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第二十六章　反比例函数
26.1.1　反比例函数
1．一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是　自变量
　，y是　
函数
　，自变量x的取值范围是　不等于0
　的一切实数。
2．判断两个变量成反比例的方法：
(1)两个变量的积是否是一个
不为0
的常数，即xy＝k(k≠0)；
(2)两个变量满足关系式y＝
(k≠0)或y＝
kx-1或xy＝k(k为常数，且k≠0)。
26.1.2　反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是　双曲线
，画反比例函数图象的步骤是：
列表
、
描点
、
连线
。
2．对于反比例函数y＝(k≠0)，k＞0时，双曲线的两支分别位于　
第一、第三
象限，在每个象限内y随x的增大而　减小
；k＜0时，双曲线的两个分支分别位于　第二、第四
象限，在每个象限内y随x的增大而　增大
。
4．两条曲线随x的不断增大(或减小)，曲线越来越接近　坐标轴
。
5．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心是　坐标原点
，也是轴对称图形，其对称轴是　坐标轴夹角的平分线
。
6．如图，过反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点A向x轴、y轴引垂线，垂足分别为B，C，则有S△AOB＝S△AOC＝____，S矩形
ABOC＝__|k|__．
26.2　实际问题与反比例函数
1．利用数学公式可建立反比例函数关系式，圆柱体的容积＝
底面积
×　高　。
2．利用实际问题中的总量不变可建立反比例函数关系式，装货速度×
装货时间＝
装货总量
；如当路程一定时，速度与时间
成反比
例
；当工作总量一定时，工作效率与工作时间
成反比例
等．
3．利用物理学公式建立反比例函数关系式．如密度＝，压强＝，阻力×阻力臂＝动力×　动力臂
，PR＝U2，可以写成，电压＝　电流×电阻
，也可以写成
。
第二十七章　相　似
27.1　图形的相似
1．　形状
相同的两个图形叫做相似图形．
2．两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
放大或缩小
得到的。
3．对应四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如＝
(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是　成比例线段
，简称比例线段。
4．两个边数　相同
的多边形，如果它们的角分别　相等
，边　
成比例
　，那么这两个多边形叫相似多边形。
5．相似多边形　对应边
　的比称为相似比。
27.2.1　相似三角形的判定
1．△ABC和△A′B′C′相似，记作
△ABC∽△A′B′C′
，相似三角形　对应边
的比叫
相似比
，当相似比为1时，两个三角形　全等
。
2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例　.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段
成比例　。
3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
相似
。
4．三边
成比例
的两个三角形相似．
5．两边　成比例
且夹角　相等　的两个三角形相似。
6．两角分别　相等
的两个三角形相似。
7．如果两个直角三角形斜边和一条直角边
成比例
，那么这两个三角形相似。
8．任意三角形相似的判定方法：①定义法；②三边　成比例　；③两边　成比例
且夹角　相等
；④两角　相等　的两个三角形相似。
9．直角三角形相似的判定方法：①有
一个锐角
对应相等的两个直角三角形相似；②
两组直角边
的比相等的两个直角三角形相似；③　斜边的比　等于一组
直角边的比
的两个直角三角形相似。
27.2.2　相似三角形的性质
1．相似三角形对应　高　的比，对应
角平分线
的比，对应　中线　的比都等于相似比．相似三角形对应线段的比等于
相似比
。
2．相似三角形的周长比等于　相似比　，面积比等于　相似比的平方
。
27.2.3　相似三角形应用举例
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意画出　示意图　；
(2)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
已知线段
、已知角
　或它们之间的关系；
(3)利用相似三角形建立线段之间的关系，求出　未知量　；
(4)写出　答案
。
27.3　位　似
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为
(kx，ky)
或
(－kx，－ky)
。
2．两个图形不仅　相似　，而且对应顶点的连线　
相交于一点
，对应边
互相平行
，像这样的两个图形叫做位似图形，
这个交点
叫做位似中心。
3．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
相似比
，位似图形的对应边分别　平行
或　
在同一条直线上
。.
4．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于　k或－k
。
5．在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(kx，ky)变换时，当k＞0时得到的图形是　同　向位似图形；当k＜0时，得到的图形是　反　向位似图形。
第二十八章　锐角三角函数
28.1　锐角三角函数
1．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个
固定值
。
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的　对
　边与　斜　边的比叫做∠A的正弦，记作　sinA
，即sinA＝＝
。
3．直角三角形中，锐角A的　邻边
与　斜边
的比叫做∠A的余弦，记作　cosA
.锐角A的　对边
与　邻边
的比叫做∠A的　正切
，记作　tanA
。
4．锐角A的
正弦
、　余弦
、　正切　都是∠A的锐角三角函数。
5．特殊角的三角函数值：
sin30°＝
，sin45°＝
，sin60°＝。
cos30°＝
，cos45°＝
，cos60°＝
。
tan30°＝
，tan45°＝　
1　，tan60°＝　
。
6．当锐角A是30°，45°或60°的特殊角时，可以求得这些角的三角函数值；但如果不是这些特殊角时，一般借助　计算器
或锐角三角函数表来求三角函数值。
7．利用计算器求锐角三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应锐角的度数时，不同的计算器操作步骤可能
有所不同
。
28.2.1　解直角三角形
1．直角三角形中，除直角外，由已知　边或角
求出未知
边或角　的过程，叫做解直角三角形．
2．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做
解直角三角形
，解直角三角形的依据(∠C＝90°)：
(1)三边之间的关系：
a2＋b2＝c2
(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°
；
(3)边角之间关系：sinA＝，
sinB＝
，
cosA＝，
cosB＝，tanA＝，tanB＝。
3．解直角三角形的条件是必须知道除直角外的　两　个元素且至少有一个是　边
　。
28.2.2　与视角有关的实际问题
4．进行高度测量时，在　观测视线
　与
水平线
所成的角中，当
观测视线　在
水平线　上方时叫做仰角，当
观测视线
　在
水平线
下方时叫做俯角。
5．方位角一般是指以观测者的位置为中心，将　正北　或　正南　方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)。
如图中的目标方向线，
OA的方向角表示：
北偏东
60°，
OB的方向角表示：
南偏东
45°或
东南方向
，
OC的方向角表示：
南偏西
80°，
OD的方向角表示：
北偏西
30°。
6．坡度(或坡比)是指坡面的　
铅直高度h
　与
水平宽度l
的比，通常用“i”表示，一般写成i＝.坡角α与坡度i的关系为　
i＝tanα
。即坡度是坡角的
正切值
，当坡角越大，坡度也越__大_。
第二十九章　投影与视图
29．1　投影
1．一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫物体的　投影　.照射光线叫做　投影线　，投影所在的平面叫做
投影面　。
2．投影分为　平行投影
和　
中心投影
　、
平行光线
　形成的投影是平行投影．
点光源
形成的投影叫中心投影。
3．投影线　
垂直于
投影面产生的投影叫做正投影。
4．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的　形状　、　大小　完全相同。
29.2　三视图
1．当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个
视图
。
2．对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做　主视图
。在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做　俯视图
；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做
左视图
。
3．画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的　长对正　，主视图与左视图的　高平齐
，左视图与俯视图的
宽相等
。
4．由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的　正面
、　上面
　和　左面
，然后再综合起来考虑　
整体图形
。
5．从　实
线和　虚
线想象几何体看得见的部分和看不见的部分的轮廓线。
6．由三视图求对应的立体图形的侧面积或全面积时，先由三视图想象出其立体图形，再进一步画出
展开图　，从而计算面积。
7．一个几何体的三视图如图所示(其中标注的a、b、c为相应的边长)，则这个几何体是　长方体　，体积为　abc　，表面积为
2(ab＋bc＋ac)
。
29．3　课题学习　制作立体模型
观察　三视图
，并综合考虑各视图表达的含义及视图间的联系，可以想象出三视图所表示的
立体图形
的形状，这是由视图转化为立体图形的过程。
人教版九年级数学（下）课时作业知识点通关宝典
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