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共点力平衡之正交分解
人教版（2019）必修第一册
简介
正交分解，共点力力平衡中具有非常重的地位，也是解决共点力平衡问题最基础实用的方法，不仅能够提高受力分析能力，同时也对力的矢量性有更深刻的认识。
正交分解的重要步骤之一就是建立直角坐标系，将原本不在坐标系上的作用力进行分解，这样所有的力均分在了两个坐标轴上，为书写方程提供了简便。
同时，我们在本节内容中也将拓展摩擦角和全反力的概念，一方面增加对力的合成与分解的认识，另一方面更深入的理解滑动摩擦力。
一、正交分解的基本步骤
【例1】一个物体从倾角为?
的斜面上匀速下滑，则物块与斜面之间的动摩擦因数为多少？
【答案】?
=
tan?
【解析】
对物体进行受力分析如图
建立直角坐标系，物体或系统受力平衡时，建立直角坐标系需要满足两个基本方法：
①
在相互垂直的两个力的方向上建立直角坐标系
②
尽可能使多个力落在坐标轴上
建立坐标系如图
一、正交分解的基本步骤
【例1】一个物体从倾角为?
的斜面上匀速下滑，则物块与斜面之间的动摩擦因数为多少？
【答案】?
=
tan?
重力不在坐标轴上，所以分解重力如图
物体匀速下滑，所受合外力为0，则在坐标轴的两个方向上进行书写平衡方程
物体受到滑动摩擦力有
联立上述方程得
解得
一、正交分解的基本步骤
【例1】一个物体从倾角为?
的斜面上匀速下滑，则物块与斜面之间的动摩擦因数为多少？
【答案】?
=
tan?
重力不在坐标轴上，所以分解重力如图
【方法总结】正交分解的基本步骤
①
确定研究对象（单个物体、系统、结点）
②
受力分析
③
建立直角坐标系
④
在两个方向上写平衡方程
一、正交分解的基本步骤
【练习1】下面的物体在外力F的作用下均做匀速直线运动，运动方向如图所示，已知物体质量为m，斜面倾角为θ，物体与斜面之间的滑动摩擦因数为μ，重力加速度为g，写出对应的平衡方程。
对以上物体受力分析并正交分解
F
=
mgsinθ
+
μmgcosθ
F
+
μmgcosθ
=
mgsinθ
一、正交分解的基本步骤
【练习1】下面的物体在外力F的作用下均做匀速直线运动，运动方向如图所示，已知物体质量为m，斜面倾角为θ，物体与斜面之间的滑动摩擦因数为μ，重力加速度为g，写出对应的平衡方程。
对以上物体受力分析并正交分解
Fcosθ
=
mgsinθ
+
μ(mgcosθ
+
Fsinθ)
Fcosθ
+
μ(mgcosθ
+
Fsinθ)
=
mgsinθ
一、正交分解的基本步骤
【练习2】（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示．如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是（　　）
A．砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tanα
=
μ
D．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sinα
=
μ
【答案】AC
【解析】
把所有砂子看成一个整体，对整体受力分析，由水平方向合力为零可得，砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零，与形状无关，故A正确，B错误；取斜面上的一粒质量为m的砂子为研究对象，若砂子恰好平衡，则倾角α最大，砂子受力平衡，根据平衡条件得mgsinα
=
μmgcosα，得tanα
=
μ，故C正确，D错误。
二、结点处的正交分解
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2
=
60kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ
=
0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
二、结点处的正交分解
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
【解析】
(1)以结点O为研究对象，受三段轻绳的拉力作用，且竖直绳上的拉力大小等于m1g，如图
根据共点力平衡条件有
联立以上两式解得
二、结点处的正交分解
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有
方向水平向左
二、结点处的正交分解
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(3)若人的质量m2
=
60kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ
=
0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有
要使人不滑动，需满足
联立以上各式解得
二、结点处的正交分解
【答案】C
二、结点处的正交分解
【答案】C
根据几何关系可知
正交分解得
解得
二、结点处的正交分解
【练习4】（多选）如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A．只增加两个定滑轮的间距
B．只增加重物的重量
C．只将手指向下移动
D．只将手指向上移动
【答案】BC
【解析】
同一根绳上的力大小处处相等，在动滑轮结点处受力分析如图所示
在竖直方向
只增加两个定滑轮的间距，夹角θ增大，F减小，A错误；只增加重物的重量，F增大，B正确；只将手指向下移动，θ减小，F增大，反之θ增大，F减小，C正确，D错误。
二、结点处的正交分解
【练习5】如图所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ。当竖直向下的力F作用在铰链上时，求：
(1)沿OA、OB方向杆受的压力是多大。
(2)滑块间细线的张力有多大。
【解析】
(1)根据力F作用在O点产生的效果，可把力F分解为沿OA、OB的力F1、F2，如图甲所示。可知
(2)对左边滑块受力分析如图乙所示。由平衡条件得
三、整体法与隔离法中的正交分解
【例3】如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B。现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止。求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力。
【解析】
(1)取小球为研究对象进行受力分析如图
由平衡条件得
联立解得
三、整体法与隔离法中的正交分解
【例3】如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B。现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止。求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力。
(2)取A、B组成的系统为研究对象受力分析如图
可知
三、整体法与隔离法中的正交分解
【练习6】如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA
=
10
kg、mB
=
20
kg，A、B之间及B与地面之间的动摩擦因数均为μ
=
0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小。（sin
37°
=
0.6，cos
37°
=
0.8，取g
=
10
m/s2）
【答案】160
N
【解析】分析A、B的受力如图所示，建立直角坐标系
三、整体法与隔离法中的正交分解
【练习7】叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则（　　）
【答案】C
将四个球看做一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，设其中一个球受到的支持力大小为FN，因此
选项C正确。最上面的球对下面三个球肯定有压力，即有弹力，选项A错误。以下方三个球中任意一个球为研究对象，受力如图所示
由此可知选项B错误；由于地面与球之间的摩擦力为静摩擦力，因此不能通过Ff
=
μFN求解，选项D错误。
四、摩擦角与全反力
摩擦角的大小为
全反力的大小可表示为
四、摩擦角与全反力
【例4】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
【答案】C
【解析】
①当拉力水平时，受力分析如图
将摩擦力f和FN两个力合成为全反力FR，重新受力分析如图
四、摩擦角与全反力
【例4】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
【答案】C
根据力的合成可知
根据几何关系可知
保持F的大小不变，方向与水平面成60°角，根据力的合成可知
根据几何关系可知
四、摩擦角与全反力
【练习8】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使物块做匀速直线运动，求F的最小值。
【解析】
对物体受力分析如图
将滑动摩擦力f和支持力N合成为全反力如图，其中
根据力的合成可知F与FR垂直时，F有最小值
可知
四、摩擦角与全反力
【练习8】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使物块做匀速直线运动，求F的最小值。
将滑动摩擦力f和支持力N合成为全反力如图，其中
根据力的合成可知F与FR垂直时，F有最小值
可知
因为，根据三角形可知
最小值为
四、摩擦角与全反力
【练习9】一物体质量为m，置于倾角为θ的斜面上，图所示，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
【可用】
【解析】
对斜面上的物块做受力分析，将斜面对物块的滑动摩擦力和支持力合成为全反力FR如图，其中α为摩擦角
物块做匀速运动，将物体所受三个力合成，当F与FR垂直时，有最小值
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共点力平衡之正交分解综合复习
正交分解，共点力力平衡中具有非常重的地位，也是解决共点力平衡问题最基础实用的方法，不仅能够提高受力分析能力，同时也对力的矢量性有更深刻的认识。
正交分解的重要步骤之一就是建立直角坐标系，将原本不在坐标系上的作用力进行分解，这样所有的力均分在了两个坐标轴上，为书写方程提供了简便。
同时，我们在本节内容中也将拓展摩擦角和全反力的概念，一方面增加对力的合成与分解的认识，另一方面更深入的理解滑动摩擦力。
【例1】一个物体从倾角为
的斜面上匀速下滑，则物块与斜面之间的动摩擦因数为多少？
【练习1】下面的物体在外力F的作用下均做匀速直线运动，运动方向如图所示，已知物体质量为m，斜面倾角为θ，物体与斜面之间的滑动摩擦因数为μ，重力加速度为g，写出对应的平衡方程。
【练习2】（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示．如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是（　　）
A．砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tanα
=
μ
D．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sinα
=
μ
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°
=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2
=
60kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ
=
0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【练习3】如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac
=
，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为l，则两重物的质量的比值为（　　）
A.
B．2
C.
D.
【练习4】（多选）如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A．只增加两个定滑轮的间距
B．只增加重物的重量
C．只将手指向下移动
D．只将手指向上移动
【练习5】如图所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ。当竖直向下的力F作用在铰链上时，求：
(1)沿OA、OB方向杆受的压力是多大。
(2)滑块间细线的张力有多大。
【例3】如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B。现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止。求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力。
【练习6】如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA
=
10
kg、mB
=
20
kg，A、B之间及B与地面之间的动摩擦因数均为μ
=
0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小。（sin
37°
=
0.6，cos
37°
=
0.8，取g
=
10
m/s2）
【练习7】叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则（　　）
A.上方球与下方三个球间均没有弹力
B.下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C.水平地面对下方三个球的支持力均为mg
D.水平地面对下方三个球的摩擦力均为μmg
【摩擦角与全反力】
摩擦角指的是，物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）Ff
=
μFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力FR，这个力我们称之为全反力。可知全反力FR与支持力FN的方向成角，而这个角就称之为摩擦角。
摩擦角的大小为
全反力的大小可表示为
【例4】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【练习8】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使物块做匀速直线运动，求F的最小值。
【练习9】一物体质量为m，置于倾角为θ的斜面上，图所示，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
【可用】
共点力平衡之正交分解综合复习
正交分解，共点力力平衡中具有非常重的地位，也是解决共点力平衡问题最基础实用的方法，不仅能够提高受力分析能力，同时也对力的矢量性有更深刻的认识。
正交分解的重要步骤之一就是建立直角坐标系，将原本不在坐标系上的作用力进行分解，这样所有的力均分在了两个坐标轴上，为书写方程提供了简便。
同时，我们在本节内容中也将拓展摩擦角和全反力的概念，一方面增加对力的合成与分解的认识，另一方面更深入的理解滑动摩擦力。
【例1】一个物体从倾角为
的斜面上匀速下滑，则物块与斜面之间的动摩擦因数为多少？
【答案】
=
tan
【解析】
对物体进行受力分析如图
建立直角坐标系，物体或系统受力平衡时，建立直角坐标系需要满足两个基本方法：
①
在相互垂直的两个力的方向上建立直角坐标系
②
尽可能使多个力落在坐标轴上
建立坐标系如图
重力不在坐标轴上，所以分解重力如图
物体匀速下滑，所受合外力为0，则在坐标轴的两个方向上进行书写平衡方程
mgsin
=
f
FN
=
mgcos
物体受到滑动摩擦力有
f
=
μFN
联立上述方程得
mgsin
=
μmgcos
解得
=
tan
【方法总结】正交分解的基本步骤
①
确定研究对象（单个物体、系统、结点）
②
受力分析
③
建立直角坐标系
④
在两个方向上写平衡方程
【练习1】下面的物体在外力F的作用下均做匀速直线运动，运动方向如图所示，已知物体质量为m，斜面倾角为θ，物体与斜面之间的滑动摩擦因数为μ，重力加速度为g，写出对应的平衡方程。
【答案】见解析
对以上物体受力分析并正交分解
F
=
mgsinθ
+
μmgcosθ
F
+
μmgcosθ
=
mgsinθ
Fcosθ
=
mgsinθ
+
μ(mgcosθ
+
Fsinθ)
Fcosθ
+
μ(mgcosθ
+
Fsinθ)
=
mgsinθ
【练习2】（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示．如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是（　　）
A．砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tanα
=
μ
D．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sinα
=
μ
【答案】AC
【解析】
把所有砂子看成一个整体，对整体受力分析，由水平方向合力为零可得，砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零，与形状无关，故A正确，B错误；取斜面上的一粒质量为m的砂子为研究对象，若砂子恰好平衡，则倾角α最大，砂子受力平衡，根据平衡条件得mgsinα
=
μmgcosα，得tanα
=
μ，故C正确，D错误。
【例2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ
=
37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin
37°
=
0.6，cos
37°
=
0.8，g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2
=
60kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ
=
0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【答案】(1)m1g，m1g；(2)m1g，方向水平向左；(3)24kg
【解析】
(1)以结点O为研究对象，受三段轻绳的拉力作用，且竖直绳上的拉力大小等于m1g，如图
根据共点力平衡条件有
FOB－FOAsin
θ
=
0
FOAcos
θ－m1g
=
0
联立以上两式解得
FOA
=
=
m1g
FOB
=
m1gtan
θ
=
m1g
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有
Ff
=
FOB
=
m1g
方向水平向左
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有
FN
=
m2g
要使人不滑动，需满足
Ff
≤
Ffm
=
μFN
联立以上各式解得
m1
≤
μm2
=
24kg
【练习3】如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac
=
，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为l，则两重物的质量的比值为（　　）
A.
B．2
C.
D.
【答案】C
【解析】
将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，在结点c受力分析如图所示
根据几何关系可知
则
m1g·sin
θ
=
m2g
解得
=
选项C正确。
【练习4】（多选）如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A．只增加两个定滑轮的间距
B．只增加重物的重量
C．只将手指向下移动
D．只将手指向上移动
【答案】BC
【解析】
同一根绳上的力大小处处相等，在动滑轮结点处受力分析如图所示
在竖直方向
只增加两个定滑轮的间距，夹角θ增大，F减小，A错误；只增加重物的重量，F增大，B正确；只将手指向下移动，θ减小，F增大，反之θ增大，F减小，C正确，D错误。
【练习5】如图所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ。当竖直向下的力F作用在铰链上时，求：
(1)沿OA、OB方向杆受的压力是多大。
(2)滑块间细线的张力有多大。
【答案】(1)均为；(2)tan
【解析】
(1)根据力F作用在O点产生的效果，可把力F分解为沿OA、OB的力F1、F2，如图甲所示。由对称性可知
F1
=
F2
=
(2)对左边滑块受力分析如图乙所示。由平衡条件得
FT
=
F1·sin
=
tan
【例3】如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B。现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止。求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力。
【答案】(1)mg；(2)2mg；(3)mg，方向水平向
【解析】
(1)取小球为研究对象进行受力分析如图
由平衡条件得
FTsin
37°
=
F
FTcos
37°
=
mg
联立解得
F
=
mg
(2)取A、B组成的系统为研究对象受力分析如图
可知
FN
=
2mg，Ff
=
F
(3)环受到的摩擦力大小为mg，方向水平向左。
【练习6】如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA
=
10
kg、mB
=
20
kg，A、B之间及B与地面之间的动摩擦因数均为μ
=
0.5。一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小。（sin
37°
=
0.6，cos
37°
=
0.8，取g
=
10
m/s2）
【答案】160
N
【解析】
分析A、B的受力如图所示，建立直角坐标系
由题意知，A始终静止，故在x轴方向上有
FTsin
37°
=
Ff1
在y轴方向上有
FTcos
37°＋FN1
=
mAg
而Ff1
=
μFN1，联立以上几式可得
FN1
=
60
N，Ff1
=
30
N
B匀速运动，则在x轴方向上有
F
=
Ff1′＋Ff2
又Ff1′
=
Ff1，在y轴方向上有
FN2
=
FN1′＋mBg
又Ff2
=
μFN2，由以上几式解得
F
=
160
N
【练习7】叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则（　　）
A.上方球与下方三个球间均没有弹力
B.下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C.水平地面对下方三个球的支持力均为mg
D.水平地面对下方三个球的摩擦力均为μmg
【答案】C
【解析】
将四个球看做一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，设其中一个球受到的支持力大小为FN，因此
3FN
=
4mg
选项C正确。最上面的球对下面三个球肯定有压力，即有弹力，选项A错误。以下方三个球中任意一个球为研究对象，受力如图所示
由此可知选项B错误；由于地面与球之间的摩擦力为静摩擦力，因此不能通过Ff
=
μFN求解，选项D错误。
【摩擦角与全反力】
摩擦角指的是，物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）Ff
=
μFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力FR，这个力我们称之为全反力。可知全反力FR与支持力FN的方向成角，而这个角就称之为摩擦角。
摩擦角的大小为
全反力的大小可表示为
【例4】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
①当拉力水平时，受力分析如图
将摩擦力f和FN两个力合成为全反力FR，重新受力分析如图
根据力的合成可知
根据几何关系可知
保持F的大小不变，方向与水平面成60°角，根据力的合成可知
根据几何关系可知
C正确。
【练习8】在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使物块做匀速直线运动，求F的最小值。
【答案】
【解析】
对物体受力分析如图
将滑动摩擦力f和支持力N合成为全反力如图，其中
根据力的合成可知F与FR垂直时，F有最小值
可知
因为，根据三角形可知
则
最小值为
【练习9】一物体质量为m，置于倾角为θ的斜面上，图所示，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
【可用】
【答案】
【解析】
对斜面上的物块做受力分析，将斜面对物块的滑动摩擦力和支持力合成为全反力FR如图，其中α为摩擦角
物块做匀速运动，将物体所受三个力合成，当F与FR垂直时，有最小值
根据三角函数可知
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