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第二章
匀变速直线运动
题型一
匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．v－t图象：匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．
3．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变；
(2)v－t图象是一条倾斜直线．
4．分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加．
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小．
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
1．如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
2．如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
3．如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v02＝2ax．
(1)
速度与时间关系的理解
1．公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向．
一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0．若v＞0，说明v与v0方向相同，若v＜0，说明v与v0方向相反．
3．两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，v＝at．
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比．
(2)当a＝0时，v＝v0．
即加速度为零的运动是匀速直线运动．
4．刹车问题：
(1)车辆刹车时可看做匀减速直线运动直至速度变为零，所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀变速运动．刹车时间取决于初速度和加速度的大小．解题时要先求刹车时间，明确刹车时间与给定时间的关系．
(2)常见错误：误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值．
例1　一物体从静止开始以2
m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5
s后做匀速直线运动，最后以大小为4
m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止．求：
(1)物体做匀速直线运动时的速度大小；
(2)物体做匀减速直线运动到停止所用时间．
答案　见解析
解析　解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B为匀加速直线运动，B→C为匀速直线运动，C→D为匀减速直线运动，BC段的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5
m/s＝10
m/s
即做匀速直线运动时的速度大小为10
m/s．
(2)由v＝v0＋at得
t2＝＝
s＝2．5
s．
例2　(速度与时间的关系)物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5
m/s，经2
s到达B点时的速度为11
m/s，再经过3
s到达C点，则它到达C点时的速度为多大？
答案　20
m/s
解析　物体的加速度a＝＝
m/s2＝3
m/s2，则物体到达C点的速度大小vC＝vB＋at′＝11
m/s＋3×3
m/s＝20
m/s．
例3　(刹车问题中速度的计算)汽车的加速、减速性能是衡量汽车性能的一项重要指标，一辆汽车以54
km/h的速度匀速行驶．
(1)若汽车以1.5
m/s2的加速度加速，求8
s后汽车的速度大小．
(2)若汽车以1.5
m/s2的加速度刹车，分别求刹车8
s时和12
s时的速度大小．
答案　(1)27
m/s　(2)3
m/s　0
解析　初速度v0＝54
km/h＝15
m/s．
(1)由v＝v0＋at，得v＝(15＋1．5×8)
m/s＝27
m/s．
(2)刹车过程中汽车做匀减速运动，a′＝－1．5
m/s2．
减速到停止所用时间t′＝＝
s＝10
s．
所以刹车8
s时的速度v′＝v0＋a′t＝(15－1．5×8)m/s＝3
m/s．
刹车12
s时的速度为零．
(2)
位移与时间的关系
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．
(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比．
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t例1　一辆汽车正在平直的公路上以72
km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5
m/s2，求：
(1)开始制动后，前2
s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5
s内汽车行驶的距离．
答案　(1)30
m　(2)40
m
解析　汽车的初速度v0＝72
km/h＝20
m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5
m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4
s．
(1)因为t1＝2
ss末没有停止运动
故x1＝v0t1＋at12＝(20×2－×5×22)
m＝30
m．
(2)因为t2＝5
s>t，所以汽车5
s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)
m＝40
m
例2　(刹车问题及逆向思维)一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5
m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10
m/s，求：
(1)刹车开始后1
s内的位移大小；
(2)刹车开始后3
s内的位移大小和3
s内的平均速度大小．
答案　(1)7．5
m　(2)10
m　
m/s
解析　(1)v0＝10
m/s，a＝－5
m/s2，t1＝1
s，
设经时间t0停下
t0＝＝
s＝2
s
x1＝v0t1＋at12
解得x1＝7．5
m．
(2)t2＝3
s内的位移大小等于前2
s内的位移大小
x2＝v0t0＋at02＝10
m
3
s内的平均速度＝＝
m/s．
(或由逆向思维法求刹车后3
s内的位移x2＝a′t02＝×5×22
m＝10
m．)
例3　(刹车问题及逆向思维)汽车以v0＝10
m/s的速度在水平路面上匀速运动，刹车后经过2
s速度变为6
m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6
s内发生的位移大小；
(2)汽车静止前2
s内通过的位移大小．
答案　(1)25
m　(2)4
m
解析　(1)汽车刹车时的加速度：a＝＝
m/s2＝－2
m/s2，
则汽车速度减为零所需的时间：t0＝＝
s＝5
s＜6
s．
则6
s内的位移等于5
s内的位移：x＝v0t0＋at02＝10×5
m－×2×52
m＝25
m．
(2)采用逆向思维，汽车在静止前2
s内的位移：x′＝a′t′2＝×2×22
m＝4
m．
(3)
速度与位移的关系式
1．公式：v2－v02＝2ax．
2．推导：
速度公式v＝v0＋at．
位移公式x＝v0t＋at2．
由以上两式可得：v2－v02＝2ax．
1．适用范围：速度与位移的关系v2－v02＝2ax仅适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：v2－v02＝2ax是矢量式，v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v0方向为正方向：
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
例1　长100
m的列车通过长1000
m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10
m/s，完全出隧道时的速度是12
m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度是多大？
(2)通过隧道所用的时间是多少？
答案　
(1)0.02
m/s2　(2)100
s
解析　(1)x＝1
000
m＋100
m＝1
100
m，v1＝10
m/s，
v2＝12
m/s，由v2－v02＝2ax得，
加速度a＝＝0．02
m/s2．
(2)由v＝v0＋at得
所用时间为t＝＝
s＝100
s．
例2　汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线．由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度．已知汽车刹车减速运动的加速度大小为8.0
m/s2，测得刹车线长25
m．汽车在刹车前的瞬间的速度大小为(　　)
A．10
m/s
B．20
m/s
C．30
m/s
D．40
m/s
答案　B
解析　由匀变速直线运动规律v2－v02＝2ax得到汽车在刹车前的瞬间的速度大小v0＝＝
m/s＝20
m/s，故A、C、D错误，B正确．
例3　(速度与位移关系的理解与应用)如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为(　　)
A．a1＝a2
B．a1＝2a2
C．a1＝a2
D．a1＝4a2
答案　B
解析　设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2x2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2．
例4　(速度与位移关系的理解与应用)物体从斜面顶端由静止开始下滑，到达斜面底端时速度为4
m/s，则物体经过斜面中点时的速度为(　　)
A．2
m/s
B．2
m/s
C．
m/s
D．
m/s
答案　B
解析　从顶端到底端v2＝2ax，
从顶端到中点＝2a·，
联立得：＝＝2
m/s，选项B正确．
例5　一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是时，下滑的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　由v2－v02＝2ax知v2＝2al；当速度为时有()2＝2al1，得l1＝＝，C正确．
(4)
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n．
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2．
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)前x末、前2x末、前3x末、…、前nx末的瞬时速度之比为：v1′∶v2′∶v3′∶…∶vn′＝1∶∶∶…∶．
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶．
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
例1　飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做初速度为零的匀加速直线运动．若一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，则求汽车：
(1)1
s末、2
s末、3
s末瞬时速度之比；
(2)1
s内、2
s内、3
s内的位移之比；
(3)第1
s内、第2
s内、第3
s内的位移之比；
(4)经过连续位移，1
m末、2
m末、3
m末的瞬时速度之比；
(5)第1
m内、第2
m内、第3
m内所用时间之比．
答案　(1)1∶2∶3　(2)1∶4∶9　(3)1∶3∶5　(4)1∶∶　(5)1∶(－1)∶(－)
解析　(1)由v＝at知：v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
(2)由x＝at2得：x1∶x2∶x3＝1∶22∶32＝1∶4∶9
(3)第1
s内位移xⅠ＝a×12
第2
s内位移xⅡ＝a×22－a×12＝a×3
第3
s内位移xⅢ＝a×32－a×22＝a×5
故xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5
(4)由v2＝2ax得：v＝
得：v1′∶v2′∶v3′＝1∶∶．
(5)由x＝at2得：通过第1
m所用时间tI＝，通过第2
m所用时间tⅡ＝t2－t1＝(－1)
同理经过第3
m所用时间tⅢ＝t3－t2＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－)．
例2　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4
s末的速度为4
m/s．求：
(1)第6
s末的速度大小；
(2)前6
s内的位移大小；
(3)第6
s内的位移大小．
答案　(1)6
m/s　(2)18
m　(3)5．5
m
解析　(1)由于第4
s末与第6
s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6
s末的速度v6＝v4＝6
m/s
(2)由v4＝at4得a＝＝＝1
m/s2．
所以第1
s内的位移x1＝a×12
m＝0．5
m
第1
s内与前6
s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6
s内小球的位移x6＝36x1＝18
m
(3)第1
s内与第6
s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6
s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5．5
m．
例3　(多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案　BD
解析　把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确．子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动穿过每个木块的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确．
例4　(多选)如图所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　)
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1
答案　BD
解析　方法一　根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝at12和2L＝a(t1＋t2)2，联立可得：＝，故D正确，C错误．
方法二　比例关系
初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(－1)＝(＋1)∶1，D正确，C错误；前x末、前2x末、前3x末、…、前nx末的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶，A错误，B正确．
(5)
匀变速直线运动的平均速度公式
三个平均速度公式及适用条件
1．，适用于所有运动．
2．，适用于匀变速直线运动．
3．，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．
推导：
一物体做匀变速直线运动，初速度为v0，经过一段时间末速度为v．
(1)画出物体的v－t图象，求出物体在这段时间内的平均速度．
(2)在图象中表示出中间时刻的瞬时速度，并求出．(结果用v0、v表示)
答案　(1)v－t图象如图所示
因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内物体的位移可表示为x＝·t①
平均速度＝②
由①②两式得＝．
(2)由图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：＝．
例1　物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2
m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝20
s，总位移为300
m，则物体运动的最大速度为(　　)
A．15
m/s
B．30
m/s
C．7．5
m/s
D．无法求解
答案　B
解析　设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：＝(0＋vm)＝vm，匀减速直线运动过程：＝(vm＋0)＝vm，所以整个运动过程的平均速度为＝＝，解得vm＝30
m/s．
例2　某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt
B．
C．2vt
D．不能确定
答案　B
解析　因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝
t＝t＝t，B正确．
例3　甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案　A
解析　根据v－t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v－t图象切线的斜率大小等于加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
例4　(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图所示，那么0～t和t～3t两段时间内(　　)
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　两段时间内的加速度大小分别为a1＝，a2＝，＝，A错．两段时间内的位移分别为x1＝vt，x2＝vt，＝，B对．两段时间内的平均速度1＝2＝，C错，D对．
例5　(平均速度公式的应用)为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用10
s时间通过一座长120
m的桥，过桥后的速度是14
m/s．请计算：(车身长度不计)
(1)它刚开上桥头时的速度有多大？
(2)桥头与出发点的距离多远？
答案　(1)10
m/s　(2)125
m
解析　(1)设汽车刚开上桥头的速度为v1，
则有x＝t
v1＝－v2＝(－14)
m/s＝10
m/s．
(2)汽车的加速度a＝＝
m/s2＝0．4
m/s2
桥头与出发点的距离x′＝＝
m＝125
m．
例6　(平均速度公式的应用)一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3
s
后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9
s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移之比是(　　)
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．3∶1
答案　C
解析　设物体到达斜面底端时的速度为v，
则物体在斜面上的平均速度1＝，
在斜面上的位移x1＝1t1＝t1
在水平地面上的平均速度2＝，
在水平地面上的位移x2＝2t2＝t2
所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3．故选C．
(6)
位移差公式Δx＝aT2的应用
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2．
2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝．
推导：
一辆汽车以加速度a从A点开始向右做匀加速直线运动，经过时间t到达B点，再经过时间t到达C点，则xBC－xAB等于多少？
答案　设汽车的初速度为v0，
自计时起t时间内的位移
xAB＝v0t＋at2，①
在第2个t时间内的位移
xBC＝v0·2t＋a(2t)2－xAB＝v0t＋at2．②
由①②两式得
xBC－xAB＝v0t＋at2－v0t－at2＝at2．
例1　一个做匀加速直线运动的物体，在前4
s内经过的位移为24
m，在第2个4
s内经过的位移是60
m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？
答案　2.25
m/s2　1.5
m/s
解析　(方法一)物体在前4
s内的位移x1＝v0t＋at2，在第2个4
s内的位移
x2＝v0·2t＋a·(2t)2－(v0t＋at2)，
将x1＝24
m、x2＝60
m代入解得
a＝2．25
m/s2、v0＝1．5
m/s．
(方法二)物体在8
s内的平均速度等于中间时刻(即第4
s末)的瞬时速度，
则v4＝
m/s＝10．5
m/s，
且v4＝v0＋4a，
物体在前4
s内的平均速度等于第2
s末的瞬时速度，
v2＝
m/s＝6
m/s，
而v2＝v0＋2a，
联立解得a＝2．25
m/s2、v0＝1．5
m/s．
(方法三)由位移差公式Δx＝aT2得：
a＝＝
m/s2＝2．25
m/s2，
由于v4＝
m/s＝10．5
m/s，
而v4＝v0＋4a，
得v0＝1．5
m/s．
例2　(位移差公式Δx＝aT2的应用)(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2
m，BC＝3
m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0．2
s，则下列说法正确的是(　　)
A．物体的加速度为20
m/s2
B．物体的加速度为25
m/s2
C．CD＝4
m
D．CD＝5
m
答案　BC
解析　由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2可得：a＝＝
m/s2＝25
m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4
m，故C正确，D错误．
(7)
位移—时间图象(x－t图象)
1．x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移x随时间t变化情况的图象叫位移—时间图象．
2．对x－t图象的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．
(2)截距：纵截距表示物体的起始位置．
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．
3．几种常见的位移－时间图象
(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图中的直线A．
(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图中直线B和C，其斜率表示速度．其中B沿正方向运动，C沿负方向运动．
(3)匀变速直线运动的x－t图象：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数．当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图中切线斜率逐渐增大，质点的速度逐渐增大．
对位移－时间图象的理解
1．位移－时间图象不是物体的运动轨迹．
2．位移－时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
例1　某物体的位移－时间图象如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．物体先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动
B．物体运动8
s时离出发点最远
C．物体运动所能达到的最大位移为80
m
D．在t＝4
s时刻，物体的瞬时速度大小为20
m/s
答案　C
解析　由题图读出运动时间是8
s，此图象是位移－时间图象，不是运动轨迹，图线切线的斜率表示速度，则物体先减速后反向加速，A错误；8
s时回到出发点，B错误；物体运动所能达到的最大位移为80
m，C正确；t＝4
s时刻速度为零，D错误．
例2　(x－t图象)(多选)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．前15
s内汽车的位移为30
m
B．20
s末汽车的速度为－1
m/s
C．前10
s内汽车的加速度为3
m/s2
D．前25
s内汽车做单方向直线运动
答案　AB
解析　从题图中可以看出前15
s内汽车的位移为30
m，选项A正确；图象的斜率表示速度，故15～25
s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v＝
m/s＝－1
m/s，选项B正确；前10
s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10～15
s内汽车静止，15～25
s内汽车做反向匀速直线运动，选项C、D错误．
例3　某同学为研究物体运动情况，绘制了物体运动的x－t图象，如图1所示．图中纵坐标表示物体的位移x，横坐标表示时间t，由此可知该物体做(　　)
图1
A．匀速直线运动
B．变速直线运动
C．匀速曲线运动
D．变速曲线运动
答案　B
解析　x－t图象所能表示出的位移只有两个方向，即正方向与负方向，所以x－t图象所能表示的运动也只能是直线运动．x－t图线切线的斜率反映的是物体运动的速度，由题图可知，速度在变化，故B正确，A、C、D错误．
例4　甲、乙两物体朝同一方向做匀速直线运动，已知甲的速度大于乙的速度，t＝0时，乙在甲前方一定距离处，则两个物体运动的位移－时间图象应是(　　)
答案　C
例5　A、B两质点从同一地点运动的x－t图象如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．A、B两质点在4
s末速度相等
B．前4
s内A、B之间距离先增大后减小，4
s末两质点相遇
C．前4
s内A质点的位移小于B质点的位移，后4
s内A质点的位移大于B质点的位移
D．B质点先加速后减速，8
s末回到出发点
答案　B
解析　x－t图象中，切线的斜率大小表示速度大小，4
s末二者的斜率不同，所以速度不同，A错误；前4
s内A、B之间距离先增大后减小，4
s末两质点相遇，B正确；前4
s内A质点的位移等于B质点的位移，后4
s内A质点的位移等于B质点的位移，C错误；由图线切线的斜率知，B质点先减速后加速，8
s末回到出发点，D错误．
(8)
速度—时间图象(v－t图象)
1．v－t图象：以时间t为横坐标，以速度v为纵坐标，描述速度随时间的变化规律．
2．v－t图象的斜率等于物体的加速度，v－t图象与时间轴所围面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
3．v－t图象的应用
(1)图线上某点的纵坐标表示瞬时速度的大小和方向(其中正、负号表示方向)．
(2)图线的斜率表示加速度的大小和方向(其中正、负号表示方向)．
(3)图线的拐点表示运动性质改变的时刻．
4．几种常见的速度－时间图象
(1)匀速直线运动的v－t图象是一条平行于时间轴的直线(如图甲)．
(2)匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜直线(如图乙、丙、丁)，直线的斜率表示加速度．
(3)非匀变速直线运动的v－t图象是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度．图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大．甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．
　
5．x－t图象与v－t图象的比较
种类
内容
v－t图象
x－t图象
图象上某点的纵坐标的位置
表示瞬时速度
表示某一时刻
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
图线与纵坐标轴的交点
表示初速度
表示初始时刻的位置
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
注意：(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹．
(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
6．运动图象的应用技巧
(1)确认是哪种图象，v－t图象还是x－t图象．
(2)理解并熟记四个对应关系．
1、斜率与加速度或速度对应．
2、纵截距与初速度或初始位置对应．
3、交点对应速度或位置相同．
4、拐点对应运动状态发生改变．
例1　(多选)一物体做直线运动，下图表示该物体做匀变速直线运动的是(　　)
答案　AC
解析　v－t图象斜率保持不变，说明加速度恒定不变，物体做匀变速直线运动，故A项对；x－t图象斜率保持不变，说明速度恒定不变，物体做匀速直线运动，故B项错；a－t图象纵坐标保持不变，说明物体的加速度不变，物体做匀变速直线运动，故C项对；D图象中斜率不断变化，所以物体做变速直线运动，故D项错．
例2　(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图象如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在1
s末和4
s末
C．乙在前2
s内做匀加速直线运动，2
s后做匀减速直线运动
D．2
s后，甲、乙两物体的速度方向相反
答案　BC
解析　由题图知，甲以2
m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2
s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2
m/s2，2～6
s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1
m/s2，A错误，C正确；t＝1
s和t＝4
s时二者速度相同，B正确；0～6
s内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误．
例3　如图所示是一物体做匀变速直线运动的v－t图象，由图可知物体(　　)
A．初速度为0
B．2
s末的速度大小为3
m/s
C．5
s内的位移为0
D．加速度的大小为1.5
m/s
答案　B
解析　由题图可知，物体的初速度v0＝5
m/s，末速度v＝0，由公式v＝v0＋at可得a＝＝－1
m/s2，A、D错误．由题图知，2
s末物体的速度大小为3
m/s，B正确．由于5
s内v－t图象面积不为零，所以C错误．
例4　(多选)如图是某物体做直线运动的v－t图象，由图象可知，下列说法中正确的是(　　)
A．物体在0～10
s内做匀速直线运动
B．物体在0～10
s内做匀加速直线运动
C．物体运动的初速度为10
m/s
D．物体在0～10
s内的加速度为2．5
m/s2
答案　BC
解析　由题图知，物体的速度均匀增大，图象的斜率一定，说明该物体做匀加速直线运动，A错误，B正确．物体运动的初速度即t＝0时刻的速度，由题图知初速度为10
m/s，C正确．物体在0～10
s内的加速度为a＝＝
m/s2＝1．5
m/s2，D错误．
例5　(v－t图象的理解和综合应用)竖直升空的火箭，其v－t图象如图所示，由图可知以下说法正确的是(　　)
A．火箭上升的最大高度为16
000
m
B．火箭上升的最大高度为48
000
m
C．火箭经过120
s落回地面
D．火箭上升过程中的加速度始终是20
m/s2
答案　B
解析　火箭上升的最大高度即为运动过程中的最大位移，由题图可知t＝120
s时，位移最大，x＝×120×800
m＝48
000
m，故A错误，B正确；要落回地面，位移等于0，而120
s时速度为0，位移最大，达到最高点，故C错误；根据题图可知，前40
s火箭做匀加速直线运动，后80
s做匀减速直线运动，加速度是变化的，故D错误．
例6　如图所示为物体做直线运动的v－t图象．若将该物体的运动过程用x－t图象表示出来(其中x为物体相对出发点的位移)，则下面的四幅图描述正确的是(　　)
答案　C
解析　0～t1时间内物体匀速正向运动，故选项A错；t1～t2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项B、D错；t2～t3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x－t图象中，0～t1和t2～t3两段时间内，图线斜率大小相等，故C对．

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