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2021年九年级数学中考复习分类专题：
等腰三角形的性质综合（二）
1．周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的，则该三角形的（　　）
A．腰和底边的高都是有理数
B．腰和底边的高都不是有理数
C．腰是有理数，底边上的高是无理数
D．腰是无理数，底边上的高是有理数
2．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，BE＝BA，CD＝CA，设∠DAE＝x度，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x≤45
B．0＜x＜60
C．0＜x＜90
D．0＜x≤120
3．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC中，∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．65°
5．已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（　　）
A．110°
B．70°
C．55°
D．70°或55°
6．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则此三角形的周长是（　　）
A．11
B．7
C．8
D．11或7
7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（　　）
A．54°
B．63°
C．27°
D．54°或63°
8．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β．若α＝10°，则β的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．不能确定
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC的值为（　　）
A．m2
B．m2+1
C．2m2
D．（m+1）2
11．如图，三角形ABC中，AB＝AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN＝110°，则∠DEA＝（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
12．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（　　）
A．20°、20°、140°
B．40°、40°、100°
C．70°、70°、40°
D．40°、40°、100°或70°、70°、40°
13．如图，AC＝CD＝DA＝BC＝DE，则∠BAE是∠B的（　　）倍．
A．6
B．4
C．3
D．2
14．如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠B的度数为（　　）
A．45°
B．50°
C．55°
D．不能确定
15．若等腰△ABC的三边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则△ABC的周长是（　　）
A．10或8
B．10
C．12或6
D．6或10或12
16．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（　　）
A．9
B．13
C．9或13
D．10或12
17．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC中，∠PBC＝10°，∠PCB＝20°，则∠PAB的度数为（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．65°
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°则∠BDC的大小是（　　）
A．30°
B．75°
C．15°
D．25°
19．已知等腰三角形中的一条边长为3cm，另一条边长为5cm，则它的周长为（　　）
A．11cm
B．12cm
C．13cm
D．11cm或13cm
20．若等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　）
A．30°
B．50°
C．80°
D．50°或80°
参考答案
1．解：∵等腰三角形底边上的高是底边长的，
∴该等腰三角形为等腰直角三角形，
设三角形ABC的腰为a，则底边长为a，
∴周长＝2a+a＝（2+）a，
∵周长为有理数，
∴（2+）a＝有理数，
∴a＝，为无理数，
a＝（﹣1）×有理数，为无理数，
即腰、底边和高都为无理数．
故选：B．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝BA，CD＝CA，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CAD＝∠CDA，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠B＝∠DAE＝∠C＝x°，
∴∠BAC＝180°﹣2x°，
∴60°＜180°﹣2x°＜180°，
∴0＜x＜60，
故选：B．
3．解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°
当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，
所以共5种情况，
故选：C．
4．解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD＝AB＝AC，
∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
∴∠ACD＝∠ADC＝80°，
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠CDB＝140°＝∠BPC，
又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC＝DC，
又∠PCD＝60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC＝×20°＝10°，
∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．
或由△BDC≌△BPC，
∴BP＝BD＝BA
∴∠BAP＝∠BPA
又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°
∴∠BAP＝（180°﹣40°）÷2＝70°
故选：C．
5．解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
则底角为：（180°﹣70°）×＝55°，
∴底角为70°或55°．
故选：D．
6．解：解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1；
∵当底为5，腰为1时，由于5﹣1＞1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为1，腰为5；
∴三角形的周长为1+5+5＝11．
故选：A．
7．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故选：D．
8．解：①做AB的中垂线DH，做直线BE，两线交于Q，
根据利用等底同高的面积相等，S△QCD＝S△BCD，
∵Q在AB的中垂线上，
∴BQ＝AQ，
则：Q点符合要求；
②在CD的另一侧AB垂直平分线上可以找到一个到CD的距离等于B到CD的距离相等的点M
S△MCD＝S△BCD，MA＝MB
则：M点符合要求；
③以B为圆心，以BA为半径画弧交直线BE于S、F，
S△SCD＝S△BCD，S△BCD＝S△FCD，AB＝BS＝BF
则：点S、F符合要求；
④点E也符合要求：因为S△BCD＝S△ECD且AE＝AB；
综上可得，点S、E、M、Q、F即为所求的点P的位置．
故有5个这样的点P．
故选：D．
9．解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵α＝10°，∠ADB＝α+∠C，
∴∠C＝β﹣10°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
即β+β﹣10°＝90°，
解得β＝50°，
故选：B．
10．解：作AD⊥BC交BC于D，
AB2＝BD2+AD2①
AP2＝PD2+AD2②
①﹣②得：
AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2，
∴AB2﹣AP2＝（BD+PD）（BD﹣PD），
∵AB＝AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，
∴AB2﹣AP2＝PB?PC．
∴PA2+PB?PC＝AB2＝m2．
故选：A．
11．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，
∴∠BDN＝∠MDE，∠DEN＝∠CEN，
∵∠B＝∠DMN﹣∠BDM＝∠DMN﹣∠MDE，∠C＝∠MNE﹣∠NEC＝∠MNE﹣∠NED，
∴∠DMN﹣∠MDE＝∠MNE﹣∠NED，
即∠DMN+∠NED＝∠ME+∠MDE，
∵∠DMN+∠NED＝∠MNE+∠MDE，
∵∠DMN+∠NED＝∠MNE+∠MDE＝180°，
∴∠NED＝70°，
∴∠DEA＝180°﹣2∠NED＝40°．
故选：A．
12．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；
（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．
故选：D．
13．解：∵AC＝CD＝DA＝BC＝DE，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°，∠B＝∠BAC，∠E＝∠DAE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠ADC＝∠E+∠DAE，
∴∠B＝∠BAC＝∠DAE＝∠E＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝120°，
∴∠BAE＝4∠B．
故选：B．
14．解：设∠C＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x，
∴∠AED＝x+10°，
∵EA＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，
∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，
∴x＝50°，
∴∠B＝50°，
故选：B．
15．解：解方程x2﹣6x+8＝0得x1＝4，x2＝2，
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4＝10；
当2为腰，4为底时，4﹣2＝2不能构成三角形；
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12．
故选：D．
16．解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得或，解得或，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故选：C．
17．解：如图，作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P′C、PP′，
则P′C＝PC，ACP′＝∠ACP．
∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
又∵∠PBC＝10°，∠PCB＝20°，
∴∠BPC＝150°，∠ACP＝30°，∠ACP′＝30°，
∴∠PCP′＝60°，
∴△PCP′是等边三角形，
∴PP′＝PC，∠P′AC＝∠PAC，∠P′PC＝60°，
∴∠BPP′＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
∴∠BPP′＝∠BPC，
∴△PBP′≌△PBC，
∴∠PBP′＝∠PBC＝10°，
∴∠PBC＝20°，∠ABP′＝30°
又∠ACP′＝30°，
∴∠ABP′＝∠ACP′，
∴A、B、C、P′四点共圆，
∴∠PAC＝∠P′AC＝∠P′BC＝20°，
∴∠PAB＝60°．
故选：B．
18．解：由AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，则可添加辅助圆，
∴有∠BDC＝∠BAC＝25°，
故选：D．
19．解：若三边长度分别是3cm、3cm、5cm，则周长为3+3+5＝11cm；
若三边长度分别是5cm、5cm、3cm，则周长为5+5+3＝13cm．
故选：D．
20．解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
故选：D．

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