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5　探究弹性势能的表达式
如图所示，在光滑水平面上有A、B两球，中间连一弹簧，A球固定，今用手拿住B球将弹簧压缩一定距离，然后释放，在B球向右运动到最大距离的过程中，B球的加速度怎样变化？B球的速度怎样变化？弹簧的弹性势能怎样变化？
提示：小球从开始运动到弹簧恢复原长的过程中，B球由于受到向右的弹力作用，小球的速度在增大，由于形变量的减小，弹力逐渐减小，所以加速度减小，弹簧的弹性势能减小；B球从弹簧原长继续向右运动过程中，由于受到向左的拉力，小球的速度在减小，但由于受到向左的拉力在增大，所以加速度增大，速度减小得越来越快，但弹性势能却在增大．
考点一　　　弹性势能
1．弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能．
2．影响弹性势能大小的因素
(1)可能影响弹性势能的因素
①压缩的弹簧能将物体弹出，弹簧压缩量越大，物体被弹得越远，说明弹性势能与弹簧的形变量有关．
②用不同劲度系数k的弹簧做实验，当弹簧的压缩量相同时，弹簧劲度系数k越大，将物体弹得越远，说明弹性势能与弹簧的劲度系数有关．
③结论：可见弹簧的弹性势能由弹簧本身的材料及形变量决定．
(2)推导弹性势能的表达式．
①由于重力是恒力，WG＝Fl＝mg×h＝mgh.而弹力是变力，故弹力做功不能由公式W＝Fl计算．
②如图所示，弹力F与形变量l成线性关系，如果将形变量l分成很多小段Δl，在各小段上的弹力可以当作恒力处理，由W＝FΔl知，很多个矩形的面积之和就与弹力做功的大小相等，综合起来考虑，图线与l轴所夹面积，就等于弹力做功的大小．则W＝F·l＝kl·l＝kl2.类比重力做功等于重力势能的改变量，得弹力做功等于弹性势能的改变量，即ΔEp＝kl2.
③弹性势能的表达式：当规定弹簧自由长度时，其弹性势能为零，则弹性势能Ep＝kl2.
A．式中的k为弹簧的劲度系数，l为弹簧的形变量．
B．弹性势能的大小是相对的，Ep＝kl2是取弹簧处在原长时的弹性势能为零．
C．该公式只适用于弹力F与形变量l成线性关系的情况．
【例1】　关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增加
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减少
C．在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解答本题时注意以下两点：
(1)弹簧处于原长时弹性势能最小，压缩或拉伸时弹性势能都增大．
(2)弹簧的形变量一定时，弹簧的劲度系数越大，弹性势能越大．
【解析】　弹簧的弹性势能大小，除了跟弹簧的劲度系数有关外，还跟弹簧的形变量有关，而弹簧的形变量跟弹簧的原长无关，跟弹簧的长度也无关．如果弹簧原来处于压缩状态，那么当它变长时，它的弹性势能减小，当它变短时，它的弹性势能增大，在原长处时其弹性势能最小，所以选项A、B、D错误．当拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，需要克服弹力做的功越多，弹簧的弹性势能越大，选项C正确．
【答案】　C
总结提能 弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数和形变量有关，分析弹性势能的变化时要从这两方面把握．同时要注意弹性势能的变化总是与弹力做功相对应．
(多选)关于弹性势能，下列说法正确的是(　AC　)
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．研究弹性势能时要从分析弹力做功入手
D．研究弹性势能时要从分析弹簧的形变量入手
解析：发生弹性形变的物体都有恢复原状的趋势，在恢复的过程中可对其他物体做功，所以发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A正确，B不对；根据实验我们知道，我们是从研究弹力做功入手来研究弹性势能的，C正确，D不对．
考点二　　弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化
如图所示，弹簧左端固定，右端连一物体，O点为弹簧的原长处．
①弹力做负功：当物体由O点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹簧弹性势能增加．
②弹力做正功：当物体由A点向O点移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A′点向O点移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的改变仅与弹力做功有关．当弹簧弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能．这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似．
弹力做功与弹性势能的变化具有一一对应关系，弹力做多少正(负)功，就减少(增加)了多少弹性势能．
【例2】　如图所示，在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连．若在木块上施加一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F做的功为2.5 J，此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N．求：(g取10 m/s2)
(1)在木块下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量；
(2)弹簧的劲度系数．
本题可按以下思路进行分析：
(1)根据弹力做功与弹性势能变化的关系求解弹性势能的增加量；
(2)根据平衡条件可求出弹簧的劲度系数．
【解析】　(1)在木块下移0.10 m的过程中，力F和木块的重力克服弹簧弹力做功，弹簧的弹性势能增加．克服弹力做的功为WN＝WF＋mgh＝2.5 J＋2.0×10×0.10 J＝4.5 J
故弹性势能的增加量为ΔEp＝WN＝4.5 J
(2)设施加力F前弹簧压缩了h0，则mg＝kh0①
施加力F后木块再次处于平衡状态时有
F＋mg＝k(h0＋h)②
联立①②两式解得弹簧的劲度系数
k＝＝ N/m＝500 N/m.
【答案】　(1)4.5 J　(2)500 N/m
总结提能 1.弹性势能的变化只与弹力做功有关，与物体的运动状态和是否受其他力无关．
2．弹力做多少正功，弹性势能就减少多少；弹力做多少负功，弹性势能就增加多少，即W＝－ΔEp.
如图所示，在光滑的足够长的斜面上有质量分别为mA、mB(mA＝2mB)的两木块中间连有轻质弹簧，弹簧处于原长状态，劲度系数为k，A、B木块同时由静止开始释放，求下滑过程中A、B木块稳定时弹簧的弹性势能为多少？
解析：设斜面倾角为θ，A、B木块稳定时，弹簧伸长量为x，一起运动时加速度为a，对A、B木块整体有：
(mA＋mB)gsinθ＝(mA＋mB)a①
对A木块有：mAgsinθ＋kx＝mAa②
①②联立可得x＝0，故弹簧弹性势能为0.
答案：0
考点三　　探究弹性势能表达式的方法及思路
功能关系是定义某种形式能量的具体依据，从计算某个力的功入手是探究能的表达式的基本方法和思路．
【例3】　小玲同学平时使用带弹簧的圆珠笔写字，她想估测里面小弹簧在圆珠笔尾端压紧情况下弹性势能的增加量．请你帮助她完成这一想法．
(1)写出实验所用的器材：______________________ __________________________________________________；
(2)写出实验的步骤和要测量的物理量(用字母表示)；
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(3)弹性势能增加量的表达式ΔEp＝________.
【解析】　弹簧的弹性势能可转化为重力势能，通过测量重力势能的增加量可间接测量弹性势能的增加量．
【答案】　(1)圆珠笔、直尺、天平
(2)①将圆珠笔紧靠直尺竖直放在平面上．
②在桌面上将圆珠笔尾端压紧，记下笔尖处的读数l1.
③突然放开圆珠笔，记下笔尖到达最高处的读数l2.
(3)mg(l2－l1)
总结提能 探究弹性势能表达式的思路
1．探究过程阶段的划分
(1)类比重力势能的决定因素，猜测弹性势能的决定因素，构建弹性势能的表达式；
(2)类比重力势能的定义方法，弄清弹簧的弹力所做的功与弹性势能的关系；
(3)计算弹簧的弹力所做的功；
(4)由弹力做功的表达式定义弹性势能．
2．各个探究环节中运用的科学方法
(1)类比、迁移、猜测和构思；
(2)微积分的思路：分割→转化→求和．
弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，如图所示，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少？(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不要求得出结论)
解析：(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺等．
(2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣．
(3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长x0，记录在表格中．
(4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F1、F2、F3……的情况下橡皮条的长度x10 、x20、x30……
(5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量x1、x2、x3……
(6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标，在坐标纸上建立坐标系、描点，并用平滑的曲线作出F－xi图．
(7)测量曲线与x轴包围的面积S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹力所做负功的数值．
(8)橡皮条具有的弹性势能等于外力克服橡皮条的弹力所做的功．
答案：见解析
1．关于弹性势能，下列说法正确的是(　D　)
A．发生形变的物体都具有弹性势能
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．当弹力做功时弹性势能一定增加
D．当物体的弹性势能减小时，弹力一定做了正功
解析：发生非弹性形变的任何物体各部分之间没有弹性势能，A不对；重力势能和弹性势能都是相对参考位置而言的，B不对；根据弹力做功与弹性势能的关系可知，只有弹力做负功时弹性势能才能增加，如果弹力做正功，则弹性势能就会减小，故C错，D对．
2．(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　ABC　)
A．弹簧的弹性势能跟其被拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关
解析：理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的物体，而不是使之发生形变的物体，弹性势能的大小跟弹簧形变量有关，同一弹簧形变量越大，弹性势能也越大，弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故正确答案为A、B、C.
3．如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　A　)
A．重力势能减少，弹性势能增大
B．重力势能增大，弹性势能减少
C．重力势能减少，弹性势能减少
D．重力势能不变，弹性势能增大
解析：弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增加；下降过程中，重力做正功，重力势能减少．
4．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为(　C　)
A．3.6 J，－3.6 J　　　　　　 B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J D．－1.8 J,1.8 J
解析：F－x围成的面积表示弹力做的功．W＝×0.08×60 J－×0.04×30 J＝1.8 J，弹性势能减少1.8 J，C对．
5．将弹簧拉长或压缩时，通过对弹簧做功，其他形式的能可以转化为弹性势能．一根弹簧从原长被拉伸6 cm，拉力做功1.8 J，此时弹簧具有的弹性势能为1.8 J．这一弹簧从原长被压缩4 cm，弹力做功－0.8 J，这时弹簧具有的弹性势能为0.8 J.
解析：外界拉力做正功，弹性势能增大，增大量和拉力做的功相等，所以弹簧具有的弹性势能为1.8 J；弹力做负功，弹性势能增大，增大量和拉力做的功相等，所以弹簧具有的弹性势能为0.8 J.

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