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第5节　共点力的平衡
学习目标
1.知道什么是物体处于平衡状态及其运动学特征。
2.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件,并能根据平衡条件分析和计算共点力平衡的问题。
3.初步掌握解决共点力平衡问题的基本思路和方法,会正确选择研究对象,进行受力分析,画出受力示意图。
自主预习
1.平衡状态:物体受到几个力作用时,如果保持　　　　或　　　　　　　　　状态,我们就说这个物体处于平衡状态。?
2.在共点力作用下物体平衡的条件是　　　　。?
即F合=0或Fx合=0,Fy合=0,其中Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后,物体在x轴和y轴上所受的合力。
课堂探究
【情境导入】仔细观察课本“问题”栏目的图片,图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G的木棒在力F1和F2的共同作用下处于平衡状态的情况,这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系,可以把上述四种情况的受力分成两类,你认为哪些情况属于同一类?你是根据什么来划分的?
一、平衡状态及其运动学特征
【情境设问】我们常常说放在桌上的书、屋顶的灯、随传送带匀速运动的物体、沿直线公路匀速前进的汽车等所处的状态为平衡状态,那么从物理学的角度来说,这些状态有哪些共同的运动学特征呢?
结论1:平衡状态是指物体保持　　　　或　　　　　　　　　的状态。?
其运动学特征为　。?
二、共点力平衡的条件及应用
【重温旧识】回忆二力平衡的受力特点。
【科学推理与论证】物体受到三个力的作用而平衡,请同学们根据前面所学知识,推导物体受三个力作用时平衡的条件。
结论2:三力平衡的条件是?
　。?
【思考与讨论】
若物体同时受到多个作用力而处于平衡状态,需满足什么条件呢?
三、例题展示
【例题1】 某幼儿园要在空地上做一个滑梯,根据空地的大小,滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时,滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4,为使儿童在滑梯游戏时能从滑板上匀速滑下,滑梯要多高?
【变式训练1】一质量m=6 kg的物块,置于水平地面上,物块与地面间的动摩擦因数为μ=13,然后用两根绳A、B分别系在物块的两侧,如图所示,A绳水平,B绳与水平地面成37°角,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)逐渐增大B绳的拉力,直到物块对地面的压力恰好为零,求此时A绳和B绳的拉力大小;
(2)将A绳剪断,为了使物块沿水平地面做匀速直线运动,在不改变B绳方向的情况下,求B绳的拉力大小。
【例题2】 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊重物的位置。如图所示,O点被一水平绳BO牵引,使悬绳AO段和竖直方向成θ角。若悬吊重物所受的重力为G,则悬绳AO和水平绳BO所受的拉力各等于多少?
【变式训练2】(多选)如图所示是一种测定风作用力的仪器的原理图,它能自动随着风的转向而转向,使风总从图示方向吹向小球P。P是质量为m的金属球,固定在一细长刚性金属丝下端,能绕悬挂点O在竖直平面内转动,无风时金属丝自然下垂,有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ,角θ大小与风力大小有关,下列关于风力F、刚性金属丝拉力FT与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)(　　)
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.F=mgsin θ B.F=mgtan θ
C.FT=mgcos θ D.FT=mgcosθ
课堂练习
1.(多选)如图所示,用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O,并用第三根细线连接A、B两小球,然后用某个拉力F作用在小球A上,使三根细线均处于伸直状态,且OB细线恰好沿竖直方向,两小球均处于静止状态,则该拉力可能为图中的(　　)
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.F1 B.F2 C.F3 D.F4
2.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°,重力加速度为g,则ac绳和bc绳中的拉力分别为(　　)
A.32mg,12mg B.12mg,32mg
C.34mg,12mg D.12mg,34mg
3.出门旅行时,在车站、机场等地有时会看见一些旅客斜推着行李箱,一些旅客斜拉着行李箱。为了了解两种方式哪种省力,我们作以下假设:行李箱的质量为m=10 kg,拉力F1、推力F2与水平方向的夹角均为θ=37°(如图所示),行李箱与地面间的摩擦力为滑动摩擦力,动摩擦因数为μ=0.2,行李箱都做匀速直线运动。试通过计算说明拉箱子省力还是推箱子省力。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)
核心素养专练
1.(多选)下列哪组力作用在物体上,有可能使物体处于平衡状态(　　)
A.3 N,4 N,8 N B.3 N,5 N,1 N
C.4 N,7 N,8 N D.7 N,9 N,6 N
2.在甲、乙、丙、丁四图中,滑轮光滑且所受的重力忽略不计,滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上,一根轻绳ab绕过滑轮,a端固定在墙上,b端下面挂一个质量为m的重物,当滑轮和重物都静止不动时,甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ,乙图中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD,则以下判断正确的是(　　)
A.FA=FB=FC=FD B.FD>FA=FB>FC
C.FA=FC=FD>FB D.FC>FA=FB>FD
3.(多选)如图所示,两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上,两绳与竖直方向的夹角都为45°,日光灯保持水平,所受重力为G。则(　　)
A.两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B.两绳的拉力和重力不是共点力
C.两绳的拉力大小分别为22G和22G
D.两绳的拉力大小分别为G2和G2
4.如图所示,两轻弹簧a、b悬挂一小铁球处于平衡状态,a弹簧与竖直方向成30°角,b弹簧水平,a、b的劲度系数分别为k1、k2,则a、b两弹簧的伸长量x1、x2之比为(　　)
A.2k2k1 B.k2k1 C.k1k2 D.k22k1
5.如图所示,一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢移动,在小鸟从A运动到B的过程中(　　)
A.树枝对小鸟的合力先减小后增大
B.树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大
C.树枝对小鸟的弹力先减小后增大
D.树枝对小鸟的弹力保持不变
6.如图所示器材为一秋千,用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点,由于长期使用,导致两根支架向内发生了微小倾斜,如图中虚线所示,但两悬挂点仍等高,座椅静止时所受合力的大小用F表示,F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小,则(　　)
A.F不变,F1变小 B.F不变,F1变大
C.F变小,F1变小 D.F变大,F1变大
7.如图所示,用一根绳子a把物体挂起来,再用一根水平的绳子b把物体拉向一旁固定起来。物体的重力是80 N,绳子a与竖直方向的夹角θ=37°。求:绳子a和b对物体的拉力大小。(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
参考答案
自主预习
1.静止　匀速直线运动
2.合力为0
课堂探究
一、结论1:静止　匀速直线运动　v不变,也就是a=0
二、结论2:任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线,也就是三力的合力为0
【思考与讨论】
如果物体受到多个共点力作用,我们可以逐步通过力的合成,最终等效为两个力的作用。如果这两个力的合力为0,则意味着所有力的合力为0。
三、【例题1】
例题分析:首先建构一个斜面的模型(如图所示,儿童用可视为质点的物块模型代替),以匀速滑下的儿童为研究对象,儿童受到三个力的作用:重力G、斜面的支持力FN和滑动摩擦力Ff。此时三个力的合力为0,斜面高度即为所要求的滑梯高度。
例题解答:在图中,沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向建立直角坐标系。把重力G沿两坐标轴方向分解为F1和F2。(这样的分解称为正交分解)
设斜面倾角为θ,由于F2垂直于AB、G垂直于AC,故F2和G的夹角也等于θ。用l、b和h分别表示AB、AC和BC的长度。
根据共点力平衡的条件和直角三角形中三角函数关系可知
在x轴方向上F1-Ff=0
Ff=F1=Gsin θ=Ghl
在y轴方向上F2-FN=0
FN=F2=Gcos θ=Gbl
由于Ff=μFN
故有Ghl=μGbl
可求得h=μb=0.4×6 m=2.4 m
【变式训练1】解析:(1)FN=0时,对物块受力分析如图甲,则水平方向:FTA=FTBcos 37°
竖直方向:FTBsin 37°=mg
联立解得FTA=80 N,FTB=100 N。
甲
乙
(2)将A绳剪断,物块做匀速直线运动,受力分析如图乙,则
水平方向:FTB'cos 37°=Ff
竖直方向:FN'=mg-FTB'sin 37°
且Ff=μFN'
代入数据解得FTB'=20 N。
答案:(1)80 N　100 N　(2)20 N
【例题2】
例题分析:选取两根绳索连接的O点为研究对象,它受到三个力的作用:绳AO对它的拉力F1、绳BO对它的拉力F2和O点下方悬绳对它的拉力F3。
在平衡状态下,O点所受三个力的合力为0,F3的大小与悬吊重物所受的重力相等,且三个力的方向均已知,由此可以求出F1、F2的大小。
例题解答:方法1　用两个力的合力和第三个力平衡的方法求解。
如图所示,F4是F1和F2的合力,则F4与F3平衡,即F4=F3=G
由图可知,F1=F4cosθ=Gcosθ,F2=F4tan θ=Gtan θ
方法2　用正交分解的方法求解。
如图,以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向,向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于0,可列方程
F2-F1x=0
F1y-F3=0
即F2-F1sin θ=0
F1cos θ-F3=0
联立解得F1=Gcosθ,F2=Gtan θ。
即绳AO和绳BO所受的拉力大小分别为Gcosθ和Gtan θ。
【变式训练2】 BD
课堂练习
1.BC　2.A
3.解析:斜拉行李箱时,对行李箱受力分析,如图甲所示。
行李箱做匀速直线运动,则有
F1cos θ=Ff1,F1sin θ+FN1=mg,Ff1=μFN1
解得F1=μmgcosθ+μsinθ=21.7 N
斜推行李箱时,对行李箱受力分析,如图乙所示。
行李箱做匀速直线运动,则有
F2cos θ=Ff2,FN2=F2sin θ+mg,Ff2=μFN2
解得F2=μmgcosθ-μsinθ=29.4 N
F1答案:见解析
核心素养专练
1.CD　2.B　3.AC　4.A　5.B　6.A
7.解析:选物体为研究对象,物体受到绳子a、b的拉力Fa、Fb以及重力G的作用,受力分析如图所示。
由于物体处于平衡状态,则
Facos θ=G
Fasin θ=Fb
解得Fa=100 N,Fb=60 N。
答案:100 N　60 N

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