资源简介

.竟赛辅导
狭义相对论浅涉
以太风
教你一手
①B
、狭义相对论的基本假设
1.伽利略的相对性原理
S
为描述物体的机械运动所取的参考系,根据牛顿运动定
B半透明玻璃片
律是否适用而分别称作惯性参考系与非惯性参考系;伽利略
通过实验指出:在任何一个惯性系内部所做的任何力学实验
图26-1
图26-2
都无法确定该参考系是静止的还是在做匀速直线运动,一切
的两束:光束①透过玻璃片向M,被M反射后到达B,部分被
彼此相对做匀速直线运动的惯性参考系,对于描写运动的力银膜反射;光束②射向平面镜M再返回,部分透过B.根据光
学规律是完全等价的,并不存在某一个比其他惯性系更为优干涉原理,两束光到达观察者眼中,将会出现明暗相间的条
越的惯性系,任何力学实验都不可能确定某个惯性系是否“绝纹,若两束光同时到达则中央亮纹位置居中,若两束光到达时
对静止”
间有先后,就会发生亮纹的偏移,所以这种测量的设计是很精
伽利略运用相对性原理阐述:设两个沿同一方向相对速巧的,迈克尔逊设想:以太存在且完全静止,那么地球相对于
度为的惯性系,在一段时间t内,质点P对其中一个惯性系
以太做绝对运动,对于安装在地面的仪器而言,相当于以太以
运动的位移为x,对另一个惯性系运动的位移为x,则x=x
地球运动的速率拂过地面,设“以太风”以v沿图26-1中MB
ut;对其中一个惯性系运动的速度v=,对另一个惯性系
方向吹过,刚才说的两束相干光到达观察者眼中的时间就有
了先后:光束①先逆“风”而上后顺“风”而下,所用时间t1=
运动的速度==0-u;若在-t+△时间内质点P对其
+c+0,是无“风”时的—1,式中c是无“风时的光
中一个惯性系运动的加速度a=,则对另一个惯性系运
C
速,即光在以太中的速度,是平面镜与镀银镜的距离;而光束
动的加速度a=
U4--0+
a,这说明在不同
△t
②是“横渡”的,所用时间t2=2
,是无“风”时的
的惯性系中,质点的加速度是相同的,所以牛顿运动定律F=
ma在所有相互做匀速直线运动的惯性系内均成立
,可见,光束①将比光束②推迟到达B处,“以太
伽利略相对性原理是基于这样的一种时空观:在两个参√1-(
考系里,时间间隔与空间间隔的量度是一样的,不会因参考系
风”的速度(地球运动速度)约v=30km/s,光速3.0×105km/s,两
的运动而有所变更,并且时空也是相互独立的.这种把时间、
束光因以太风而延迟的时间各为万分之一与十万分之五,对
空间与运动完全脱离的绝对时空观将面临高速运动现实的挑应地,到达B的两束光有一相位差,若将仪器转过90°,两光束
战
相对于以太风的速度会改变,到达B的相位差就会引起改变,
2.迈克尔逊的困难
干涉条纹的中央亮纹位置应明显偏移,观测者使用该装置应
在光本性的探究过程中,以太被认为是传播光的无处不当容易观测到在绝对参考系下发生的这种干涉条纹移动的现
在的介质,人们对它除了名称以外一无所知,它被设想成具有象但是,迈克尔逊在各种条件下一次又一次地精心实验,却
种种无法协调的力学性质及物态,并且认为它是绝对静止的
始终未能观察到干涉条纹有丝毫的移动,在惊愕之余,事实不
参考系,相对于以太的绝对运动会区别于相对于其他参考系容置辩地指出,以太是不存在的,绝对静止的参考系也是不存
的运动迈克尔逊实验就是期望找到在绝对静止的参考系中在的,真空中的光速对任何参考系都是一个恒量
发生的物理现象来证明以太的存在,并得到绝对运动的.图
3.爱因斯坦的假设
26-1与图26-2是迈克尔逊实验装置与实验原理示意图,仪器
“无论光在以太中怎样传播,以太风对光速都没有影响”,
的中心部件是一块镀银的半透明玻璃片B,与入射光线成45
这是爱因斯坦在1905年依据迈克尔逊光干涉实验中,预期的
角,可以让入射光线一半透射一半反射,M、M是与B等距离干涉条纹的移动始终未能出现这令人惊讶的事实而提出的,
的两块平面镜,S是光源,它射出的光到达B时,分成互相垂直
爱因斯坦扬弃了宇宙中存在以太介质的假说及绝对参考系的第 卷 第 一 期 中学物理教学参考
年 月 一
专题 功 与 能
沈 晨
, “
抛物线 图线与 二 轴 。一 区 间围成的曲边 三角形 面
哮教像一乎侧 积 ,’竖 划线 部分 即表示 力
、 ,
一 变力做功的求解方法 的功 而 由图可 知这个面积是
利 用 图象法求功 矩形 面 积 与抛 物 线 弓形 面 积
」
利用 图象求功的方法主要用于 当力对位移的关系 横划线部分 一半之差 我们
,
,
为线性时 或在 、 图中表示 力变化 的图线与 轴围 知道 阿基米德对抛物线弓形 氰氛
“ ” , ,成的图形 面积 有公式可依时 因为在 图中 这种 面积公式的著名推导 抛物线
“ 一
面积 ”的物理意义就是功的大小 所包含的弓形面积等于它的底 图
,
例 锤子打击木桩 如果锤每次 以相同的动能 与高之积 的 于是利用 图
, , , 一 ,
打击木桩 而且 每次均有 的能量传给木桩 且木 我们所要求的功大小是
二 ,桩所受阻力 与插入深度 成正 比 试求木桩每次打 一 只 一粤 一
,
入的深度 比 若第一次打击使木桩插人 了全长 的粤 用微元法求功
,
那么木桩全部插入必须锤击多少次 如果在某一位移区间 力随位移变化的关系为
, ,
分析与解 该题 中木桩受 到的阻力 为一 与位 一 求该变力的功通常用微元法 即将位移区 间分
,
移 成正 比的变力 我们可 以作 ,成 。 一 个小区 间音在每个小区 间内将力视为恒一 ,
如图 所示 的 图 用 图象
“ ” ·, 、 ”’ ” , 、 、 , , “法求解 图 中 面积 定 求其元功 一 二 由于功是标量 具有 可加
、 · · ,
表示第 次锤击 中 木桩
” ,, ‘
克服阻力做的功 数值上等于锤 养 性 那么总功等于每个小 区 间内元功之代数和 习
劣 ,
, 。
传给木桩的能量
,
设为 根据 的极限 即变力在这段位移中所做的功为
一
,
三角形面积与高的平方成正 比 图 ,
一 习
有 ,
, ,
工 。 一 。 。 。 , 在数学上 确定元功相 当于给出数列通项式 求总
, 功即求数列 项和 当 时的极限
,
· 。 例 半径等于 的半球形水池 内 了水, , , , , , , , , 充满 把
则 一 涯 万 在 池内的水完全抽出至少要做多少功
, ,
每次打人深度 △ 一 汁 一
、
故木桩每次打入的 一 , ,
分析与解 如图 所示 沿着容器的竖直直径
深度比为
我们将水池 内的水均匀细分成
’ ’ , ·△ △ △ 。 , , △ , 一 , 涯一 万 , ,层 每一元层水 的高度 △ 一 二
一 ,涯 石一 丫不万
,
, , , △
由上述 比例关系可知 当 二 一 时 得 很小 故每一层水均可看做是
,
。 。 八 , 、 一个薄圆柱 水面下第 ￡层水柱 一
而 、 图
一 , 即 “了 丁 一
。 、认 , ‘ ,底面的半径 尸 一 ’竺 这
,
例 某质点受到 一 尹 的力 的作用 从 二 一 层水的质量为
, 、 · ‘ ·
处移到 一 处 试求力 做了多少功 一 , 赶尸一‘铆 〕 兰
, 一 刀
分析与解 根据题给条件作图 如图 所示 在
, 那么将这层水抽出至少应做的功是
异 坐标系中 质点所受力 随位移 变化 的图线为
,
、 ·一 一 ’ 于是可知 小车沿该半圆周从最低点匀速运动到最、 〕 高耐 铆 于 ,点时 摩擦力做的总功为
而将池 内水完全抽出至少要做的功就是
一 产冗一 导 阴铲一 ‘一 、 一 全 一产
沉明
悠象 贼 示 熟 九,
一 冗尸 恤仁 ‘十
· 一 十 上面我们利用 了 对 称性 使号对 元功 之 和 为常赤 告
,
量 大大简化了求和的运算 如果要计算小车在水平直
十 十 〕 ,
径以, 下或以上两段运 动过程摩擦力分别做多少功 则一丫
一 万尸 。 。必须用到三 角数列 一 前 项 之 和 的结
,
一 二粤 。
论 即
。、 刀 十 ,咬
, 气万口 ”
, 气
, 二犷
例 一个质量为 的机 动小车 以恒定速度
在半径为 且固定在地面上 的竖直 圆轨道 内做 圆周 , 万
,
运动 已知动摩擦因数为 尸 间在小车从最低点运动到 下面我们先来计算水平直径 以下段摩擦力的功
,
最高点过程中 摩擦力做了多少功
分析与解 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高 下 一 、艺
, , 月 日卜 二子
点的过程中 由于轨道支持力是变力 故而摩擦力为一
‘
, ,
闷, 厂 、
, 二 二
随位置变化的力 现在我们来求此变力功 承 铲二 , , ‘、‘ 少
么产 万卞 万 」
’
一 ,
如图 所示 将小车运动的半个圆周均匀细分 不
捉尺 , 二 万, 兀
成 段 每段 圆弧 一 ’产 丁 十 产 找 黑下 — 下
长 巫 所 对应 的 圆 心 角 为 · ·。 , 、 耽 、 ,
‘ , ’ ’、— , 二 气 二产
,
刀 ‘ —
气
二 小车在 每段 长 为 尺
—四 产卜一︸忱一冗 白一
, 一兀乞
一 十尸
”习
,
圆弧上运动时 可认为轨道 ‘
, 双 、 , 、十
对小 车支 持力 从 为 一 恒 、 一 一 夕 、一 丁一 一几 — ,任 刀 任 —
,
力 因而小车所受的摩擦力
,
无 不 变 摩 擦 力 的功 可 用 ”
, 、
功 的公 式 计算 当 一图 ’
一 二不 ‘ 一 产
一 产 刃
小车运动 在 图 所 示 州铲 一 一 任 任
一 石一一 丁 严
‘ 、 一 长
—‘ 月 。口 —
,
处‘即在水平直径下方与 二 轴成 么 一‘令,时 有
‘ 云
、 ,
,
一 , 。 奈
一釜 ‘兀二 一铲 。
。 、一 。 , 。 ,菩 么 一
一花犷一 ,一严。 八几 二 、 , ,同理 在水平直径以上段 摩擦力做的功为则此处元功为 二 产 斑铲 。
。 、 兀 ’, 上 一一 石 一 产万‘ 更、 ,
‘
产火 于歹十二仇 入 下丁」、 ‘ 上下两段摩擦力的功相差 召 故摩擦力做的总功
一
当小车运动在图 所示 的与 处关于 轴对 为
,
称的 处圆弧段时 则有 一 上 下 一 产咖扩
扩
目
丫月 十 勿 〕 阴 不石 , 从能量 变化 角度求功
一 又
,
这种求功方法依据功对能量变化 的量度关系 只
“ ‘一“ 贡一 ‘
、 ,
久 需了解初 未能量状态 得到能量的增量便是相应的功
那么 处元功为 量
, ,
例 一质 匀
刀一 量均 的粗绳长为 质量为 两
月 侧一风 贡一 幼 ,端悬于水平天花板上相距为 的两点而悬垂静止 其
, 一
,
由此 小车在关于水平直径对称 的轨道两元段 上 重心位于天花板下且到天花板 的距离为 如图
,
摩擦力元功之和为 所示 现施一力于绳 的最低点 并将绳 拉直至 点
一铲 研一 求拉力所做的功乙
一 产阴 , ,分析与解 由于拉力做功 使绳的重心高度变化
· ·
, ,
因而重力势能发生变化 重 力势能 的增量 即为所求拉 可 以 由做功的多少来量度 这是我们对功 与能之间关
, ,
力功量 由几何知识可 知 拉 直 系的基本认识 也是我们从能量角度解决运 动问题的
后两段绳 的重 心位置距 天 花板 依据
,
为 各种形式的能与物体 的各种运动形式相联 系 描
。。 , 。、一 粤 一
。
西 述 出物体不同的运动状态 当物体的运动 由一种形 式
, ,
乙 变成另一种形式时 能量也相应变化 一定的能量变化
、 、
, ,
重心升高 重力势能增加了 由相应的功来量度 例如 合力 可 以是重力 弹力 摩
佃 、 、△ 一 。一 · , 擦力 电场力 磁场力或其他力 做的总功量 度动 能的
令 ,变化 动能定理 即
图
故拉力做的功为 习 一
、 一 。
,
一 。 , 。一 “ 重力功量度重力势能的变化 即卓 一 ‘。 即 ,任 一 尽
,
例 一质量 为 的皮球从高为 处 自由下 落 弹力功量度弹性势能的变化 即
,
, ,
‘不 空 时计 气阻力 , 反弹起来 的高度为原来 的 要使 一 一 ,寻 ,引力功量度引力势能的变化 即
,
皮球反弹 回高 处 求每次拍球需对球做的功 ,网 一 内
,
分析与解 皮球 的能量损耗 在与地碰撞 的过程 电场力功量度电势能的变化 即
,
中 在球与地面接触期 间 地面对球 的弹力对球 做负 磷 一 问 一 叫
, , , ,
功 使球的动能减少 在从 高处 自由下 落的情 况下 非重力和弹力功量度机械能的变化 功能原理 即
, ,
地面弹力功设为 对全过程有 非 一 三 一
,
一 ,
一 一 了不 九 牛 , 这是我们对功与能之间关 系的一些 具体认识 并
任 任 籍此对运动的量度作出正确的操作
,
在从高 处被拍击后下落的情况下 地面弹力功设为 ,上述功对能量转化量度的对应关系 中 动能定理
,
则有 是最常用的一条 应用动能定理建立方程 的具体操作
拍 , ,一 一 一 明 一 拍 步骤是 选定研究的对象与过程 在受力分析的
, , ,
所 以求出 就可得每次拍球要做的功 亦 即球需获 ,基础上 确定有哪些力对研究对象做了正功或负功 以
,
得的初动能 但是地面弹力功是一个变力功 很难直接 代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表
、 ,
用功 的公式去求 那么两 次与地碰撞过程 中地面对球 述 分析所研究过程的初 未两状态的动能 完成等
,
做的功是否相同 即 一
, ,
吗 或者说 两 种情 况 号右边对动能变化的表述
, 一 ,
下 球在与地碰撞中损 失 的动能是否 相 同 结论是否 例 如图 所示 一水塔的蓄水箱底离地面
。
一定呢 牛顿在研究碰撞问题时总结实验结果提出碰 的高度为 一
,
其横断面是
。 、 。 ,
撞定律 若两球碰撞前速度依次为 仇 碰撞后 速 半径 一 的 圆 储水 深 一
, 、 , , , 、
度为 则两者的分离速度 仇 一 与碰撞前两者 如果用装在高 一 处 截
。 。 , “ ,
的接近速度 劝 一 成正 比 比值 。 。 称恢 复系数 面积为 的水龙头放水 问需
, ,
或反弹系数 比值由两者的质料决定 即 要多久才能将水放完 愉恩
一 分析与解 水箱 中的水从底
,
劝 一 部截面积为 的小孔流出 若流速
,
在我们的问题中 球对地的接近速度就是球落地 认 , ‘ ‘为 则时间 内的水流量 一
, 下, 私
速度 而分离速度 即起跳速度 因 为地 的速度 为零 现 队‘ , 总水量 全部流尽 的时 间
在我们可 以 根据两种情况下球与地碰撞的恢复系数相
一 、 我们先根据动能定理推导
同为等量关系列出下列方程 即 一
一 , 图
出小孔流速 如图 所示 一容
,
器底部小孔截面积为 容器 内
,
液体深为 密度为 取正欲从
小孔流出的一液片考察 若其厚
·
△ △二 , ,
。 。 △一 、 则质量为
由此解得 音 其上表 面受 到 向下 的压 力 上 一 一 二 二 一 一
、 。
二 功能关 系面面观 一 尸 下 表面则受 到
, 。 ,
功是力的空 间积 累作用 能是 对物体运动的一 种 向上 的压 力 下 一 式 中 一图
,
量度 功的作用效应是使物体的能量状态发生变化 做 为大气压强 若液片离开小孔时
, ,
功的过程就是物体能量转化的过程 转化了的能量都 速度为 由动能定理得
· ·
△工 “ △二
· , ,
一 铲
合 代人题给数据 得兀 又 又 、 ,
一 一 一 典
一 又
可得 在丽 欠 一 礴 抓殆贾丽 任
,
这里 小孔流速大小与液面距小孔高度 有关 ,上面对每一层水流 出时间的运算中 我们用 到了
,
现在 回到我们的水塔 如同在例 中曾经的做法 “一个常用的近似处理 对牛顿二项式 的展
,
将 深 的蓄水箱储水均匀分成 层 如 ,开式取前两项作为近似—值 即
界
, , 一 二‘ 一 。 兀 “一 尺 ,
图 所示 每层水的容量 一 二 ” 十
了 幻 口二 一
丫 ,例 质量为 阴 的小球 以某一初速度竖直上抛
,
故可认 为每层水以相同流速流出 “ , ,
注 若运动 中所受阻力 凡 一 最大阻力为重 力的
, · 、 · ,
水龙头 则 一 认 其中 队 是对 ,倍 试求小球上升的最大高度 及落回抛出点时 的速
应 于第 ‘
,
层水从水箱流出时 龙头处 的 ,
度
“ ” ,
小孔流速 它表述为 , ,分析与解 这个问题中 有两个力对小球做功 即
, ,
一
图 重力与阻力 重力功为保守力功 阻力则做耗散功 并
,
且阻力是变力 故本题用微元方法求解
, ,
是放出该层水所需的时间 于是每层 水放 出时间的 , ,
这里 我们先介绍一个重要的极限 即
通项式为
一 。与一
, ,
现在 取上升过程中的某一元过程 该过程小球上
, 、 , 、 , ,
洲
” , ” 、 , ,升了爹‘ 速度从 减少为 由于廿 “ 各
,
那么 全部水箱储水放尽的时间为 , ,
元过程中的阻力可视为不变 即 凡 一
’
合外力为
,
艺只 一 ‘
,
根据动能定理 对该元过程有
切 。、 、 , ,丝 一冬 矿 一
认 一 刀 巨
,
兀尺 占 “ 望矛
一 一二二二 乙 〕 、
” 。
了 ‘一 ’—
,
。 , 对该式变形气 有丫 月 十 一 月 一 ” 干
十 , 一 一
兀尺 全生 劝 碧
了 入一
, 月 “万 刀
十 认
十 劝 尹刀
‘
一 、 一一一立一一 ‘ ,
’ 一 。 十 一 明 彗 ’ 一 户刀
, ,
至此 物理问题 已然解决 下面是运用数学工具求 , 、 , , ,一 一 、 一 矛
, ,
,
数列和极 限 为方便 起见 令 一 。 。一 田一牛 工八川 得翔 仕一 青
柏 洲 俐 上井 向度干诚兀 甲 田
气月 。州卜 一一月 一 少 于 ‘ ,合外力大小 艺 近似恒定不变 因而动能的增量是
,
兴 则有 , ,· , , 二 , 成等比数列递减的 其公比为 一丝旦 于是有
全工 ·
” 艺 、 上
卜 , 三 谓黯碧舒 一 卜桨
一 一
一 鱼
一
丝
全生 命 瞥
·
月 、以 反、 刀 ‘一
合 令 ,两边取极限 得
, 、 二 , , 、
· · 针
一 全生 “ ‘合 令 又 , 一下 气犷一 少 气 少。 “ 一 一行伟 入万 】 一 十 左劝 、 —勿, ,
,
“ 十 十 十 刀 ’ 注意到小球抛出时所受阻力最大 合外力为
,
一 生州
一 下下 刀
” 李 , 二 ,乙 上升到最高点时速度为零 合外力的大小为 以及
, ” ·一 ‘十 。 ,
一
一 下厂 一丁 又 生 一 得
乙 ” 刀“ 一图 一乙 备 之 士汉
兀尺 · , ·一
‘ 左边一或雇而弄索无示 备 卿架黔 群
一 · ·
卿瑟溃丰魔 一纂偿丰黔 毕竿 其中 夕, 州广 况场一一
, 以
几菇 解 上各式得深是砰 一 工儡奋
九 二 , ,
右边 一 一 一备‘一丝宜 臀 从二二 亡 爪
、
, 工 ,刀 即 尸 两点的高度差总等于释放点 尸 与球心高
叫 一月 ,
一塑进一 度差的三分之一 若 等于 即质点从球顶部无初
, 二 , 、 ,,
, 一 一 一
,
匕一 速滑下 则可沿球面滑过 下丁 阴 公从 种放 局 度
于是求得 一 竺
,
越小 在球面上滑过的弧长亦短 这是一个有趣又有用
, ,
在下落阶段 我们用 同样的方法 对下降第 艺个元 的模型
、 二 二二 , 、 , , 、
一 一 一 一 、
向 ,厌万阴兀双性结出 叨能正理表迈式 即 三 初涉元功法
,
取元功作微元 以 功能原理为基本物理规律求得
·
肋 ,一 一 一 , “ ” ,一类物理问题解答的方法 我们称之为 元功法 从下
, ,
一 认一 , 面展示的例解中 读者将发现 用元功法可 以处一 理某些、
变形 整理后得 丝丝 ,阴 一 平衡问题 并且颇为简单
一 , 、
,
两边取 次方 得 例 如图 所示 质量为 长度 为 的均
,
产丝二三李 一 丝丝 竿 匀柔软粗绳穿过半径为 的滑轮 绳 的两 吊 天半 撒 端 在 花, ,
明 一 纪析 幼 板上的两个钉子上 两钉间距离为 滑
, , ,
两边取极限 并注意到初始时 最高点 合力为 。 回 轮轴上 挂 一重 物 重 物 与滑 轮 总质 量 为
, , ,
到抛出点时合力为 勿 一 讨 得 且相互间无 摩擦 求绳上最低点 处
张
芹 的 力 、一 一 分析与解 分析粗绳 滑轮和重物构
,
两边取对数得 婴 成的系统的受力情况可 知 悬点 处‘
乙左 。 一 访
,
绳子的张力 几 分析绳之一半
卜 一 一
丽川 一 , 一
竺 图
一
例如图 中所示 段受力情况是
阴 合一
,
,
普 这段绳的重力 处钉对绳 的拉力
, 处绳之张力
产
阴 一 认
。 及 段滑轮的正
,
压力 现设想在 处 以力 将
一 ,
解得 了平黯 班黯 段绳竖直向上拉过一极小距离 △ 在此微 动过, · ,
程中 几 所 做 元 功 △
, 一 几 八刃 所 做 元 功
将 端一 代入上式得 ·△ 。 ,一 △ 正压力不做功 绳势能增加相 当于
, ,
一万 端长为 △ 的一段绳元移至 , 处 即为竿 其 中
故小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的冬 ,是 到天花板的垂直距离 即
‘
一 双尺
例 一质点位于光滑的固定半球面上距球心高 。月 一找十 一一下万一一
乙
,
度为 的任意点 尸 处 在重力作用下质点由静止开始
由功能原理得
, , 、
往下滑 从 点离开球面 求 尸 两点的高度差
△二 一 △二 一 全 塑二
,
二
一 , 几 李丝
分析与解 如 图 所示 质点从 尸 处运动 至 卫 洲艺 一 乙
, ,
处 除重 力外 无其他 力做 即得
,
功 是一个机械能守恒的过 兀 ·一 阴
一 犷程 重力势能的减少等于动 ‘
一
能的增 加 质点 在 点 只 ,例 如图 所示 一轻质三足 支架每边长
, ,
受重 力 设球半球 为 质 ,度均为 每边与竖直线成 同一角度
一
, , ,
点速度为 由机械能守恒 图 三足 置 于 一光滑 水平面 上 且 恒
定律得 成一正三角形 现用 一绳 圈套在 三
。 。 ,一粤 铲 足支架的三 足上 使其不 能 改 变与
,
‘ 竖直线间 的夹角 设三 足 支架 负重
在 点的动力学方程为 ,为 试求绳 中张力
, , ’ 分析与解 分析支架 受 力 由 一
万 图,
于负重受 到重 力 ‘ 支架 的每边 足
部同时受到两侧绳的拉力 了
, , ,
易得其合力为万 方 经过若干次碰撞 最后两个钢球一直处于接触
,
,
向指向三足构成的正 三角形 的几何 中心 支架三边足 状态 下 运 动 试求 由于 甲
部受水平地面支持 力 、 此力方 向竖直向上 现设想 碰撞而失去的总能量 为 占 ·
支架各边足部在涯 力作 用下 向正三角形 中心移动
多大 怡
,
一极小位移 △二 因而支架的高度升 了高 △
,
则在此虚 从一个容器里 向
,
, , 、 , 外抽空气 直到压 强 为拟的微动过程 中 万 力有一元功 力不做功 负 ,容器上有一 小孔 用
重重 力势能增大 对系统用功能原理得 黔
塞子塞着 现 把塞 子 拔
· · ,
万 △ 一 。 , 么 ,掉 问空 气最初 以 多 大 一图
上式中 支架升高 △ 与 △ 关 速率冲进容器 设外界
一 ,
系如图 图中支架一边位 。 ,大气压强为 大气密度为
‘ ‘ , ,
置从 变为 作 ’’上 ,
质点的质量为 。
,
被固定中心排斥 斥力的大
, ’ ‘ , ,
上 由于 △ 很小 。‘边 一
小 一产勿
,
其中 为质点离开此中心的距离 在开始
,
转过的角度 △ 也很小 故可认 , ,二 ,时 求质点经过位移 时所 达 到 的速度
,
为石下 一 石了 且 ’’边 与竖 直 大小
, ‘
方向夹角为 口 则有 , , 一荤训中 战士距墙 以速度 起跳 如图
△定 一 △夕 , ,所示 再用脚蹬墙面一次使身体变为竖直 向上 的运动
一
·
△ 一 △ , 图 ,以继续升高 墙面与鞋底之间的静
于是可得 摩擦因数为 产 求能使人体重 心有
· · ·
万 公一 如 氏 、最大总升高 的起跳角 民
夕 、质量 长为 的光滑木
凡 为
万 ,板放在冰面上 在木板 的一端坐着
、 , “ ‘
通过例 两道题试解 我们可以归纳出 元功 质量为 叨 的小猫要跳 到板的另一 卜—一叫
”
法 处理平衡问题的基本思路 取与原平衡状态逼近的 , 川 一端 问小猫对冰面 的最小速度 场 图
, ,
另一平衡状态 从而虚设了一个元过程 此过程中所有 应为 多少 小猫 欲一 次跳 到板 的
, ,
元功之和为零 以此为基本关系列 出方程 通过极限处 ,另一端所消耗的能量最少 问它的初速度 应该与水
,
理 求得终解 这种解法所循基本原理是分析力学中的 平面成多大角
“ ,
虚功原 ”理 该原理是 由伯努利首先提出的 跳水运动员从高于水面 的跳 台 自由
, ,
落下 运动员的质量 一 其体形可等效为长度
哮滩墉破屏乎别 、一 直径 一 二
, ,
的圆柱 体 略去 空 气阻 力
将木板在 水平地 面上 绕其一端转动的角度 为 运动员人 水后 水 的等效 阻 了
, , ,
求所需要做的功 木板长度为 质量 为 木板 与 ,力 作用圆柱体下端面 力
地 面之间的动摩擦因数为 热 的大 小 随人 水深 度 变
、
一质量为 。 长为 的柔软绳索的一部分平直 一 ,化如 图 所 示 该 曲线
,
地放在桌面上 另一部分跨过桌面边缘 的光滑定滑轮 , 一
近似为椭 圆的一部分 长轴 匕图
, 一 ,
下垂 如图 所 示 柔绳 与桌 ,
和短轴分别与 和 重合 为 了确保运 动员绝对
面间的动摩擦因数为 阵 ,
安全 试计算水池中水的深度 至少应等于多少
,
柔绳能由静止开始下滑 , 一 ,如图 所示 有两个薄壁圆筒 半径为 的
求下垂部分长度至少多长
圆
一 筒 绕 自己 的 轴 以 角,
由这一位置开始运动 柔 图 。 ,速度 转动 而另一个
绳刚离开桌面时的速度多大 设桌面足够高
圆筒静止 使两 圆筒相
一 ,
如图 甲所示 把质量均为 的两个小钢
接触 并且 它 们 的转 轴
, ,
球用长为 的细线连接 放在光滑的水平面上 在线 , ,
平行 过 一 会 儿 由于
, ,
的中央 处作用一个恒定的拉力 其大小为 其方向
摩擦两 圆筒 开 始 做 无 一
, 图
沿水平方向且与开始时连线的方向垂直 连线是非 常
滑动的转动 问有多少
,
柔软且不会伸缩的 质量可忽略不计 试求 、
机械能转换成内能 两圆筒的质量分别为 ,
,
, 一 ,
当两连线 的张角为 时 如 图 乙 所示 一 ,
如图 所示 厚度不计的圆环套在粗细均
在与力 垂直的方向上钢球所受的作用力是 多大 、 , ,
匀 长度为 的棒的上端 两者质量均为 圆环与棒
, ,
钢球第一次碰撞时 在与力 垂直的方 向上 ,
间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 大小
钢球的对地速度为多大
, ,
为一常量 棒能沿光滑的竖直细杆 上下滑动 棒与 设柔绳恰 由静止开始下滑 时下垂部分长度
, 。 ,
地碰撞 时触地 时 间极 短 且无动 能 为 则
,
损失 设棒从其下端距地高度为 , 、
名 一 严 、‘ 尹
’
, 甸 一
处 由静止 自由下 落 与 , 劫她经 次碰 丁 丁
撞后 圆环从棒上脱落
分析棒第二次碰地 以 前 的血 左十召 ,
, , 设柔绳刚 开 面时的速 为 面为
过程 中 环与棒 的运动情况 求出棒
离 桌 度 取桌 零
一 ,
, 图 势能面 由动能定理得
与环刚达 到相对静止 时 棒下 端距
。 一 ,
地高度 公 一 , 厂 一下 十阴 二 一 一 二犷 丁 ,
乙 ‘ 乙 乙
、 、 、
求出 四个量应满足的关系
一 。
, 其中摩擦力对 段绳做的功为
钢球沿着光滑的长梯弹跳 在每一级台阶上仅
。 , 一 产 一 。
, 一
跳一 次 如 图 所 示 每 犷 ,— 乙
,
次与台阶碰撞时 球要损失 ,
一 产 一
。 ’明 一 ’则 铲
一 。 的机械能 试求小球 爷 警 专 合
抛出后与台阶第一次碰撞前 ‘,
。 卫生 代人 。 一
的初速度 及其与竖直线的 将 一 —产 价霖
夹角 甲 梯 子 台阶的高度 、 一 。
。 , ,
, 又 户 , 二。 宽 乙
一 。 , ,如图 所示 的曲 设钢球第一次碰撞时沿 力 方 向速度为
一
, 图 , , ,
柄连杆机 械 中 设 曲柄端 垂直于力 方 向速度为 设力 的位移为 由动
,
上所受的竖直力为 由活塞 上所受的水平力 尸 维 能定理得
, 、 ·
持平衡 试用元功法求 尸 与 的 比值 图 中 月为 已
,
一
合 、 弓卜 、 咪知
在力 方向上根据牛顿第二定律得
二 ,
阴 , “ ,
一 即 铸 —气 一 少
代人前式可得 、一
, 裸 , ,
达到终态时 两球 巧 力 总位移为 则
一 冬 诺十 △
一 一
图 图 乙
。 , , , , 、
一 , , 一
如图 所示 均匀杆 扒 重 能在竖 直 一 乙 又尸一 气入 一 乙 寸 凸乙 ,
乙刀诬
,
面内绕固定轴 转动 此杆的 端用铰链连住另一重
△ 乙
, ,
的均匀杆 在 杆的 端施一水平力 试用 一 , ,
如图答 所示 设小孔截面积为 打开塞子
元功法求二杆平衡时各杆与水平方向所成的角度 及
后小孔外侧厚度为 △ 的一薄层
月 、
空气在内 外压强差作用 下 冲人
, ,
容器 获得速 度 由动能 定理
参考答案 得
。
, 一 , △二 一粤 △
,
端 一图答
, 、
一 一 一 山 。 心
, ,
如 团 合 沙 所不 取 △ 一 ‘万 弟 段筑骊息 场 一
,
转过 角 克服摩擦力做功为 严俨
,
, ‘
一产 ’ 斥力为线性变化力 其功干 干 一 ,
如图答 所示 所求功为图中
则对木板的功为 “ ” ,划斜线部分 面积 即
一
一 名产 图答 一 。 。 。
, 冲 改 丁名 — 令
‘
产 名 一 。 “ ’号
刀一 一
, 图答
一产 习 产 根据动能定理 得
· 〔
。 浮
,
一 ①
普 一合 ‘ ,其中重力功 一 阴不 ②
且 一 。 一 、杯雍 阻力功根据图 所示的曲线与 轴所 围面积即
, , ,
设抵达墙时战士速度为 蹬墙后速度为 了 各 “为四
”
分之一椭圆 面积 得
一 , · ·
矢量间关系如图答 所示 从起跳到 了 明 、
脚蹬墙时和蹬墙后 以速度 ’上升至最高 一令 号
, ,
, ,
处 分别应用机械能守恒 得 人水过程中 浮力为线性变化力 故
, · · ,
一 , ,一合
“ ‘ 等、跳 一 铲
一 二一万一 长一’ 完全人水后浮力功为
’ 成
一 铲 浮
兰生一一止立一上一兰一 , ① 一 一
一不一 气九 ,
一 一
’ 图答 任
, , , , 、
一
由图答 有 改 浮 一 一 一下一 ‘
“
尸 九一 二犷 田
仇 夕 ’ ,
任 ‘
一
、 、 ,
‘ 产 , 将 ② ③ ④式代人 ①式 整理可得一 夕 夕一
兀
其中 ‘
, 。 、 ,一 幻裱渝刁将 ’代人 ①式 整理后得 兀一
, ,根据题意 一段时间内 , 线速度从 创尺 变 到
一 ·‘· “ 。“。 “ ’一 “ 。
化
蠢〔
, 〕 。 , ,而 线速度从零变化到 呐 叭 这种变化是
,
产 ‘ ,一 ‘, , 一 , 一 因为两者间有大小相等的一对力作用 即
矗〔 夕 去 , 」 创尺一田一 叭
, ‘ 一 一 ,
。 , 一 一一万一一 执 万可知 当 去时 得一 工 阴由上式得 。 ·,
二 而 田
一 一 丝一粤碧 、 对系统应用动能定理得
, , 一 、 , 。 一 , ,猫消耗能量 使猫及木板获得初动能 即 。粤 粤
,
珠 一粤 端 令蒯 刀孟】 田
,
写出猫消耗能量与 “方向夹角 间的
函 阴数式 从中求 功
,
出最值 起跳时间 内二 与 间水平方向相互作用力 “由机械能守恒可得 棒第一次碰地 以前速度 、 , 、, 甲大小相等 故有 惬石万 棒与地相碰后 瞬时速度大小不 变 方
, ,
七 。 住 , , 刃 向向上 加速度为 向下 棒做匀变速运动 环
一 ‘
’
一丁一 ” 丁 , ,速度也为 一 砂骊育 方向向下 加速度为 一 方
刀砚 口 ,
’ 向向上做匀变速运动 环与棒的相对运动初速度为 相丽一
, ,
一 冰百万 方 向向下 相对加速度
相 一 方 向向
猫从跳离板一端到落至板另一端历时为
,
, 上 到相对静止时环相对棒下滑的距离为一 全些竺竺 二 、
星二坦相
这段时间内猫对板的位移满足
,
,一 、 。。 · 一 刃 。
竺斋燮 历时 二塑相 漂
,
由此得 一 乏 石诬石石 环与棒的共同速度为丽斋条 ②③ , 一 梅面万一 庵一
一 一丽了 漂一 ,棒从地面向上到与环相对静止的过程 中孕一对摩擦力
、 ,
将 ② ③两式代人 ①式整理 得 , 、 ,做负功 重力分别对环 棒做负功 由动能定理得
明 , , 、·
乓 。 材 〕 一 七 一阴 一幼 内 一 叨 吸 一 几户 ,
况 左
, ·
时 有 ,, 一 。
利用基本不等式性质 当 一丫黔 喜 玉亘 粤
了厄妥万
艺 左 乙 一
、。 罕福恶 解得棒下耗 端距地高度为一 , ,一
一丁言 」」
,
对全过程应用动能定理 得 ‘龙
棒与环一起第二次落地时速度仍 由机械能守 。且 月
】, 了 ‘ 八 一
一 日
恒得 角
、 。 。 , , ,一 。 在 点发生位移 八 的时
下厂 又乙阴 一
“
十 乙功 几万一 月 一 下厂 、乙功 劝 一 ,△
‘ 忆 ‘ 间 内 点在力 方 向
州 , 发生位移大小为
韶平 △ ,一 纵 △
·
。 那么 鲤 月
此后相对滑动 为 厚 △ 一户泛云 一 一丽 根据元功法有 图答
, 。 、 、 、 · ,则若在碰 次后环脱离棒 四 个量应满 尸 △ 一 △
足的关系为 卫 些毕澳止二婴尹一产月一几
,
二 气
少
华 典 弄 半 一 一
尸
“ “ ’ ’“ ” 去 一”一 ‘ 、一 一 如 图答 所 示 设力 作 用 点 的 坐 标 为
, , ,
, 用
典 ” 力 作 点坐奥 标为“ ’ ’ 劣” , ,” 力 的作用点 坐
口一 一 ” 二 , ,一 一
下二 一 标为 由元功法得即” 共”一 舟毛好六 夭月一 一 云
下
十 ’ 一 , ’一 · ·△ 一 △ , 认 △
,
根据题意 第一次与平台碰撞前后有 、
’
,
粤 铲 。 一 ,
起 头 甲 一 一万一
‘ ’ ‘ “ 尹 一 粤’ ‘
一 一 她 一
‘ ’一
涯 万一
一
, 图答
即。 一、 等 一 ’, 肠 , 口
‘ , ’
,
式中 、 表示钢球起跳速度 设其方 向与竖直方 向的 一万一
, ,
夹角为 由于钢球在长梯上 的每一 台阶只能跳一次 口
‘ “ , ’十一万一
故可近似认为钢球每次与台阶碰撞前后的均有
二 、
·
刃落 ,一 落 起 起
夕
少 ,
而且每一跳中均有 夕
, 一 。。 , 一 。起 , 由此可得粤 △ , 一 一加 一 司 〔田‘ 尹一邸 一姗 月
· ·
·落 · ,。 一 一 △ 月 △尽
合 音、 △, 一 〔·、 、普 一 一 , 〕
一 二 △一
落 令
得 一 瑰 涯
如 一 , 〔
· 。 ·一匆 、
·
、 ‘钢球每一次飞行时间为 一 夸 、、〕
, 。 · ·‘ △
落 一甲
一 专一 , 邸
由图答 所示—矢量关系可得 一起 , 将以上各项代人公式得鳃 沪 · · ·
仁 △ 召 △月
一“ 起 。 产 ,一 一告 一 工 。。 。 ‘ 。二 、 。 · ·令 夸一 ,
△
,
即 , 甲一 甲
一 ·
图答 ‘ ·‘ · , △·
代人题给数据解得 即 〔 一 夸 一 〕
, · 一
二 。 一 二 。 一 ,音 。。· ·一 〔 夸 ,
一 , 、
,
后一解说明起跳速度变为水平 除钢球落在拐点 、 ,
因 △ 邸是互相独立的 等式成立必须满足,
情况外 应舍去此解
“ 一 一 ,
设活塞 即连杆的 端 以速度 通过一微 一 一
△ , ,小位移 与此同时 连杆 端 以速度 么 绕 点通 咒 户 ,
, ,
过一小段弧 如 方 向与曲柄 垂直 且 是 与 相 同 切 “万 一
‘ 川 月一
。 ,
的水平速度 及对 点的转动速度 的矢量和 由图 , 。 。 。 , , 。旦土里旦 。 里
一 , ’
’ ’
一 一 一一 ‘答 所示 应有关系 户 户
钊 此即平衡时二杆与水平方向所成角度关系
。
一口 一 一口第33卷第9期
中学物理教学参考
Vol 33 No 9
2004年9月
Physics Teaching in Middle Schools
Sep.2004
竞赛辅导
专题4矢量图解运动问题
沈晨
线段未端重合,即从同一点出发分别画出两相减矢量
歌你一于
由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即
、矢量加、减运算的图示
为R(如图4-1(c)).运用这种方法可以进行多个矢量
矢量的加、减运算,即矢量的合成与分解是处理物的连续相加或相减.我们可归纳如下
理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形定
图解方法求矢量和:相加各矢量依次首尾相接后,
则,也可简化为三角形(多边形)法.其图解方法如图连接第一个“加数尾与最后一个“加数”头的有向线段
4-1,若已知矢量A、B、(如图4-1(a)),当求R=A+B,即为各矢量之和.
即作矢量的加法时,可将A、B两矢量依次首(有向线
图解方法求矢量差:末端共点地分别作相减二矢
段箭头)尾(有向线段未端)相接后,由A的尾画到
量,连接两箭头、方向指向“被减数”的有向线段即为该
二矢量之差
、运动的合成与分解
当物体实际发生的运动较复杂时,我们可将其等
B
R=A-B
效为同时参与几个简单的运动,前者称作合运动,后者
则称作物体实际运动的分运动.这种双向的等效操作
过程叫运动的合成与分解,是研究复杂运动的重要方
的首的有向线段即为R(如图4-1(b));当求R=A
法.运动的合成与分解遵循如下原理
B,即作矢量的减法时,通常将表示A、B两矢量的有向
1.独立性原理构成一个合运动的几个分运动是
彼此独立、互不相干的,物体的任意一个分运动,都按
绕地球运动,而不落回到地面上来.牛顿的草图指出了验的进展数学方法的进展相比,的确是微不足道的
实验发展的一种预见性,这在牛顿时代是一种可能性,但是在人类进入20世纪的时候,思想实验突然被频繁
在今天变成了现实
地运用起来.爱因斯坦提出了狭义相对论,当人们的思
在物理竞赛中有这样的一个问题:假设地球是
想离开伽利略大船的船舱,来到爱因斯坦火车的时候,
个密度均匀的球体,在地球上开凿一个穿过地心的直关于同时的相对性、关于尺缩效应……关于高速世界
隧道,让一个物体从洞口自由下
里才可能发生的一个个奇妙的情景,被爱因斯坦用思
落,讨论物体在洞中的运动形式
想实验论述得合情合理.玻尔和爱因斯坦关于量子的
及其周期(如图3).这个问题不
概率解释进行争论时,他们用思想实验进行的论辩,让
能看做是一种脱离实际的游戏,
人们看到世界上第一流的科学家是怎样畅游在理念的
这是一个同样会出现在科学家
世界里.在科学发展到今天,人们建立了大爆炸宇宙模
的脑海里的思想实验.今天的人
型,当代理论物理学家霍金在对我们这些普通的人演
们是无法建成这样的隧道的,至
讲中谈到,世界是十维的,并说了一句意味深长的话
于将来是否有可能造成,现在谁
图3
我们看到的世界就是火光照在山洞壁上的影子啊!
也不能妄下断言
主要参考文献
伽利略创立近代科学时用的三个方法,即实验方
法、数学方法和思想实验方法,被其后的200年中的科
黑格尔.哲学史讲演录(第二卷).北京:商务印书
学家继承的主要是前两个方法.思想实验的进展与实馆.1997
59第33卷第11期
中学物理教学参考
Vol 33 No 11
2004年11月
Physics Teaching in Middle Schools
Nov,2004
竞赛辅导
专题6动力学特殊问题与方法
沈晨
教你一
17
5188-g
g
由图6-2可知,绳的加速度(即重物加速度)与人的加
这里,我们要介绍动力学的几个特殊问题及处理速度同方向,则绳相对于人的加速度
方法
质点系的牛顿第二定律
4绳对人=am
g
g
牛顿第二定律也可运用于由加速度不同的质点组
例2如图6-3所示,滑块A、B质量分别是m
成的系统.设系统中各质点的质量为m1、m
和mB,斜面倾角为a,当滑
mn;系统以外物体对系统的力有F1、F2
块A沿斜面体D下滑,滑
F,这些力可能作用在系统内不同的质点;系统块B上升时地板突出部团D
各质点的加速度分别为a1、a2……a,……an,则有
分E对斜面体D的水平压E
∑F,=∑m;a
力F为多大 (绳子质量
图6-3
与单独质点的牛顿第二定律一样,上述关系具有及一切摩擦不计)
矢量性、瞬时性、独立性且有相同的适用范围
分析与解题目要求确定地板突出部分E对斜
在处理静力学问题时,我们曾讲到选取研究对象
面体D的水平压力F,我们的思路依“尽量取整体”应
般应遵循“尽量取整体”的原则,以回避对象各部分
首先选定A、B、D构成的系统为研究对象,对这个系
间相互作用的“纠葛”关系;在处理动力学问题时,质点
统而言,水平压力F只引起质点A水平方向加速度,
系的牛顿第二定律使我们对那些各部分加速度不同的
因滑块B、斜面体D在水平方
质点系也能用整体方法去解决
向加速度均为零.只要求出质
例1如图6-1所示,跨过定滑轮的一根绳子
点A的加速度,其水平分量唾
端系着m=50kg的重物,一端握在质量
手可得,为了求A的加速度,
M=60kg的人手中.如果人不把绳握
我们可另取以绳相连的A、B
图6-4
为研究对象,在图6-4所示坐
死,而是相对地面以a=18的加速度下
标中建立牛顿第二定律方程
降,设绳子和滑轮的质量、滑轮轴承处的
对A、B、D构成的系统有F=m3ax;
摩擦均可不计,绳子长度不变,试求重物
对A、B构成的系统有
的加速度与绳子相对于人手的加速度
图6-1
magin ambg=(ma +mB)as
分析与解本题中,人与重物通过绳相关联,若取又有
ar=acos a
人、绳、物组成的系统为研究对象,则可不
由上三式易得
m A sIn a mB
gcos
必考虑人与绳之间的相互作用,根据系统
mnB
的牛顿第二定律,在图6-2所示坐标轴上
我们看到借助于质点系的牛顿第二定律,一些联
建立运动方程为
结体问题的解答大为简化了
mg
Mg-mg=ma +mam
二、加速度相关关系
Mg
于是可得
绳、杆等约束物系或接触物系各部分加速度往往
M(g-a
图6-2
有相关联系,确定它们的大小关系的一般方法是:设想
g
物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间△t,则由
45第33卷第8期
中学物理教学参考
Vol 33 No, 8
2004年8月
Physics Teaching in Middle Schools
Aug.2004
竞赛辅导
专题3平衡问题探啊
沈晨
线所示位置.该图中,C为蛋的质心,偏转后的质心位
心歌称一留
置在C,O为碗球心,a、B分别是弧长MN所对蛋尖圆
和碗球的圆心角,
物体平衡的种类依稍微偏离平衡位置后是否能在即MN=B=b,
原位置保持平衡而分为稳定平衡与不稳定平衡,能在其他几何关系如
C
随机位置保持平衡的则称随遇平衡控制物体的不同图所示
平衡态势,增大物体平衡的稳度是有趣又有实际意义
解法
考
的事
察质心位置高低
怎样甄别物体平衡的种类呢 以处于重力场的物变化
体在重力和支持力作用下的平衡为例,一般操作步骤
要满足蛋尖
图3-2
是
端在球形碗内有
1.设计一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稳定平衡,应证明图3-2中的C位置高于C位置,即
稍偏离原平衡位置
需满足
2.从能量角度考察受扰动后物体质心位置的高度
CM′cos(a-p+Ma-BCM,
变化,根据质心是升高降低还是不变来判断物体原本
是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡;或从受力角度
在微扰的情况下,a、B都是小量,故有如下很好的
考察受扰动后重力作用点的侧移量,即重力对扰动后近似
新支点的力臂,从而判断物体原来的平衡态属于哪
Rcos(a-B)trp9-P
>R
种.这里,仅是问题切入的视角不同,但殊途同归,结论
2
是一致的,故可依问题的具体情况,择简而从
即rB
2 RLI-cos(a-B)]=2Rsipe a-P
3.为比较扰动前后物体的受力与态势,要做出直
利用小角度的情况下,sina≈a,sinB≈B,且注意
观明晰的图示;由于对微扰元过程作的是“低细节”的
到rB=ba,则有
描述,故常需运用合理的近似这一数学处理手段
例1如图3-1所示,一个熟
2R(aB)2,整理得
6R
R-6
鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分
由题给条件知R>l-a故有
别为a、b,且长轴的长度为l,蛋圆
6R
bCl-a)
的一端可以在不光滑的水平面上
R-b
b
b
b
稳定直立.求蛋尖的一端可以在
R
个半球形的碗内稳定地直立
这就是说,碗的球半径尺寸不能太大,应满足条件
时,碗的半径r需满足的条件
为x<
l-a-b
分析与解因蛋圆一端在水
图3-1
解法二考察质心位置侧移量
平面上可处于稳定平衡态,可知
欲满足蛋保持稳定平衡的条件,重力对支持点N
蛋的质心位置C应在图3-1中A点之下,设其距蛋尖
的力矩应可使蛋返回原处,故应有
顶点为R,则R>l-a.现将蛋尖端直立于半径为r的
CMsin(a-B)球形碗底M点处,如图3-2中实线所示,设想当蛋尖
外缘沿碗偏转过一小段弧长MN则蛋在图3-2中虚
即
R(a-B)将R>l-a,rB=b代入上式整理即得
50第33卷第6期
中学物理教学参考
Vol 33 No 6
2004年6月
Physics Teaching in Middle Schools
jun.2004
竞赛材导门
专题1准静态问题的力三角形判断法
沈晨
编者按当今市场上各种高中物理竞賽辅导资料多以章节的形式罗列知识点,方法辅导较少,不利于激
发学生学习的兴趣.因此,许多老师要求本刊编辑部组织一个有别于市场上的竞賽辅导资料,以给喜欢物理
学,渴求获得比高中教材所提供的更多的基础物理知识与更妙的解决物理问題方法的中学生一套课外阅读
材料,也便于普通中学用作竞賽辅导并且与高中现行物理教学同步的教材,在编排上,知识线与高中现行物
理教材平行.对此,本刊编辑部特邀资深竞賽辅导老师—浙江省特级教师、宁波效实中学高级教师沈晨老
师编写高中物理竞賽辅导专题,该专题内容以《全国中学生物理竞賽内容提要》为依据,不拘泥于其界定,数
学涉及高中现行教材全部内容,但不需要用到微积分,对部分求导、积分与微分方程通过微元方法降解,是初
等数学的物理;对高中物理内容不再作知识点的罗列,采用¨点击式”介绍更高层面的物理知识,更巧妙的物
理方法;例讲选题注重给学生以解决物理问題的具体操作方法与新信息传达;练习题全部给出详解或解答指
要;选编练习题尽少重复全国物理竞賽试题以増大新题容;国际物理奥林匹克题降解选用比例高.每个专题
分“教你一手”与“小试身手”两个模块,前者点击精彩物理知识与方法,后者提供研讨、试手的问题与实例,以
便老师辅导和学生自学,该系列专题共27讲,分别是准静态问题的力三角形判断法、点击静力学问题解答技
巧、平衡问题探骊、矢量图解运动问题、物系相关速度、动力学特殊闷题与特别方法、曲线运动曲直谈、功与
能、动量与动量、曲线运动的动力学解、天体宇宙种种、谐振的认定与周期、波的描述与波现象、刚体的运动学
与动力学问題、热力学基础、电容器、静电学问题的等效处理、电阻等效ABC、电路计算、电磁感应面面观、交
流电路、费马原理及其运用、成像冋题集成、光干涉研究、微观世界的规律与方法、相对论浅涉、微元法.这
系列专题将从本期连载
类型一、三力中有一个力确定,即大小、方向不变,
个力方向确定,这个力的大小及第三个力的大小、方
心你一号
向变化情况待定
例1如图1-1所示,竖直杆AB在绳AC拉力作
在静力学中,经常遇到在力系作用下处于准静态平衡
用下使整个装置处于平衡状态,若绳AC加长,使点C
的物体其所受诸力变化趋势判断问题,这种判断如果
缓慢向左移动,杆AB仍竖直,且处于平衠状态,那么
用平衡方程作定量分析往往很繁琐,而采用力三角形绳AC的拉力T和杆AB所受的压力N与原先相比
图解讨论则清晰、直观、全面
下列说法中正确的是()
我们知道,当物体受三力作用而处于平衡时,必有
A.T增大,N减小
∑F=0,表示三力关系的矢量图呈闭合三角形,即三
B.T减小,N增大
个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接.当物体所
C.T和N均增大
受三力有所变化而又维系着平衡关系时,这闭合三角
Ⅰ.T和N均减小
形总是存在而仅仅是形状发生改变,比较不同形状的
分析与解由于绳AC以
力三角形各几何边、角情况,我们对相应的每个力大
不同方向拉杆,使杆AB有一系
图1-1
方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然.所
列可能的平衡状态.我们考察两
作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的
绳系在直立杆顶端的结点A,它在绳AC的拉力T、重
簇闭合三角形,是力三角形判断法的关键操作
物通过水平绳的拉力F(F=G)和杆AB的支持力作
三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况
用下平衡.三力中,水平绳拉力不变,杆支持力方向不第33卷第7期
中学物理教学参考
Vol 33 No. 7
2004年7月
Physics Teaching in Middle school
Jul. 2004
竞赛辅导
专题2点击静力学问题解答技巧
沈晨
心歌你一
故F1和F2的大小相等为F1=F
由图
2
物理学好学高,方法得巧得妙解决任何问题都需
还容易得知,当表示F1(F2)的线段处于直径位置时
要掌握方法,若方法得当,就能达到事半功倍的效果
即表示相应的力有最大值,且三力关系矢量三角形呈
处理静力学问题也是这样.专题1中我们曾介绍过的
直角三角形,这时F2(F1)大小为F·cot(x-0)=
力三角形法、引人摩擦角与约束力概念,对处理平衡问
Fcotθ
题带来的便利已可见一斑这里,我们将通过具体实例
运用矢量图,我们了解了符合题目要求的力分解
点击处理静力学问题之“三巧”:巧用矢量图解,巧取研的全貌,并从中分检出两特殊解,解答过程非常简单清
究对象,巧解汇交力系
晰
巧用矢量图解
问题2如图2-3所示,放在水平面上的质量为
问题1将合力F分解为F1和F2两个分力,若
m的物体,在水平恒力F1作
已知F的大小及F1和F2的夹角0,且0为钝角,则当
用下,刚好做匀速直线运动
F1、F2大小相等时,它们的大小为
;当F1有最
若再给物体加一个恒力F2,且
大值时,F2大小为
使F1=F2(指大小),要使物体
图2-3
分析与解将一个力分解成两个力,在没有附加
仍按原方向做匀速直线运动,力F2应沿什么方向
条件时,可以有无数种解,在题绐有限制条件时,也有
此时地面对物体的作用力大小如何
解集根据力合成的平行四边形定则,被分解的力与两
分析与解首先分析未加力F2时物体受力情
分力之间关系是“对角线”与夹对角线的两“邻边”的关
况:物体在重力mg水平恒力F1以及地面作用力(支
系,基于平行四边形对边平行且相等的性质,合力与它
持力与滑动摩擦力的合力)F作用下处于平衡状态,故
的两分力之间的关系还可以用更简单的矢量图形
三力矢量依次首尾相接构成闭合三角形,如图2-4(1
角形来表示,如图2-1所示.满足合力F的两分力
所示.在这个闭合三角形中,表示重力和水平恒力的有
F1和F2夹角θ且日为钝角的矢量三角形是一解集
向线段大小方向都是确定的,表示地面作用力的有向
它们有公共外接圆,表示合力F的有向线段是该圆的
线段方向总是与竖直(地面支持力作用线)成tanu
条弦,该弦所对的圆周角均为丌-6,如图2-2所示
但这个力的大小是可改变的.以此为基础,若要再加
个力而使物体仍处于平衡,这个力的作用线应沿F
F
力,方向可与F力一致,如图2-4(2)所示;也可与力F
F
F
g
图2-1
图2-2
由图可知,当F1、F2大小相等时,对应的力矢量关系
图为等腰三角形,表示F1和F2的线段为腰,底角为
相反,如图2-4(3)所示返还实体,即F2力可以是与

展开更多......

收起↑