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12.3
角的平分线的性质
12.3
第1课时
角的平分线的性质
一、选择题
1.
用尺规作已知角的平分线的理论依据是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．ASA
2.
如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE　
　B、OD＝OE　
　C、∠DPO＝∠EPO　
　D、PD＝OD
3.
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
4.
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）
A.
4㎝　
　B.
6㎝　
　C.
10㎝　
　D.
不能确定
第2题图
第3题图
第4题图
5.如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（
）
A.
B.平分
C.
D.垂直平分
6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．
S△ABC
=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）
　
A．
4
B．
3
C．
6
D．
5
第5题图
第6题图
第7题图
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）
A、11
B、5.5
C、7
D、3.5
8.已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（
）
（A）2cm、2cm、2cm．
（B）3cm、3cm、3cm．
（C）4cm、4cm、4cm．
（D）2cm、3cm、5cm．
二、填空题
9．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）
.
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2
cm，则点D到BC的距离为________cm．
11
.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为　
　．
第9题图
第10题图
第11题图
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　
　．
第12题图
第13题图
第15题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为　
　．
14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=　
　．
15.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是　
　．
16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为　
　．
17.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为　
　．
第16题图
第17题图
第18题图
18.
如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO
=　
　．
三、解答题
19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
20.
如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
21.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
22.
如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．
23.
如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，
EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．求证：BF=CG．
12.3
角的平分线的性质
第1课时
角的平分线的性质
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.A
二、填空题
9.
PC=PD（答案不唯一）
10.
2
11.
3
12.
15
13.
4
14.
10
15.
AD垂直平分EF
16.
5
17.
4
18.
4：5：6
三、解答题
19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C．
20.
解：PE=PF，
理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
则∠PME=∠PNF=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中
∴△PEM≌△PFN，
∴PE=PF．
21.（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=114°，
∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°
（2）证明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，
∵，
∴△ACN≌△MCN．
22
.
解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，
∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，
∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，
∵在Rt△BAE和Rt△BDE中
，
∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，
∵AB=AC，∠A=90°
∴∠C=45°，
∴∠CED=45°=∠C，
∴DE=CD，
∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，
∴BC=BD+DC=BA+AE．
23.
证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB
EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE
（HL），
∴BF=CG

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