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函数周期性、对称性与奇偶性的关系总结
一、函数图象的对称性
(一)一个函数图象自身的对称性
性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于直线对称.
【注】：
亦然.
【特例】当时，的图象关于直线对称.
【注】亦然.
性质2：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于点对称.
【特例】当时，的图象关于点对称.
【注】
亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件
函数关系式()
对称性
函数图象是奇函数
函数图象是偶函数
或
函数图象关于直线对称
或
函数图象关于点对称
【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(二)两个函数图象之间的对称性
1.函数与的图象关于直线对称.
2.函数与的图象关于直线对称.
3.函数与的图象关于原点对称.
4.函数与它的反函数的图象关于直线对称.
5.函数与的图象关于直线对称.
特别地，函数与的图象关于直线对称.
二、几个函数方程的周期
1.若，或，则的周期；
2.若，或，或
，或，或，或，或，
或，或，则的周期；
3.若，则的周期；
4.若，或，或，或，或，或且，则的周期；
5.若，则的周期；
6.若，则的周期.
【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
三、对称性与周期性的关系
定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论1：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.
推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
定理3：若定义在上的函数的图象关于点和对称，是周期函数，且是它的一个周期.
推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.
四、函数图象的对称轴和对称中心举例
函
数
满
足
的
条
件
对称轴(中心)
满足的函数的图象
[或]
满足的函数的图象
[或]
满足的函数的图象
满足的函数的图象
满足的函数的图象(偶函数)
满足的函数的图象(奇函数)
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
【拓展】：
1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.
2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.
3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.
4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称.

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