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沪科版九年级数学以几何图形为背景综合题中考题汇编专题
1
一、
选择题
1.
(2019·黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED的值为(　　)
A.
125°
B.
145°
C.
175°
D.
190°
2.
(2019·镇江)如图，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上(点B在点C的左侧)，顶点A，D在x轴上方，对角线BD的长是，E(－2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F(0，6)到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长为(　　)
A.
B.
C.
D.
3
3.
(2019·绵阳)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F，G，连接AC分别交EF，EG于点H，K.若BG＝，∠FEG＝45°，则HK的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.
(2019·广元)如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长至点F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①
BE＝DE；②
CE＋DE＝EF；③
S△DEC＝－；④
＝2－1.其中正确的有(　　)
A.
①②③
B.
①②③④
C.
①②④
D.
①③④
5.
(2019·达州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2，2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①
OA＝BC＝2；②
当点D运动到OA的中点处时，PC2＋PD2＝7；③
在运动过程中，∠CDP是一个定值；④
当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为.其中正确的个数是(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
6.
(2019·绥化)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法：①
当x＝0(即E，A两点重合)时，P点有6个；②
当0＜x＜4－2时，P点最多有9个；③
当P点有8个时，x＝2－2；④
当△PEF是等边三角形时，P点有4个．其中一定正确的是(　　)
A.
①③
B.
①④
C.
②④
D.
②③
二、
填空题
7.
(2019·北京)如图，把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．
8.
(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点(点B除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为________．
9.
(2019·内江)如图，点A，B，C在同一直线上，且AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(涂色部分)的面积分别记作S1，S2，S3.若S1＝，则S2＋S3＝________．
三、
解答题
10.
(2019·株洲)如图，正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG.
(1)
求证：△DOG≌△COE；
(2)
若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．
11.
(2019·青岛)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1
cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1
cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t
s(0解答下列问题：
(1)
当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
(2)
设四边形PEGO的面积为S
cm2，求S与t之间的函数解析式．
(3)
在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)
连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第11题
12.
(2019·宁波)如图，⊙O经过等边三角形ABC的顶点A，C(圆心O在△ABC内)，分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连接DE，BF⊥EC交AE于点F.
(1)
求证：BD＝BE.
(2)
当AF∶EF＝3∶2，AC＝6时，求AE的长．
(3)
设＝x，tan
∠DAE＝y.
①
求y关于x的函数解析式；
②
如图，连接OF，OB.若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
第12题
13.
(2019·北京)如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D.
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)
对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
(2)
在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；
(3)
结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为________cm.
参考答案
一、
C　
A　
B　
A　
D　
B
二、
12　
8　
三、
（1）∵
四边形OEFG与四边形ABCD均为正方形，∴
∠EOG＝∠COD＝90°，GO＝EO，DO＝CO.又∵
∠GOD＋∠DOE＝∠EOC＋∠DOE＝90°，∴
∠GOD＝∠EOC.在△DOG和△COE中，∴
△DOG≌△COE　(2)
如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H，∵
AM＝，DA＝2，∴
DM＝.∵
∠MDB＝45°，∴
MH＝DH＝DM·sin
45°＝，DO＝DA·cos
45°＝.∴
HO＝DO－DH＝－＝.∴
在Rt△MHO中，由勾股定理，得MO＝＝＝.∵
DG⊥BD，MH⊥DO，∴
MH∥DG.∴
△OHM∽△ODG.∴
＝，即＝.∴
GO＝2.∴
正方形OEFG的边长为2
(1)
在Rt△ABC中，∵
∠ACB＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，∴
AC＝＝6(cm)．∵
PE⊥AB，∴
∠EPB＝∠ACB＝90°.又∵
∠B＝∠B，∴
△EPB∽△ACB.∴
＝＝，即＝＝.∵
PB＝t
cm，∴
PE＝t
cm，BE＝t
cm.∴
EC＝
cm.当点E在∠BAC的平分线上时，∵
EP⊥AB，EC⊥AC，∴
PE＝EC.∴
t＝8－t，解得t＝4.∴
当t为4时，点E在∠BAC的平分线上　(2)
如图，过点P作PH⊥AC于点H.易得△APH∽△ABC，∴
＝，即＝.∴
PH＝
cm.∵
OD垂直平分AC，∴
OD∥BC，OC＝OA＝3
cm，∠DOC＝90°.∵
CD∥AB，∴
∠BAC＝∠DCO.∵
∠COD＝∠ACB＝90°，∴
△COD∽△ACB.∴
＝＝，即＝＝.∴
CD＝5
cm，OD＝4
cm.∵
QF∥AC，∴
△DGQ∽△DOC.∴
＝＝，即＝＝.∵
DQ＝t
cm，∴
DG＝t
cm，QG＝t
cm.∵
S四边形PEGO＝S四边形ABCD－S△AOP－S△AOD－S△BPE－S梯形EGDC＝×8×6＋×6×4－×3×－×3×4－×t×t－×3＝－t2＋t＋6.∴
S＝－t2＋t＋6(0存在　∵
－<0，t＝－＝－＝，0<<5，∴
当t＝时，四边形PEGO的面积最大　(4)
存在　∵
OE⊥OQ，∴
∠EOC＋∠QOC＝90°.∵
∠QOC＋∠QOG＝90°，∴
∠EOC＝∠QOG.易得∠OCE＝∠OGQ＝90°，∴
△EOC∽△QOG.∴
＝.∴
＝，解得t1＝，t2＝10(不合题意，舍去)．经检验，t＝是原分式方程的解．∴
当t＝时，OE⊥OQ
(1)
∵
△ABC是等边三角形，∴
∠BAC＝∠C＝60°.∵
∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，∴
∠DEB＝∠D.∴
BD＝BE　(2)
如图，过点A作AG⊥BC于点G.∵
△ABC是等边三角形，AC＝6，∴
BG＝BC＝AC＝3，∠BAG＝30°.∴
在Rt△ABG中，AG＝BG＝3.∵
BF⊥EC，∴
BF∥AG.∴
＝.∵
AF∶EF＝3∶2，∴
EB＝BG＝2.∴
EG＝EB＋BG＝2＋3＝5.∴
在Rt△AEG中，AE＝＝＝2　(3)
①
如图，过点E作EH⊥AD于点H.∵
∠EBD＝∠ABC＝60°，∴
∠BEH＝30°.∴
在Rt△BEH中，BH＝BE，EH＝BE.由(2)，易得＝＝x，∴
BG＝xBE.∴
AB＝BC＝2BG＝2xBE.∴
AH＝AB＋BH＝2xBE＋BE＝BE.∴
在Rt△AHE中，tan
∠DAE＝＝＝.∴
y＝　②
如图，过点O作OM⊥EC于点M.设BE＝a.∵
＝＝x，∴
CG＝BG＝xBE＝ax.∴
EC＝BE＋BG＋CG＝a＋2ax，EG＝BE＋BG＝a＋ax.∴
EM＝EC＝a＋ax.∴
BM＝EM－BE＝ax－a.∵
BF∥AG，∴
△EBF∽△EGA.∴
＝＝＝.∵
AG＝BG＝ax，∴
BF＝·AG＝.∴
△OFB的面积＝＝×·，△AEC的面积＝＝×ax(a＋2ax)．∵
△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，∴
×ax(a＋2ax)＝10××.整理，得2x2－7x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝.∴
y＝或
(1)
AD　
PC　PD　(2)
以AD的长度为自变量，分别以PC，PD的长度为函数，画出的函数图像如图所示　(3)
2.30或4.00(数值附近合理即可)

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