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第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
1.理解匀速直线运动、匀变速直线运动的位移与v-t图像中面积的关系。
2.在推导匀变速直线运动位移公式时体会微元法这一思想方法。
3.掌握匀变速直线运动位移时间公式、速度位移公式,并能解决相关问题。
4.掌握匀变速直线运动的v-t图像。
自主预习
一、匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.利用微元法思想推导位移与时间的关系:
匀变速直线运动的v-t图像是一条　　　　的直线,其中图线的斜率表示物体的　　　　,速度—时间图像与时间轴所围成的面积在数值上等于物体在该段时间内的位移大小。?
2.匀变速直线运动的位移公式:x=　　　　。?
说明:①公式中若规定初速度的方向为正方向,当物体做加速运动时,a取正值;当物体做减运动时,a取负值。
②若物体的初速度为零,匀变速直线运动的位移公式可以简化为x=　　　　。?
二、匀变速直线运动的速度与位移的关系
匀变速直线运动速度与位移的关系式
匀变速直线运动的位移公式和速度公式联立,消去时间t,可得到公式　　　　　　　　　,这就是匀变速直线运动速度与位移的关系式。?
课堂探究
【情境设问】 在v-t图像中,匀速直线运动的位移等于图线与t轴所夹矩形的面积;那对于匀变速直线运动来说,它的位移与面积具有什么关系呢?
一、匀变速直线运动的位移与时间的关系
【情境设问】 将此匀变速直线运动分为5个小段,t5算一个小段,每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一小段内可粗略认为物体以这个速度做匀速直线运动。那么乙图中5个矩形的面积是否能代替整个匀变速直线运动的位移?怎样减小这个差距呢?
结论1:做匀变速直线运动的物体,其位移大小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。?
【科学推理与论证】 结合梯形面积公式、匀变速直线运动速度时间公式,你能否得到位移与时间的关系式?
结论2:x=　。?
二、匀变速直线运动的速度与位移的关系
【科学推理与论证】 请同学们根据x=v0t+12at2,v=v0+at得到一个初速度、末速度、位移的关系式。
结论3:　　　　　　　　　　　　　　。?
三、例题展示
【例题1】 航空母舰的舰载机既要在航母上起飞,也要在航母上降落。(1)某舰载机起飞时,采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后,由发动机使飞机获得25 m/s2的加速度在航母跑道上匀加速前进,2.4 s后离舰升空。飞机匀加速前进的距离是多少?(2)飞机在航母上降落时,需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s,飞机钩住阻拦索后经过2.5 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动,此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少?
【例题2】 动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时,通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时,屏幕显示的动车速度是126 km/h,动车又前进了3个里程碑时,速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动,那么动车进站的加速度大小是多少?它还要行驶多远才能停下来?
课堂练习
1.做匀变速直线运动的质点的位移随时间变化的规律是x=24t-1.5t2(m),则质点速度为0时t为(　　)
A.1.5 s B.8 s C.16 s D.24 s
2.(多选)下列所给的图像中能反映做直线运动的物体回到初始位置的是(　　)
3.(多选)一辆汽车以12 m/s的速度行驶,遇到紧急情况,司机采取制动措施,使汽车做匀减速直线运动,若制动后汽车加速度的值为5 m/s2,则(　　)
A.经3 s汽车的速度为27 m/s
B.经3 s汽车的速度为0
C.经3 s汽车的位移为13.5 m
D.经3 s汽车的位移为14.4 m
4.光滑斜面的长度为l,一物体由静止开始从斜面顶端沿斜面匀加速滑下,当该物体滑到底部时的速度为v,则物体下滑到l2处的速度为(　　)
A.v　2 B.v2
C.　33v D.v4
核心素养专练
1.一物体做匀变速直线运动,下列说法正确的是(　　)
A.物体的末速度一定与时间成正比
B.物体的位移一定与时间的平方成正比
C.物体的速度在一定时间内的变化量与这段时间成正比
D.若为匀加速直线运动,速度和位移都随时间增加;若为匀减速直线运动,速度和位移都随时间减小
2.飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程。飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行。已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m,所用时间为40 s,则飞机的加速度a和离地速度v分别为(　　)
A.2 m/s2　80 m/s　　　　　
B.2 m/s2　40 m/s
C.1 m/s2　40 m/s
D.1 m/s2　80 m/s
3.(多选)某物体运动的v-t图像如图所示,根据图像可知,该物体(　　)
A.在0到2 s末的时间内,加速度为1 m/s2
B.在0到5 s末的时间内,位移为10 m
C.在0到6 s末的时间内,位移为7.5 m
D.在0到6 s末的时间内,位移为6.5 m
4.(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动,第3 s内的位移为2 m,那么(　　)
A.这3 s内平均速度是1.2 m/s
B.第3 s末瞬时速度是2.2 m/s
C.质点的加速度是0.6 m/s2
D.质点的加速度是0.8 m/s2
5.长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动,列车刚进隧道时的速度是10 m/s,完全出隧道时的速度是12 m/s,求:
　　(1)列车过隧道时的加速度大小;
(2)列车通过隧道所用的时间。
6.一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5 m/s2,如果在刚刹车时卡车的速度为10 m/s,求:
(1)刹车开始后1 s内的位移大小;
(2)刹车开始后3 s内的位移大小和3 s内的平均速度大小。
参考答案
自主预习
一、1.倾斜　加速度
2.v0t+12at2　12at2
二、v2-v02=2ax
课堂探究
结论1:等于v-t图像中图线与t轴所围面积
结论2:v0t+12at2
结论3:v2-v02=2ax
【例题1】 例题分析:两个问题都是已知匀变速直线运动的时间来计算位移。第(1)问需要用匀变速直线运动的位移与时间的关系式计算。第(2)问中,飞机着舰做匀减速直线运动的加速度需要根据速度与时间的关系式计算。匀减速运动各矢量的方向较为复杂,因此需要建立一维坐标系来确定它们的正负。
例题解答:(1)根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式,有x=v0t+12at2=96 m
(2)沿飞机前进方向建立一维坐标系(如图),飞机初速度v0=80 m/s,末速度v=0,根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式,有a=v-v0t=-32 m/s2
加速度为负值表示方向与x轴正方向相反。再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式,有x=v0t+12at2=100 m
【例题2】 例题分析:由于把动车进站过程视为匀减速直线运动,故可以应用匀变速直线运动的速度与位移关系式计算动车的加速度。本题加速度方向跟速度方向相反,因此需要建立一维坐标系来处理相关物理量的正负号。
例题解答:沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3 000 m的运动称为前一过程,之后到停下来称为后一过程。设在前一过程中的末位置为M点。初速度v0=126 km/h=35 m/s,末速度vM=54 km/h=15 m/s,位移x1=3 000 m。
对前一过程,根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式,有a=vM2-v022x1=-16 m/s2。对后一过程,末速度v=0,初速度vM=15 m/s。由v2=vM2+2ax2,有x2=675 m
课堂练习
1.B　2.ACD　3.BD　4.A
核心素养专练
1.C　2.A　3.AD　4.AD
5.(1)0.02 m/s2　(2)100 s
6.(1)7.5 m　(2)10 m　103 m/s

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