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第五章
相交线与平行线
5.1.1相交线
1.
邻补角定义：有一条
公共边
，另一边
互为反向延长线
，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．
2．对顶角定义：有一个
公共顶点
，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的
反向延长线
，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
3．邻补角与对顶角的性质：邻补角
互补
，对顶角
相等
。
5.1.2垂线
1．垂直概念：两条相交的直线，当所成的夹角为
直角
时，这两条直线垂直．其中一条直线叫做另一条直线的
垂线
，它们的交点叫做
垂足
。
2．垂线性质：在
同一平面内
，过一点
有且只有
一条直线与已知直线垂直．
3．垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段
最短，简称
垂线段最短
。
4．点到直线的距离：直线外
一点到这条直线的垂线段的
长度
，叫做点到直线的距离．
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
1.
同位角定义：两个角分别在被截的两条直线的
同一方
，并且都在截线的
同侧
，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
2.
内错角定义：两个角都在被截的两条直线
之间
，并且分别在截线的
两侧
，具有这
种位置关系的角叫做内错角．
3.
同旁内角定义：两个角都在被截直线
之间
，并且都在截线的
同侧
，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
5.2.1平行线
1．平行线定义：在
同一平面
内
不相交
的两条
直线
叫做平行线．同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
平行
和
相交
两种．
2．平行公理：经过
直线外
一点，有且只有一条直线
与已知直线平行。
3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线也互相平行
．用数学符号表示为：因为a∥b，b∥c，所以a∥c
。
5.2.2平行线的判定方法
平行线的判定方法：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角
相等
．那么这两条直线平行，简单说成：同位角相等，两直线平行
。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行
。
(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角
互补
，那么这蕊条赢线平行。简单说同旁内角互补，两直线平行
。
5.3.1平行线的性质
平行线的性质：
(1)两直线平行，同位角
相等
。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角
互补
。
5.3.1平行线的性质
平行线的判定与性质
同位角
相等
同位角
相等。
内错角
相等
两直线平行
内错角
相等
。
同旁内角
互补
同旁内角
互补
。
5.3.2命题、定理、证明
1．判断一件事情
的语句，叫做命题．命题常可以写成“如果···那么···
”的形式，“如果”后面接的部分是
题设
，“那么”后面接的部分是
结论
。
2．题设成立，并且结论一定成立的命题叫做
真命题
，题设成立，不能保证结论
一定成立
的命题叫做假命题．
3．经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做
定理
一个命题的正确性需要经过
推理
，才能做出判断，这个
推理过程
叫做证明。
5.4平移
1．把一个图形
整理
沿
某一直线方向
移动一定的
距离
，这种图形的
变换
移变换，简称平移。
2．平移的两个要素是
方向
和
距离
。
3．平移前后图形的
大小
和
形状
没有发生变化，只有
位置
发生变化。
4．图形经过平移后，对应点之间的连线
平行
（或
在同一直线上
）且
相等
，对应角
相等
，对应线段
平行
．（或
在同一直线上
）且
相等
。
第六章
实数
6.1算术平方根
1．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a
，即
x2=a
，那么这个
正数a
叫做a的
算术平方根
，记为
，读作“
根号a
”，a叫做
被开方数
，规定：0的算术平方根是
0
。
2．算术平方根的非负性：
≥
0（a
≥
0）．
3．平方根：一般地，如果一个数的平方等于a
，那么这个数叫做a的
平方根
或二次方根，a
的平方根可记作“
”。
4．开平方：求一个数a
的
平方根
的运算，叫做开平方．
平方
与开平方互为逆运算，根据这个关系，可求一个数的平方根。
5．平方根的特点：正数有
两
个平方根，它们
互为相反数
；0的平方根是
0
；负数
没有
平方根。
6.2
立方根
1．立方根：一般地，如果一个数的立方等于a
；那么这个数叫做
a
的
立方根
或
三次方根
。这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的
立方根
。一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“
DG
三次方根
”．其中a是
被开方数
，3是
根指数
。
2．开立方：求一个数的
立方根
的运算，叫做开立方，开立方立方
互为逆运算，我们可以根据这种关系求一个数的
立方根
。
3．立方根的特点：任何数都有且只有一个立方根．正数的立方根是
正
数；负数的立方根是
负
数；0的立方根是
0
。
6.3
实数
1．无理数：
无限不循环小数
叫做无理数．
2．实数的概念：
有理数
和
无理数
统称实数．
3．实数的分类：(1)
按定义分：
正有整数
有理数
0
有限
小数或无限循环小数
负有分数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无分数
(2)按数的正负性分：
正整数
正有理数
正分数
正实数
实数
正无理数
0
负整数
负有理数
负分数
负实数
负无理数
4．实数与数轴上的点：实数与数轴上的点是
一一对应
的关系，
5．实数的性质：(1)
实数a的相反数是
-a
(2)
一个正数的绝对值是
它本身
，一个负数的绝对值是它的
相反数
，0的绝对值是
0
。
即：
2．实数的运算：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且
非负数
可以进行开平方运算，任意
实数
可以进行开立方运算。
第七章
平面直角坐标系
7.1.1有序数对
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做
有序数对
，记作(
a
，
b
)。
2．注意：①
不能随意交换两个数的
位置
。
②
两个数组成的有序数对是个
整体
，不能分开。
7.1.2平面直角坐标系
1．平面直角坐标系：在平面内画两条
互相垂直
、
原点重合
的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为
横轴
或
x轴
，竖直的数轴称为
纵轴
或
y轴
，两坐标的交点为平面直角坐
标系的
原点
。
2．象限及各象限内点的坐标特征：在坐标平面内，两条坐标轴把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为
象限
，分别叫做
第一象限
、
第二象限
、
第三象限
、
第四象限
各象限内点的坐标符号分别为（
+
，
+
），（
-
、+
），（
-
、-
），
（
+
、
-
），坐标轴上的点不属于任何
象限
。
3．坐标平面内的点与
有序数对
是一一对应的。
7.2.1用坐标表示地理位置
1．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：．
(1)
建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为
原点
，确定
x轴
，
y轴
的正方向；
(2)
根据具体问题确定
单位长度
；
(3)
在坐标平面内画出这些点，写出各点的
坐标
和各个地点
名称
。
2．一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标系表示地理位置，此外，还可以用
方位角
和
距离
表示平面内物体的位置。
7.2.2用坐标表示平移
1．在平面直角坐标系中，将点(
x
，y)向右或左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y
）或
（x-a，y
）
；将点(x，y)向上或下平移b个单位长度，可以得到对应点
（x，y+b
）
或
（x，y-b
）。
2．在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数a
，相应的新图形就是把原图形
向右（或向左）
平移a个单位长度，如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数a
，相应的新图形就是把原图形
向上（或向下）平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程
1．二元一次方程定义：含有
两个
未知数，并且含有未知数的
项的次数
都是
1
的方程。
2．二元一次方程组定义：方程组中有
两
个未知数，含未知数的
项的次数
都是
1
，并
且一共有
两
个方程．
3．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值
相等
的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4．二元一次方程组的解，二元一次方程组两个方程的
公共解
，叫做二元一次方程组的解。
8.2代入法解二元一次方程组
消元及代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含
另一个未知数
的式子表示出来，再代人
另一个
方程，实现
消元
，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代人消元法，简称
代入法
．这种将未知数的个数
由多化少
，逐一解决的思想叫做
消元思想
。
8.2加减消元法解二元一次方程组
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数
相同
或
相反
时，将两个方程两边分别
相减
或
相加
，就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称
加减法
。
8.3利用二元一次方程解决实际问题
用方程组解应用题的一般步骤：
(1)
审题：弄清题意和题目中的
数量关系
；
(2)
设元：用
字母
表示题目中的未知数，可
直接
设未知数，也可
间接
设未知数；
(3)
列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的
等量关系
，并依此列出
方程组
；
(4)
解方程组：利用
代入消元法
或
加减消元法
解出列出的方程组，求出未知数的值；
(5)
检验作答：检验所求的解是否符合题目的
实际意义
，然后
作答
。
8.3利用二元一次方程解决较复杂的实际问题
1．原材料费与原材料数量关系：原材料费
=
原材料数量×
单价
；
2．运费与产品重量和路程的关系：运费
=
产品重量×1吨／千米的运费×
路程
；
3．对于较复杂的数量关系，可以通过
列表
来理顺关系。
8.4三元一次方程组的解法
1．三元一次方程组：方程组含有
三
个未知数，每个方程中未知数的项的次数都是
1
，并且一共有
三
个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
2．三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思路：通过“
代入法
”或“
加减法
”
进行消元，把“三元”转化为“
二元
”
使解三元一次方程组转化为解
二元一次方程组
进而转化为解
一元一次方程组
。
第九章不等式与不等式组
9.1.1
不等式及其解法
1．不等式：用“
>
”或“
<
”表示大小关系的式子叫做不等式，另外用“
≠
”表示不等式关系的式子也是不等式。
2．不等式的解、解集与解不等式：使不等式成立的
未知数的值
叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式的
所有解
组成这个不等式的解集，求不等式的
解集
的过程叫做解不等式，在数轴上表示不等式的解集时，注意用
空心
圆圈时，表示不包括这一点。
9.1.2不等式的性质
1．不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变
。即如果a>b,那么a±c
>
b±c
不等式的性质2：不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变
。即如果a>b,
c>0,那么ac
>
bc；（或
>
）
不等式的性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号改变方向
。即如果a>b,
c
<
0,那么ac
<
bc；（或
<
）
2．“≤”“>”的含义：(1)
符号“≥”读作“
大于或等于
”也可说是“
不小于
”；符号“≤”读作“
小于或等于
”也可说是“
不大于
”。
(2)
不等式“x≥a”和“x
>a”
最明显的区别是
a是不等式x≥a
的解，但不是不等式x
>a
的解。
9.2一元一次不等式的解法
1．一元一次不等式：含有
一个
未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式，叫做一元一次不等式。
2．解一元一次不等式的一般步骤：
(1)
去分母（根据不等式的性质
2
）；
(2)
去括号（根据
去括号的法则
）；
(3)
移项（根据不等式的
性质1
）；
(4)
合并（根据
合并同类项的法则
）；
(5)
化未知项的系数为1(根据不等式的
性质2或性质3
)。
3．解一元一次不等式，要依据
不等式
的性质，将不等式逐步化为
x
>
a（或x
<
a）的形式。
9.2实际问题与一元一次方程
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
(1)
审题，找不等关系；
(2)
设
未知数
；
(3)
列
不等式
；
(4)
解不等式
，并检验解是否符合题意；
(5)
根据实际情况写出答案．
9.3一元一次不等式组的解法
1．一元一次不等式组：几个
一元一次不等式
合在一起，就组成一元一次不等式组。
2.
一元一次不等式组的解集：．一般地，几个一元一次不等式的解集的
公共部分
，叫做由它们所组成的不等式组的解集，利用
数轴
可以直观地表示出这些解集的公共部分；也可利用口决：大大取
大
，小小取
小
，大小小大
取中间
，大大小小
则无解
来解决。
3．若a
<
b，则的解集是
x
>
b
，
的解集是
a
<
x
<
b
，的解集是
x
<
a
，的解集是
无解
。
9.3实际问题与一元一次不等式组
利用不等式组解决实际问题的关键是找出题目中所有的
不等
关系，列出
不等式组
，再
解不等式组
，最后根据实际情况确定合理的答案．
第十章
数据的收集、整理与描述
10.1
统计调查
1．统计调查的过程包括：收集数据
，整理数据
和
描述数据
。收集数据一般采用
问卷调查
，整理数据一般用
划记法
列统计表，描述数据一般采用
统计图
，统计图一般有
扇形统计图
，条形统图
，折线统计图
。
2．全面调查：考察
全体对象
的调查称为全面调查，又叫
普查
。它可以
直接
获得
总体
的情况，结果
准确、全面
，但工作量
大
，费时费力。
3.
抽样调查：抽取
一部分
对象进行调查，然后根据调查数据推断
全体
对象的情况，这种方法称为抽样调查．若在一个抽样过程中，总体的每个个体都有
相等
的机会被抽到，这样的抽样方法是一种简单随机抽样。
4．总体、个体、样本、样本容量：所要考察的
全体对象
叫做总体，组成总体的
每一个考察对象
叫做个体，从总体中抽取的考察对象叫做总体的一个
样本
，样本中的
个体数目
叫做样本容量。
5．全面调查和抽样调查的优缺点：全面调查收集到的数据
全面
、准确
但一般花费
多
、耗时
长
．而且某些调查不宜用全面调查；抽样调查具有化费
少
的特点，但抽取的样本是否具有
代表性
，直接关系到对总体估计的
准确
程度。
10.2
直方图
1．直方图的有关概念：把所有数据分成若干组，每个小组的
两个端点
之间的距离（组内数据的
取值范围
）称为组距，各个小组内
数据的个数
叫做该组的频数，频数与样本容量的比值叫做
频率
．在抽样问题中，所有频数之和等于
样本容量
，频率之和等于
1
。
2．画频数分布直方图的一般步骤：
(1)
计算最大值与最小值的
差
；
(2)
决定组距和
组数
；
(3)
列
频数分布表
；
(4)
画
频数分布直方图
。
10.3
课题学习
比数据谈节水
1.
“水危机”的标准是指
用水量超过其水资源总量的20%
。
2．中国淡水资源总量约为
2.75×104
亿立方米，居世界第
六
位，人均占有水量仅2400
方米左右，只相当于世界人均的
25%
第
110
位。
3．水资源合理利用的关系是
节约用水
；实现水资源合理利用的前提是
每个人都应该有节约用水的意识，积极参与节水行动
。
人教版七年级数学下册知识点梳理
第
1
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