]　
若函数f(x)有3个单调区间，
则f
′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，故选D．
4．(2020·重庆高二检测)函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为(　C　)
A．(－1,1)　　
B．(－∞，1)
C．(0,1)　　
D．(1，＋∞)
[解析]　
函数f(x)＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，f
′(x)＝x－，令f
′(x)<0，即x－<0，解得05、函数f
(x)＝ex－x的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案　(0，＋∞)　(－∞，0)
解析　由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)．
6、已知定义在区间(－π，π)上的函数f
(x)＝xsin
x＋cos
x，则f
(x)的单调递增区间是______________________．
答案　和
解析　f′(x)＝sin
x＋xcos
x－sin
x＝xcos
x.
令f′(x)＝xcos
x>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，
即f
(x)的单调递增区间为和.
【点睛】确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f
(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【解析】（1）
．
当时，；当时，．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
3．【2019年高考天津理数】设函数为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为的单调递减区间为.
【解析】（Ⅰ）由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．
所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．
4．【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；
【解析】（1）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
5.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
【答案】（Ⅰ）增区间是，
，递减区间是.
【解析】（Ⅰ）解：由，可得，
进而可得.令，解得，或.
当x变化时，的变化情况如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
6.【2016年高考北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，[]
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】（1）根据题意求出，根据，，求，的值；
（2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间.
试题解析：（1）因为，所以.
依题设，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.[]
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
今天错在哪里啦？
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