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合肥市2021年普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷（六）
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x∈N|-2＜x＜3}，B＝{x|-3＜x＜1}，则A∩B等于
A．{x|-2＜x＜1} B．{x|-3＜x＜3} C．{-1，0} D．{0}
2．若复数z＝2-i，则
A． B． C． D．
3．“a＜1”是“?x＞0，”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知M为抛物线C：y2＝2px(p＞1)上一点，过点M作x轴垂线，垂足为N，若MF＝2FN＝2，则p＝
A．2 B．1 C． D．3
5．某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
A．240 B．384 C．480 D．504
6．函数f(x)＝2x在点P处的切线与直线xln 2-y-1＝0平行，则P点的纵坐标为
A．0 B．1 C．2 D．
7．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形（如图1），沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形（如图2），对其余三个小三角形重复上述过程（如图3）．若图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为
A． B． C． D．
8．设函数的图象大致如图，则ω＝
A． B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，已知一个“刍甍”的三视图如图所示，则该“刍甍”的表面积为
A． B． C． D．24
10．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是
A．(1-b)a＞(1-a)b B．(a+1)a＜(b+1)b C．0＜logba＜logab D．logab＜logba＜0
11．已知双曲线C：，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则
A．若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于
B．若A在双曲线的右支，则|FA|最短长度为2
C．|AB|的最短长度为16
D．满足|AB|＝11的直线有3条
12．在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2，0)，E，F是y轴上两个动点，且，则的最小值为
A．1 B．-2 C．-3 D．3
二、填空题
13．若，则________．
14．已知实数x，y满足z＝2x+y的最大值与最小值之和为________．
15．函数若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
16．有下列结论：
①过点(-2，-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y＝-5；
②已知直线kx-y-k-1＝0和以M(-3，1)，N(3，2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为；
③已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2+y2＝r2外一点，直线m的方程是ax+by＝r2，则m与圆相切；
④若圆M：(x-4)2+(y-4)2＝r2(r＞0)上恰有两点到点N(1，0)的距离为1，则r的取值范围是(4，6)．
其中正确的序号是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．如图，半圆O的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠PAC＝θ．
（1）把线段PC的长表示为θ的函数；
（2）求四边形ACDP面积的最大值．
18．在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
男 女 总计
喜爱 40 60 100
不喜爱 20 20 40
总计 60 80 140
（1）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；（精确到0.001）
（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．
附表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中n＝a+b+c+d．
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，AD＝2BC＝2，M是PD的中点．
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求VD-ACM．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A的坐标为(0，1)，点B在y轴上移动，且∠ABC＝∠ACB，线段BC的中点为D，且点D的纵坐标为0，过点E(0，2)的直线与C点的轨迹交于P，Q两点，以PQ为直径的圆交y轴于M，N两点．
（1）求C点的轨迹方程．
（2）是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由．
21．已知函数f(x)＝ln x-(k+1)x-b．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(1)＝-(k+1)，且不等式k≤f(x)≤1对任意x∈[1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1，C2相交于A，B两点．
（1）求A，B两点的极坐标；
（2）以极点O为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，取相同长度单位，曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x-1|+|ax-1|．
（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥x的解集；
（2）若的最小值为1，求实数a的值，并说明函数取最小值时x的取值范围．
（六）
参考答案
提示：
1．D ∵A＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0}．
2．D ∵，∴．
3．A ∵?x＞0，，∴a≤2，故“a＜1”是“a≤2”的充分不必要条件．
4．D ∵MF＝FN+p或MF+FN＝p，∴p＝1（舍）或p＝3．
5．D 学校安排六节课程可看作是用6个不同的元素填6个空的问题，排法可分两类．一类是生物课排在第四节，排法种数是种；一类是生物课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课4个科目中任选1个科目，有4种安排方法，最后剩余的4个科目和4节课可全排列，有种排法，由分步计数原理，可知第二类安排方法共有4×4×24＝384种．所以这天课表的不同排法为120+384＝504种．
6．B y′＝2xln 2，令，∴x0＝0，∴f(0)＝20＝1．
7．C 图1的阴影部分的面积为：1；图2的阴影部分的面积为：； 所以图4的阴影部分的面积为：．
8．D ∵，∴，∴（舍）．
9．C 由三视图可知，该五面体为如图所示的几何体，底面ABCD为矩形，易知EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF是底边边长为2，高为的三角形，计算可得该此几何体的表面积为．
10．B 用特殊值检验，取，，得，，则，所以选项A错误；，，则，所以选项B正确；
，，所以选项C、D错误．
11．B |FA|的最短长度为c-a＝5-3＝2．
12．C 不妨设E(0，x)，则F(0，x-2)，∴，，∴
．
13． 14．6 15． 16．④
17．解：（1）依题设知△APB是以∠APB为直角的直角三角形． 又AB＝2，∠PAB＝θ，∴PA＝2cos θ，． 又∵PC2＝PA2+AC2-2PA·AC·cos θ，∴，定义域为；
（2）
，其中，，∴当sin(2θ+φ)＝1时，S取得最大值为．
18．解：（1）由题意得， 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．
（2）抽样比为，样本中喜爱该演讲的观众有名，不喜爱该演讲的观众有6-4＝2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，1)，(a，2)，(b，c)，(b，d)，(b，1)，(b，2)，(c，d)，(c，1)，(c，2)，(d，1)，(d，2)，(1，2)，共15个．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故所求概率为．
19．解：（1）如图，取AP的中点E，连接BE，EM．∵E，M分别为PA，PD的中点，∴EM， 又BC∥AD且AD＝2BC，∴EMBC，∴四边形BCME为平行四边形，∴BE∥CM，又CM?平面PAB，BE?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
（2）∵．
20．解：（1）设C点的坐标为(x，y)(y≠0)，∵点D的纵坐标为0，∴B点的坐标为(0，-y)，由|AB|＝|AC|，得(y+1)2＝(y-1)2+x2， 化简得x2＝4y，∴C点的轨迹方程为x2＝4y(y≠0)．
（2）显然直线PQ的斜率存在． 设直线PQ的方程为y＝kx+2，P点的坐标为(x1，y1)，Q点的坐标为(x2，y2)，PQ的中点R的坐标为(x0，y0)． 联立，整理得x2-4kx-8＝0，∴?＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝-8．∴，y0＝kx0+2＝2k2+2，即R点的坐标为(2k，2k2+2)， 又
，∴以PQ为直径的圆R的方程为(x-2k)2+(y-2k2-2)2＝4(1+k2)(2+k2)．令x＝0，得y2-(4k2+4)y-4＝0． 设M点的坐标为(0，y3)，N点的坐标为(0，y4)，则y3y4＝-4，∴为定值．
21．解：（1）由题意，函数f(x)＝ln x-(k+1)x-b的定义域为(0，+∞)． 则
． （ⅰ）当k+1＞0，即k＞-1时， 令f′(x)＞0，得，得，得(k+1)x＜1，得．又因为x＞0，所以； 令f′(x)＜0，得； 所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减； （ⅱ）当k+1≤0，即k≤-1时，-(k+1)≥0，又由x＞0，得，所以．即f′(x)＞0对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增； 综上，当k＞-1时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当k≤-1时，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增．
（2）若f(1)＝-(k+1)，则f(1)＝ln 1-(k+1)×1-b＝-(k+1)-b＝-(k+1)，解得b＝0． 所以f(x)＝ln x-(k+1)x． 则不等式k≤ln x-(k+1)x≤1对任意x∈[1，2]恒成立， ①对ln x-(k+1)x≤1整理得(k+1)x≥ln x-1，∵x∈[1，2]，∴， 令，则，令g′(x)＞0，则有x＜e2， 即函数g(x)在[1，2]上为单调递增函数，
，∴，， ②对k≤ln x-(k+1)x整理得k(x+1)≤ln x-x，∵x∈[1，2]，∴， 令，则，令
，则，∴φ(x)在[1，2]上为单调递减函数，且φ(1)＝1，
，故存在，x0∈[1，2]，使φ(x)＝0，即h(x)在[1，x0)上单调递增，在(x0，2]上单调递减，又，，h(1)＜h(2)，∴，∴， 综上，
．
22．解：（1）由， 得ρ2＝36，即ρ＝±6． 所以，A，B两点的极坐标为：，或．
（2）由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2-y2＝18， 将直线代入x2-y2＝18， 整理得，即，t1·t2＝-28， 所以
．
23．解：（1）当a＝1时，f(x)＝2|x-1| 由2|x-1|≥x得2(x-1)≥x或2(x-1)≤-x 解得：x≥2或． 故解集为：；
（2）． 若的最小值为1，则|1-a|＝1，即a＝0或a＝2； a＝0时，，此时，则x∈[1，+∞)； a＝2时，，此时，则．

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