资源简介

第21章
一元二次方程
21.1一元二次方程
1．只含有
一
个未知数，并且未知数的最高次数是
2
，这样的
整式
方程，叫做一元二次方程．判别一个方程是不是一元二次方程，必须满足①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不能为0。
2．一元二次方程的一般形式为：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中
a
为二次项系数，
b
为一次项系数，
c
为常数项，注意各项系数的符号。
21.2.1配方法
1．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“
降次
”，转化为两个
一元一次方程
。
2．当
P≥0时，x2
=
p
的解为
，（mx+n）2=p的解为
(m≠0)．
3．通过配成
完全平方式
来解一元二次方程的方法叫做配方法。
4．配方法一般步骤：
(1)化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上
一次项系数的一半的平方
，使左边配成一个完全平方式，写成
(mx+n)2=p
的形式；
(3)若p
≥
0，则可直接开平方求出方程的解，若p
＜
0，则方程无解．
21.2.2公式法
1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)成立的条件是
a≠0
，它的求根公式是
。
2．用公式法解一元二次方程的思路应是：
(1)将方程化成
一般形式
；
(2)写出相应的a、b、c的值并计算△的值；(3)当△
≥0
时，可直接套用公式得出方程的解。
3．一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)当
b2-4ac＞0
时，有两个不相等的实数根；
(2)当
b2-4ac=
0
时，有两个相等的实数根；
(3)当
b2-4ac＜0
时，没有实数根。
21.2.3因式分解法
1．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个
一元一次方程
，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
2．用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)方程的一边化为0；
(2)将方程另一边分解成
两个一次因式的积
的形式；
(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1．如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1+x2=
，x1x2=
．
2．在应用根与系数关系式时应注意两个条件：
(l)
二次项系数不为0
。
(2)
△≥0
。
21.3实际问题与一元二次方程
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，明确问题中的已知量和
未知量
；
(2)设：设未知数，可以直接设也可以
间接设
；
(3)列：依题意构建方程；
(4)解方程，求出未知数的值；
(5)检验作答．
2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合
实际意义
。
3．面积问题：求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。
4．利润=（
售价
-
进价
）×
销售量
。
利润率=
第22章
二次函数
22.1.1二次函数
一般地，形如_
y=ax2+bx+c(a≠0)
_（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中__x_是自变量，a、b、c分别是函数解析式的_二次__项系数、_一次__项系数、常数__项。
22.1.2二次函数y=ax2图象和性质
1．二次函数y=
ax2
的图象是一条
抛物线
，其对称轴为
y
轴，顶点坐标为
原点
。
2．抛物线y=
ax2
与y=
-
ax2
关于
x
轴对称。抛物线y=
ax2
，当a>0时，开口向
上
，顶点是它的最
低
点；当a<0时，开口向
下
，顶点是它的最
高
点。
随着的增大，开口越来越
小
。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质
1．二次函数y=
ax2+k
的图象是一条
抛物线
．它与抛物线y=
ax2的
形状
相同，只是
顶点位置
不同，它的对称轴为
y
轴，顶点坐标为
(0,
k)
__。
2．二次函数y=
ax2+k
的图象可由抛物线y=
ax2
平移
得到．当k
>0时，抛物线y=
ax2
向上平移
k
个单位得y=
ax2+k。
当k<0时，抛物线y=
ax2
向__下__平移个单位得y=
ax2+k
。
22.1.3二次函数y=a（x-h）2的图像和性质
1．二次函数y=
a（x-h）2
的图象是
抛物线
，它与抛物线y=
ax2的
形状
相同，只是
位置
不同；它的对称轴为直线
x=h
，
顶点坐标为
(h,0)
．
2．二次函数y=
a（x-h）2的图象可由抛物线y=
ax2
平移
得到。当h>0时，抛物线y=
ax2向
右
平移h个单位得y=
a（x-h）2；当h<0时，抛物线y=
ax2向
左
平移个单位得y=
a（x-h）2
。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
1．二次函数y=a（x-h）2+k的图象是
抛物线
，它与抛物线y=
ax2的
形状
相同，只是
位置
不同；其对称轴为直线
x=h
，顶点坐标为__(h,
k)
。
2．二次函数y=a（x-h）2+k，当a>0时，开口向
上
，有最
小
值为
k
，在对称轴的左侧，y随x的增大而
减少
，右侧相反；当a
<0时，恰好相反。
3．把抛物线y=
ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到抛物线y=a（x-h）2+k，其平移方向和距离由
h
，k
值决定．
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1．二次函数y
=ax2
+bx
+c(a≠0)通过配方可化为
的形式，它的对称轴是
，顶点坐标是
，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而
减小
，在对称轴右侧y随x的增大而
增大
；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而
增大
，在对称轴的右侧y随x的增大而___减小_。
2．二次函数y
=ax2+bx+c的图象与y=
ax2的图象
形状相同
，只是
位置
不同；y
=ax2+bx+c的图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。
3．
一般式y
=ax2+bx+c：已知图象上
任意三
点坐标或
三
对x、y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式。
4．顶点式y=a（x-h）2+k：已知抛物线
顶点
坐标和另
一
点坐标，可求得解析式。
5．交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是图象与x轴两交点的横坐标，还需要一个异于交点的点的坐标，适合此特点的抛物线设为交点式可求得解析式。
22.2二次函数与一元二次方程
1．一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y
=ax2+bx+c，当
y=0
时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的
横坐标
。
2．抛物线y
=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2
-4ac<0时，抛物线与x轴
无
交点；当b2
-4ac
=0时，抛物线与x轴有
一
个交点（即顶点在x轴上）；当b2
-4ac
>0时，抛物线与x轴有
两
个交点。
3．抛物线y
=ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之间的关系：
(1)当a>0时开口
向上
，当a<0时开口
向下
。
(2)若对称轴在y轴的左边，则a、b
同号
；若对称轴在y轴的右边，则a、b
异号
；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c
＞
0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c
＜
0；若抛物线经过原点，则c
=
0。
22.3实际问题与二次函数
1．求二次函数y
=ax2+bx+c
最值的方法：
(1)用配方法将y
=ax2+bx+c
化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x=
h
时，函数y有最大（小）值为
k
；
(2)用公式法，当x=
时，二次函数y有最大（小）值
2．面积最值问题应设图形的一边长为
自变量
，所求面积为因变量，建立
二次函数
模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的
取值范围
。
3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的
平面直角坐标系
；
(2)把已知条件转化为
点的坐标
；
(3)合理设出函数
解析式
；
(4)利用
待定系数
法求出函数解析式；
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
第23章
旋转
23.1图形的旋转
１．图形旋转的定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的
旋转
，点O叫作
旋转中心
，转动的角度叫作
旋转角
。
2．图形旋转的性质：
(l)对应点到旋转中心的距离
相等
；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角
；
(3)旋转前后的图形
全等(或重合)
。
3．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解
旋转中心
、
旋转方向
和
旋转角
。
4．旋转作图的步骤：
(1)首先确定
旋转中心
、旋转方向和
旋转角
；
(2)其次确定图形的关键点；
(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；
(4)连接
对应点
，形成相应的图形。
23.2.1中心对称
1．把一个图形绕着点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于点O
对称
或
中心对称
，点O叫作
对称中心
，这两个图形中的对应点叫作关于中心的
对称点
。
2．中心对称的两个图形，对称点的连线都经过
对称中心
，而且被
对称中心
平分，中心对称的两个图形是
全等图形
。
23.2.2中心对称图形
1．把一个图形绕着某一个点旋转
180°
，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合
，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的
对称中心
。
2．如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是
中心对称图形
；反过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成
中心对称
。
23.2.3关于原点对称的点的坐标
1．若P(x，y)与P’关于原点对称，则P’的坐标为
(-x，-y)
；
2．点P(x，y)，P1(
-
x，y)，P2(x，-
y)，P3(
-
x，-
y)．则点P与点P1的关系是
关于y轴对称，点P与点P2的关系是
关于x轴对称
，点P与点P3的关系是
关于原点对称
。
第24章
圆
24.1.1圆
1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周
，
另一端点
所形成的图形叫作圆。这个固定的端点O叫作
圆心
，线段OA叫做
半径
。
2．连接圆上任意两点间的线段叫作
弦
，圆上任意两点间的部分叫作
弧
，直径是经过同圆心的弦，是圆中最长的弦。
3．在同圆或等圆中，能够
互相重合
的弧叫等弧．
4．确定一个圆有两个要素，一是
圆心
，二是
半径
，圆心确定
位置
，半径确定
大小
。
24.1.2垂直于弦的直径
1．圆是
轴
对称图形，它的对称轴是
经过圆心
的直线；圆又是
中心
对称图形，它的对称中心是
圆心
。
2．垂直于弦的直径的性质定理是
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
。
3．平分弦（不是直径）的直径
垂直
于弦，并且平分
弦所对的两条弧
。
24.1.3弧、弦、圆心角
1．顶点在
圆心
的角叫作圆心角．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等
，所对的弦
相等
；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也
相等
。
24.1.4圆周角
1．顶点在
圆周上
，并且
两边都与圆相交
的角叫作圆周角．
2．在同圆或
等圆
中，同弧或
等弧
所对的圆周角
相等
，都等于这条弧所对的
圆心角
的一半。
3．半圆（或
直径
）所对的圆周角是
直角
；90°的圆周角所对的弦是
直径
。
4．如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作
圆内接多边形
，这个圆叫作
多边形的外接圆
圆内接四边形对角
互补
。
24.2.1点和圆的位置关系
1．如图，⊙O的半径为r．
(1)点d在⊙O外，则OA
＞
r；点B在⊙O上，则OB
=
r；点C在⊙O内，则OC
＜__
r。
(2)若OA>r，则点d在⊙O
外
；若OB
=r，则点B在⊙O
上
；若OC内
。
2．在同一平面内，经过一个点能作
无数
个圆；经过两个点可
作
无数
个圆，经过
不在同一直线上
的三个点只能作一个圆。
3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是
三边垂直平分线的交点
。
4．反证法首先假设命题的
结论
不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设
错误
，从而得到原命题成立。
24.2.2直线和圆的位置关系
1．直线和圆有
相交
、
相切
、
相离
三种位置关系；
2．直线a与⊙O
有唯一
公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O
有两个
公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O
没有
公共点，则直线c与⊙O相离。
3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：
(1)直线l1与⊙O
相离
，则d
＞
r；
(2)直线l2与⊙O
相切
，则d
=
r；
(3)直线l3与⊙O
相交
，则d
＜
r。
4．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。
5．切线的性质定理：圆的切线
垂直于经过切点的半径
。
6．经过
圆外
一点作圆的切线，这点和切点之间
线段
的长，叫作这点到圆的切线长。
7．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的
两
条切线，它们的切线长
相等
，这一点和圆心的连线
平分
两条切线的夹角。
8．与三角形各边都
相切
的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的
内
心，它是三角形
三内角平分线
的交点。
＊圆和圆的位置关系
在同一平面内，两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系：
如果两圆的半径分别为r1和r2（r1＜r2），圆心距为d，则:当两圆外离时_d＞r1+r2
；当两圆外切时__d=r1+r2__；当两圆相交时r2-r1＜d＜r1+r2_；当两圆内切时_d=r2-r1；当两圆内含时_0≤d＜r2-r1
。
24.3正多边形和圆
1．__各边相等__、__各角相等__
的多边形是正多边形。
2．只要把一个圆分成
相等
的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的
外接
圆。
3．一个正多边形的外接圆的
圆心
叫作这个正多边形的中心，外接圆的
半径
叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的
圆心角
叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
边心距
。
4．
一股地，正n边形的一个内角的度数为
，中心角的度数等于
，正多边形的中心角与外角的大小
相等
。
24.4弧长和扇形面积
1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=
，所以n°的同心角所对的弧长为l
=
。
2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s=
，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
。
3．用弧长表示扇形面积为
，其中l为扇形弧长，R为半径。
4．圆锥是由一个
底
面和一个
侧
面围成的，我们把连接圆锥
顶
点和底面圆周上
任意
一点的线段叫作圆锥的母线。
5．圆锥的侧面展开图是一个
扇
形，圆锥的母线是扇形的
半径
，圆锥底面圆的周长是扇形的
弧长
，圆锥侧面积是扇形的
面积
。
6．如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径是
l
，扇形的弧长是
2πr
，因此圆锥的侧面积为
πrl
，h、r、l之问满是的关系式为。
第25章
概率初步
25.1.1随机事件
１．在一定条件下，有些事件　必然　
会发生，这样的事件称为必然事件。
2．在一定条件下，有些事件必然
　不会　
发生，这样的事件称为不可能事件。
3．在一定条件下，可能
　发生　
也可能
　不发生　
的事件，称为随机事件。
4．生活中的事件可分为
确定性
事件和
随机
事件，其中确定性事件又分为
必然
事件和
不可能
事件。
25.1.2概率
1．一般地,对于一个随机事件A，我们把刻画其发生_可能性大小_的数值,称为随机事件A发生的概率,记为__P(A)__.
2．当试验具有以下特点时：①每次试验，可能出现的结果只有__有限__个；②每次试验，各结果出现的可能性__相等__。可以从事件所包含的___各种可能
的结果数在__全部可能的结果数中所占的_比__，分析出事件发生的概率。
3．一般地，如果在一次试验中，有_
n
_种可能的结果，并且它们发生的可能性都__相等__，事件A包含其中的_m_种结果，那么事件A发生的概率为
。
4．当A为必然事件时，P（A）=_1_；当A为不可能事件时，P（A）=_0_；当A为随机事件时，_0_25.2用列举法求概率
1．古典概率：即一个实验有n个结果，而事件A包含了其中的rn个结果，则P(A)=
。
2．用古典概率定义求概率，必须具备两个条件：
一是一次实验中，可能出现的结果有
有限
个，各种结果发生的可能性
相等
。二是每个基本事件出现的可能性
相同
。
3．用概率的大小可以判断游戏是否
公平
。
4．当一次试验要涉及两个因素并且可能出观的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
列表
或画
树状
法。
5．对于二元事件（两次型问题）要分清摸球放回与不放回。
6．若试验只有两步，用
列表法
和
树状法
都可以．若试验在三步或三步以上，只能用
画树状图
来计算。
25.3利用频率估计概率
1．对一般的随机事件，在同样条件下做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的
频率
总在一个
固定
数的附近摆动，显示出一定的稳定性。
2．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=
P
=
。
外离
外切
相交
内切
内含
九年级数学（上）知识要点
第
15
页
共
18
页

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