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抛物线与一元二次方程联合解题的常用方法
摘要：
二次函数是初中数学教学的重要内容，也是中考的重要考点.特别是抛物线与x轴的交点问题，与直线相交问题是考点的特色之一，它包含了常规的解析式确定，点的坐标确定，更是涵盖了坐标的最值，点的存在性等热点问题，特别是在解答时，充分把问题转化为一元二次方程的判别式或根与系数关系定理来求解的思路更是把数学的转化思想提升到了极致.
关键词：交点，最值，根与系数定理，转化思想.
二次函数是一个重要内容,二次函数与相应的一元二次方程的关系更是重中之重.中考要求学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系;会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与轴的交点情况;会利用韦达定理解决有关二次函数的问题.[1]下面就谈谈抛物线与一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理解题技巧，供学习时借鉴.
一、把直线与抛物线的交点转化为根的判别式型
例1（2018?黄冈）已知直线
y=kx+1与抛物线y=﹣4x．
（1）求证：直线与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．
分析：（1）联立两解析式，化方程组为一元二次方程，借助一元二次方程根的判别式解答；
（2）根据题意正确画出图象，利用方程组的解求得A、B的坐标，再求出直线y=﹣2x+1与x轴的交点C，然后利用分割法求得三角形的面积．
解：（1）由题意，得，化简，得﹣（k+4）x-1=0,因为△=+4＞0，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以直线与该抛物线总有两个交点；
（2）
解法1：当k=﹣2时，所以y=﹣2x+1，由题意，得，
解得或，所以A(1-,2-1),B(1+,-2-1).
如图1，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，所以AF=2﹣1，BE=1+2
易得：直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为（，0），所以OC=，
所以=+=OC?AF+OC?BE
=OC（AF+BE）=××（2﹣1+1+2）=.
解法2：如图2，设A(,),B(,),当k=﹣2时，所以y=﹣2x+1，由题意，得，化简，得﹣2x-1=0,所以，是一元二次方程﹣2x-1=0的两个根，
所以+=2，=-1，所以｜-｜==2
如图2，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，所以EF=2,
易得：直线y=﹣2x+1与y轴的交点C为（0，1），所以OC=1，
所以=+=OC?OF+OC?OE
=OC（OF+OE）=OC×EF=×1×2=.
　点评:方法1是以几何法为主体加以求解,解法2是几何法与根与系数关系定理综合运用为主体,两中方法各有千秋,方法1计算量大,方法2技巧性强，都要重视.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式.[2]
二、抛物线与x轴有唯一交点型
2.1
抛物线与x轴交点唯一，求交点横坐标的最值
例2
已知抛物线y=+bx+c与x轴只有一个公共点，且直线y=kx-1（k≠0）过抛物线的顶点M.
（1）当b=1时，求k的值；
（2）求证：直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记作为N，若b＞0时，求点N横坐标P的最大值.
分析：由抛物线与x轴只有一个公共点，确定顶点坐标得纵坐标为0，即-4c=0，顶点坐标为（-，0），这样第一问即可破解.
第二问证明需要把问题转化为解析式联立化简后一元二次方程根的判别式问题，只要对应的方程的根的判别式恒大于零，问题就顺利得解.
第三问求最值，由（2）的启示，可以将问题转化为一元二次方程根与系数关系定理问题，用b表示出点N的横坐标p，从而借助根的判别式求出其最值.
解：
（1）：由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4c=0，顶点坐标为（-，0），
所以0=-k×-1,所以k=-，所以当b=1时，k=-2；
（2）由题意，得，化简，得+（b-k）x+c+1=0,
因为△=-4c-4=-2bk+-4c-4＞0，因为-4c=0,kb=-2,所以△=，因为k≠0，
所以△=＞0，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以直线与该抛物线总有两个交点；
（3）由题意，得，化简，得+（b-k）x+c+1=0,
根据题意，得，-，p是一元二次方程+（b-k）x+c+1=0的两个根，
所以-+p=k-b，所以p=k-,因为k=-,所以p=--，
因为b＞0，所以+≥2≥2，所以-（+）≤-2，所以p≤-2，
所以p的最大值为-2.
例3
已知抛物线y=a+bx+(a＞0，b＜0)的图像与x轴只有一个公共点A.
（1）当a=时，求A点的坐标；
（2）过点A的直线y=x+k与二次函数的图像交另一点B，当b≥-1时，求B点的横坐标m的取值范围.
分析：第一问：根据二次函数图像与x轴只有一个公共点，说明抛物线顶点的纵坐标为0，即=0，从而确定a,b之间的关系，根据条件确定a,b的值，点A的坐标也就确定了.
第二问：充分利用交点的意义，把方程组转化为一元二次方程，利用交点的横坐标是方程的两个根，借助根与系数关系定理用b表示出点B的横坐标m，利用二次函数的增减性确定m的最值.
解：
（1）：由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4×a×=0，所以=2a，因为a=，
b＜0，所以b=-1，所以x=-=-=1,所以点A（1,0）；
（2）由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4×a×=0，所以=2a，
x=-=-,所以点A（-,0）.因为
点A在直线y=x+k上，所以k=，
由题意，得，化简，得+（b-1）x+-=0,
根据题意，得，-，m是一元二次方程+（b-1）x+-=0的两个根，
所以-+m=，所以m
=-=2-,因为二次项系数为2，大于0，所以当＜时，m随的增大而减小，因为-1≤b＜0，所以≤-1，
所以当=-1时，m有最大值，且最大值为m=2-=3，所以m的最大值为3.
点评：解答时，要把握好两个重点，一个是把交点问题转化为一元二次方程，利用交点的横坐标是方程的两个根，借助根与系数关系定理求解；二一个是把最值转化为二次函数的增减性也是解题的一个重要环节.
2.2抛物线与x轴交点唯一，求对称点的纵坐标
例4
若抛物线y=+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=______．
分析：由题意，得m,m+6是方程+bx+c=n的两个根，且两根之间的距离为6，利用根与系数的关系定理和公式可以求得n的值.
解法1：由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4c=0，因为点A（m，n），B（m+6，n），
所以m，m+6是一元二次方程+bx+c=n的两个根，所以m+m+6=-b,m(m+6)=c-n，
所以=-4
m(m+6)，所以36=-4（c-n）=-4c+4n,
解得n=9.
解法2：由抛物线与x轴只有一个公共点，点A（m，n），B（m+6，n），所以抛物线的对称轴为直线x==m+3，所以y=+bx+c=,把点A（m，n）代入解析式，得
n==9，所以n=9.
解法3：由抛物线与x轴只有一个公共点，所以-4c=0，顶点坐标为（-，0），
因为点A（m，n），B（m+6，n），所以抛物线的对称轴为直线x==m+3，
所以-=
m+3，所以m=--3,
m+6=-+3,所以点A（--3，n），B（-+3，n）
把点A（--3，n）代入解析式，得n=+b(--3)+c=-+c+9,因为-4c=0
所以n=9.
2.3抛物线与x轴交点唯一，借助中点求函数的解析式
例5
如图3，抛物线y=a+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．
分析：（1）只要确定a的值。二次函数的解析式就确定了，只需把抛物线与x轴的交点问题转化为对应一元二次方程的判别式问题解决即可；
（2）充分利用点C是AB的中点，确定出B点的坐标，从而利用待定系数法可以完成直线解析式的确定.
解：（1）因为y=a+2ax+1与x轴仅有一个公共点，所以△==0，所以﹣4a=0，解得a=0（舍去），a=1，所以抛物线解析式为
y=+2x+1；
（2）因为y=+2x+1，所以x=-=-=-1,所以点A的坐标为（﹣1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，因为点C是线段AB的中点，OC∥BD，所以OA=OD，所以OD=1，
即点B的横坐标为1，所以当x=1时，y=+2x+1=1+2+1=4，所以点B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，
所以直线AB的解析式为y=2x+2．
点评：解答时，要充分发掘两个核心要素，一是把抛物线与x轴的交点唯一性转化为对应一元二次方程的判别式问题；二一个要素是充分利用三角形中位线定理．
2.4抛物线与x轴交点唯一，借助面积关系式求函数的解析式
例6
如图4，二次函数y=+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，
若=3.这个二次函数的解析式．
分析：通过抛物线与x轴有唯一交点，确定b,c之间的关系，后用b或c表示另一个字母，表示直线的解析式，表示直线与抛物线的交点的坐标，表示△ABQ和△BPQ的面积，从而利用三角形面积之间的等量关系确定这个“媒介”字母的值，从而确定函数的解析式.
解：由题意，得-4c=0，顶点P坐标为（-，0），点Q（0，），所以m=，
所以直线的解析式为y=2x+,所以点A（-，0），过点P作PC⊥x轴，交直线于点C，则C(-,)，所以PC=.过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B(m,
2m+),
由题意，得，化简，得+（b-2）x=0,
根据题意，得，0，m是一元二次方程+（b-2）x=0的两个根，所以m=2-b，
所以==××（2-b），
=××，因为=3.
所以××（2-b）=3×××，整理，得3+8b-16=0,
解得
b=或b=-4，因为对称轴在x轴的右边，所以b＜0，所以b=-4，c=4,
所以二次函数的解析式为y==-4x+4.
点评：解答本题的最大特点是如何借助交点坐标表示两个三角形的面积，特别提醒的是这种表示三角形面积的方法是抛物线内接三角形面积[1]求解的重要方法，要努力掌握.
2.5抛物线与x轴交点唯一，借助三角形的形状求函数的解析式
例7
已知二次函数y=+bx+c的图像与x轴只有一个公共点A.
（1）若公共点的坐标为（2,0），求这个二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象与y轴的交点为B，坐标原点为O，且△OAB是等腰三角形，求该二次函数的表达式，并说明它是如何由（1）中的二次函数的图象平移得到的．
分析：第一问可利用设顶点式的方式确定函数的解析式；
第二问，确定等腰三角形的等腰是确定等量关系的关键.
解：
（1）因为抛物线的顶点为（2,0），所以抛物线的解析式为y==-4x+4；
（2）因为二次函数y=+bx+c的图像与x轴只有一个公共点A，所以点A(-,0)，
-4c=0，点B（0，），所以OA=|-|，OB=，因为△OAB是等腰三角形，
所以OA=OB，所以=|-|，当b＞0时，解得b=2；当b＜0时，解得b=-2；
当b=2时，c=1,此时函数的解析式y=+2x+1=，它由y=的图像向左平移3个单位得到；
当b=-2时，c=1,此时函数的解析式y=-2x+1=，它由y=的图像向右平移1个单位得到.
点评：解答时，要注意把点的坐标转化成线段的长度，选择正确的方法用点的坐标表示线段的长度是解题的关键.
三、抛物线与x轴有两个交点型
例8
已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A(α,0)和点B（β,0）,且y=-x-2与y=-的图像都经过点M（α,β）.求b、c的值.
分析：根据题意，（α,β）是y=-x-2与y=-的交点，也就是方程组的解，从而确定α,β的值，根据α,β是一元二次方程+bx+c=0的两个根，这样利用一元二次方程根与系数的关系定理即可确定b,c的值.
解：由题意，得，解得x=-3或x=1,所以交点的坐标为（-3，1）和（1，-3）；
所以α=-3,β=1或α=1,β=-3，
当α=-3,β=1时，因为α,β是一元二次方程+bx+c=0的两个根，所以α+β=-2=-b,
αβ=-3=c，所以b=2,c=-3；
当α=1,β=-3时，因为α,β是一元二次方程+bx+c=0的两个根，所以α+β=-2=-b,
αβ=-3=c，所以b=2,c=-3；
点评：解答时，要正确处理好两个关键点，一是根据函数解析式确定交点坐标；二是把抛物线与x轴两个交点的横坐标转化为当y=0时对应一元二次方程的两个根，充分利用根与系数的关系定理解题.
例9
如图5，已知抛物线y=a＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于点A（,0）,B（,0），顶点M的纵坐标为-4，若,是方程-2（m-1）x＋-7=0的两个根，且=10.
（1）求A,B坐标;
（2）求抛物线的解析式和点C坐标;
（3）在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.
分析：
第一问：充分利用一元二次方程根与系数关系定理和变形公式，就可以确定，的值，自然就确定了A,B两点的坐标了；
第二问：主要利用，是方程a＋bx＋c=0的两个根和顶点的纵坐标就可以确定函数的解析式；
第三问解答的关键是如何用动点P的坐标表示三角形和四边形的面积，从而根据已知的等量关系，确定坐标值的存在性，从而确定动点的存在性.
解：
（1）因为,是方程-2（m-1）x＋-7=0的两个根，
所以+=2（m-1）,=-7,因为，=10，
所以-2（-7）=10，整理，得=0，解得m=2,
所以原方程变形为-2x-3=0，解得=-1，=3，所以点A（-1,0），点B（3,0）；
（2）由题意，得,是方程a+bx＋c=0的两个根，所以2=-，-3=即b=-2a,c=-3a，
因为=-4，所以-12-4=-16a，解得a=0（舍去）或a=1，
所以=1,b=-2,c=-3,所以二次函数的解析式为y=
-2x-3，点C(0,-3)；
（3）由题意，得点A（-1,0），点B（3,0），点C(0,-3)，点M(1,-4)，如图5，设对称轴与x轴的交点为D，则AB=4,OA=1,OC=3,DO=1,MD=4,BD=2,
所以四边形ACMB的面积=OA×OC+（OC+MD）×OD+MD×BD=9,设点P（m,n）,
当点P在x轴上方的抛物线上时，根据题意，得=
AB×n=2n，所以2n=2×9，所以n=9，所以-2m-3=9,解得m=1+或m=1-，
此时点P的坐标为（1+，9）或（1-，9）.
当点P在x轴下方的抛物线上时，根据题意，得=
AB×|n|=-2n，所以-2n=2×9，所以n=-9，所以-2m-3=-9,此时△＜0，所以这样位置的动点P不存在.综上所述，存在点P使得三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍，且点P的坐标为（1+，9）或（1-，9）.
点评：通题解答过程中，可谓是步步离不开一元二次方程，既抓住了韦达定理，更抓住了变形公式，使得解题相得益彰，特别是第三问存在性问题的解答，不仅为解答这类问题提供了有效的方法引领，更重要的是在实践中展示了不规则图形分割法求解的技巧，同时也体现了数学中的分类思想，让数学解题在思想统领下，高效而精准，让数学的魅力熠熠闪光.
四.把直线与抛物线的交点间距离转化为方程两个根之间的距离型
例10
已知抛物线y=a+bx+c图像的对称轴是y轴，且过点（1，2），（2，5）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图6，过点E（0，2）的一次函数图像与二次函数图像交于A,B两点（A点在B点的左侧），过点A,B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D.
①当CD=3时，求一次函数的解析式；
②分别用,,表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使
成立？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
分析：利用交点坐标的横坐标是解析式联立方程组构成的一元二次方程的两个根，且活用变形公式，求得两个根之间的距离，为解题提供了有效思路，
解答第三问时，要合理运用平行线间的距离处处相等，利用同底等高的两个三角形面积相等，把相应的三角形面积表示出来，从而根据题意建立起等量关系确定t值.
解：
（1）因为抛物线的对称轴为y轴，所以b=0，由题意，得，
解得a=1,c=1，所以二次函数的解析式为y=+1；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+2,
点A（,）,B（,），
由题意，得，化简，得﹣kx-1=0,所以,是一元二次方程﹣kx-1=0的两个根，所以+=k，=-1，因为CD=3，所以|-|=3，
因为，所以，解得k=，
所以一次函数的解析式为y=x+2或y=-x
+2；
②连接AO,BO，因为AC∥EO∥BD，△ACE和△ACO的面积相等，△EDB和△ODB的面积相等，
所以=||，=|-|×OE=,|-|,=，
所以=-，由,是一元二次方程﹣kx-1=0的两个根，所以+=k，=-1，所以==+4，
=（+1）（+1）=（+++1）=（++2）=[+2]=
（+4），所以=4，
所以存在实数t=4时，使.
点评：第三问是题目的精髓所在，解答的关键有三，一是充分利用好平行线间等底等高的三角形面积相等表示三角形的面积；二是充分利用函数的解析式把点的纵坐标用横坐标熟练变形表示出来；三是充分利用一元二次方程根与系数关系定理，抓住，，
（+1）（+1）=+++1这三个在学习一元二次方程时经常用到的变形公式.

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