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机械能守恒定律
考点 1.功和功率(Ⅱ)；2.动能和动能定理(Ⅱ)；3.重力做功与重力势能(Ⅱ)；4.功能关系、机械能守恒定律及其应用(Ⅱ)
知识点 1.做功正、负的判断及功的计算；2.平均功率、瞬时功率的理解及应用；3.动能定理、机械能守恒定律的应用；4.功能关系；5.图象问题
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．(2019·吉林省吉林市高三上学期期末联考)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合外力对物体做功为零
答案　B
解析　物体P匀速向上运动的过程中，摩擦力的方向沿传送带向上，与运动的方向相同，所以摩擦力做正功，A正确，B错误；支持力的方向与物体运动的方向垂直，则支持力对物体不做功，C正确；物体匀速上升，动能变化量为零，根据动能定理可知，合力对物体做功为零，D正确。
2．(2019·浙江宁波高三上学期期末十校联考)设在平直公路上以一般速度行驶的自行车，所受阻力约为车、人总重的0.02倍，则骑车人的功率最接近于(　　)
A．10－1 kW B．10－3 kW
C．1 kW D．10 kW
答案　A
解析　设人和车的总质量为80 kg，总重力即为800 N，则受到的阻力大小为16 N，假设骑自行车的速度为10 m/s，则匀速行驶时，骑车人的功率为P＝Fv＝fv＝16×10 W＝160 W，最接近于0.1 kW，A正确。
3. (2019·河北张家口高三上学期期末)如图所示，运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，在这两个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．运动员先处于超重状态后处于失重状态
B．空气浮力对系统始终做负功
C．加速下降时，重力做的功大于系统重力势能的减小量
D．任意相等的时间内系统重力势能的减小量相等
答案　B
解析　运动员先加速向下运动，处于失重状态，后减速向下运动，处于超重状态，A错误；空气浮力与运动方向总相反，故空气浮力对系统始终做负功，B正确；加速下降时，重力做的功等于系统重力势能的减小量，C错误；因为是变速运动，所以任意相等的时间内，系统下降的高度不相等，则系统重力势能的减小量不相等，D错误。
4．(2019·山东烟台高三上学期期末)如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向上和竖直向下方向抛出，不计空气阻力。则下列说法中不正确的是(　　)
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等
答案　D
解析　由机械能守恒定律得，两小球落地时的速度大小相等，方向相同，A正确；由于两小球落地时速度相同，故重力的瞬时功率相同，B正确；由重力做功公式W＝mgh得，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相等，C正确；从抛出至落地，重力对两小球做的功相等，但是两小球运动的时间不同，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D错误。
5．(2019·安徽芜湖高三上学期期末)用长为L的细线系着一个质量为m的小球(可以看做质点)，以细线端点O为圆心，在竖直平面内做圆周运动。P点和Q点分别为轨迹的最低点和最高点，不考虑空气阻力，小球经过P点和Q点时所受细线拉力的差值为(　　)
A．2mg B．4mg C．6mg D．8mg
答案　C
解析　根据牛顿第二定律，在Q点，有F1＋mg＝m，在P点，有F2－mg＝m，从最高点到最低点过程，根据机械能守恒定律，有mg·(2L)＝mv－mv，联立三式，解得小球经过P点和Q点时所受细线拉力的差值为F2－F1＝6mg，C正确。
6．(2019·黑龙江齐齐哈尔五校联谊高三上学期期末联考)如图所示，固定在竖直平面内的圆弧轨道与水平轨道相切于最低点B，质量为m的小物块从圆弧轨道的顶端A由静止滑下，经过B点后沿水平轨道运动，并停在到B点距离等于圆弧轨道半径的C点。圆弧轨道粗糙，物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。物块到达B点前瞬间对轨道的压力大小为(　　)
A．2μmg B．3mg
C．(1＋2μ)mg D．(1＋μ)mg
答案　C
解析　设圆弧轨道的半径为r，物块从B到C的过程，由动能定理得－μmgr＝0－mv，在B点，由牛顿第二定律得N－mg＝m，联立解得N＝(1＋2μ)mg，由牛顿第三定律可知，物块到达B点前瞬间对轨道的压力大小为N′＝N＝(1＋2μ)mg，C正确。
7. (2019·广东揭阳高三上学期期末)某位工人师傅用如图所示的装置，将重物从地面沿竖直方向拉到楼上，在此过程中，工人师傅沿地面以速度v向右匀速直线运动，当质量为m的重物G上升高度为h时轻绳与水平方向成α角，(重力加速度大小为g，滑轮的质量和摩擦均不计)在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．人的速度比重物的速度小
B．轻绳对重物的拉力大于重物的重力
C．重物做匀速直线运动
D．绳的拉力对重物做的功为mgh＋mv2
答案　B
解析　将人的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于重物G的速度，根据平行四边形定则，绳子与水平方向的夹角为θ时，vG＝vcosθ，故v>vG，A错误；人在向右匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以重物的速度增大，重物做加速上升运动，由牛顿第二定律可知绳子的拉力大于重物的重力，B正确，C错误；当重物G上升高度为h时，重物的速度vG＝vcosα，重物由地面上升高度h的过程中，根据动能定理可知W－mgh＝mv，解得W＝mgh＋m(vcosα)2，D错误。
8．(2019·江苏高考)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中(　　)
A．弹簧的最大弹力为μmg
B．物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C．弹簧的最大弹性势能为μmgs
D．物块在A点的初速度为
答案　BC
解析　物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，弹簧弹力最大，此时物块具有向右的加速度，弹簧弹力大于摩擦力，即F>μmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正确；从物块将弹簧压缩到最短至物块运动到A点静止的过程中，根据能量守恒，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epm＝μmgs，C正确；根据能量守恒，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D错误。
9．(2019·福建福州高三下质量检测)如图所示，固定光滑斜面AC长为L，B为斜面中点。小物块在恒定拉力F作用下，从最低点A由静止开始沿斜面向上运动，到B点时撤去拉力F，小物块能继续上滑至最高点C，整个过程运动时间为t0。下列四图分别描述该过程中小物块的速度v随时间t、加速度a随时间t、动能Ek随位移x、机械能E随位移x的变化规律，可能正确的是(　　)
答案　AC
解析　合力对小物块先做正功再做负功，根据动能定理F合x＝ΔEk知，动能随x先均匀增加，然后均匀减小，物块先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，匀加速直线运动的位移和匀减速直线运动的位移大小相等，若到达C点时速度不为零，则匀减速直线运动的平均速度大于匀加速直线运动的平均速度，匀减速直线运动的时间小于匀加速直线运动的时间，A、C正确；小物块先向上匀加速后向上匀减速运动，速度方向不变，在中间位置加速度改变方向，只有当匀加速的加速度与匀减速的加速度大小相等时，中间位置时刻即为中间时刻，B错误；根据除重力以外其他力做的功等于机械能的增量可知，前恒力F做正功，机械能随x均匀增加，后只有重力做功，机械能守恒，D错误。
10．(2019·江西赣州高三上学期期末)放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间的图象如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．0～6 s内物体的位移大小为12 m
B．0～6 s内拉力做功为70 J
C．物体的质量为10 kg
D．滑动摩擦力的大小为5 N
答案　BCD
解析　0～6 s内物体的位移大小等于v?t图象中图线与时间轴所包围的面积，即x＝ m＝10 m，A错误；0～2 s内拉力做的功W1＝·t1＝×2 J＝30 J,2～6 s内拉力做的功W2＝Pt2＝10×4 J＝40 J，所以0～6 s内拉力做的总功W＝W1＋W2＝70 J，B正确；在2～6 s内，v＝2 m/s，P＝10 W，物体做匀速直线运动，F＝f，则滑动摩擦力f＝F＝＝ N＝5 N，当P1＝30 W时，v＝2 m/s，得到牵引力F1＝＝ N＝15 N，在0～2 s内，物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝1 m/s2，由牛顿第二定律可得：F1－f＝ma，可知：m＝10 kg，C、D正确。
11. (2019·湖北四地七校高三上学期期末联考)如图所示，固定的光滑竖直杆上套一个滑块A，与滑块A连接的细绳绕过光滑的轻质定滑轮连接滑块B，细绳不可伸长，滑块B放在粗糙的固定斜面上，连接滑块B的细绳和斜面平行，滑块A从细绳水平位置由静止释放(不计轮轴处的摩擦)，到滑块A下降到速度最大(A未落地，B未上升至滑轮处)的过程中(　　)
A．滑块A和滑块B的加速度大小一直相等
B．滑块A减小的机械能等于滑块B增加的机械能
C．滑块A的速度最大时，滑块A的速度大于B的速度
D．细绳上的张力对滑块A做的功等于滑块A机械能的变化量
答案　CD
解析　两滑块与绳构成绳连接体，沿绳方向的加速度大小相等，则A沿绳的分加速度等于B的加速度，A错误；绳连接体上的一对拉力做功不损失机械能，但B受到的斜面摩擦力对B做负功，由能量守恒可知滑块A减小的机械能等于滑块B增加的机械能和摩擦生热之和，B错误；滑块A的速度最大时，将滑块A的速度分解，如图所示，绳连接体沿绳方向的速度大小相等，则A沿绳的分速度等于B的运动速度，显然滑块A的速度大于B的速度，C正确；
对A受力分析可知，除重力外，只有细绳的张力对滑块A做功，由功能关系可知，细绳上的张力对滑块A做的功等于滑块A机械能的变化量，D正确。
12. (2019·四川自贡高三一诊)如图所示，在倾角θ＝37°固定斜面体的底端附近固定一挡板，一质量不计的弹簧下端固定在挡板上，弹簧自然伸长时其上端位于斜面体上的O点处。质量分别为mA＝4.0 kg、mB＝1.0 kg的物块A和B用一质量不计的细绳连接，跨过固定在斜面体顶端的光滑定滑轮，开始时物块A位于斜面体上的M处，物块B悬空。现将物块A和B由静止释放，物块A沿斜面下滑，当物块A将弹簧压缩到N点时，物块A、B的速度减为零。已知MO＝1.0 m，ON＝0.5 m，物块A与斜面体之间的动摩擦因数为μ＝0.25，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，整个过程细绳始终没有松弛。则下列说法正确的是(　　)
A．物块A在与弹簧接触前的加速度大小为1.2 m/s2
B．物块A在与弹簧接触前的加速度大小为1.5 m/s2
C．物块A位于N点时，弹簧所储存的弹性势能为9 J
D．物块A位于N点时，弹簧所储存的弹性势能为21 J
答案　AC
解析　设物块A在与弹簧接触前细绳的张力大小为T，对物块A，由牛顿第二定律可得：mAgsinθ－T－μmAgcosθ＝mAa，同理对物块B有：T－mBg＝mBa，解得a＝1.2 m/s2，A正确，B错误；由能量守恒可知，物块A位于N点时，弹簧所储存的弹性势能为Ep＝mAgsinθ·－mBg·－μmAgcosθ·，解得Ep＝9 J，C正确，D错误。
第Ⅱ卷(非选择题，共62分)
二、实验题(本题共2小题，共14分)
13．(2019·云南保山高三上学期期末)(6分)用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。重物P(含遮光片)从光电门1的上侧由静止释放，P竖直向下运动，分别测出遮光片经过光电门1和光电门2的时间Δt1和Δt2，另测得遮光片的宽度为d，两光电门之间的距离为h，已知重力加速度为g。
(1)实验中还需要测量的物理量有______________(填写物理量名称及表示符号)。
(2)写出验证机械能守恒定律的等式为__________________(用以上测得的物理量符号表示)，通过代入数据计算发现，等式两端并不严格相等，引起此结果的原因可能是________________________________________________。
答案　(1)重物P的质量m
(2)mgh＝m　重物在下落过程中受到了空气阻力的作用
解析　(1)验证重物P的机械能守恒，即验证重物P的势能减少量与动能增加量是否相等，则需要知道的物理量有：重物P的质量m、当地重力加速度g、光电门1、2之间的高度差h、重物P经过两光电门1、2时的速度v1和v2，除重物质量m以外的物理量由题中已知条件均可得到，所以还需要测量重物P的质量m。
(2)重物P下降h，它的重力势能的减少量：ΔEp＝mgh
P经过光电门1的速度：v1＝
经过光电门2的速度：v2＝
P动能的增加量：
ΔEk＝m(v－v)＝m
则需要验证的等式为：mgh＝m；
由于重物在下落过程中受到了空气阻力的作用，使重物的重力势能的减少量大于动能的增加量。
14．(2019·江苏通州、海门、启东高三上学期期末三县联考)(8分)如图所示，在“探究小车所受外力做功与动能变化的关系”的实验中，有甲、乙两种方案：
(1)实验操作过程中可能用到如下步骤，两套装置必须同时用到的实验步骤是________。
A．平衡摩擦力
B．测量小车的质量
C．通过纸带计算速度时，选用等间距部分
D．重复实验时，小车从靠近打点计时器的同一位置释放
(2)某同学利用图乙的装置，按正确步骤进行实验，绘制W∝ΔEk的图象时，________(填“需要”或“不需要”)测量W的具体数值。
(3)某同学利用图甲的装置平衡摩擦力后进行实验，小车质量为M、钩码的总质量为m(m?M)，打出的纸带如图丙所示，计算出打点计时器打B、E点时小车的速度分别为vB、vE，重力加速度为g，探究B到E过程小车所受外力做功与动能变化的关系，若外力做功与小车动能变化相等，则数学表达式为______________________(用M、m、g、s、vB、vE表示)。
(4)某小组利用图甲的装置进行实验，实验结果显示，合外力做的功总是略小于小车动能的变化，请分析出现这种情况的可能原因是______________________。
答案　(1)AB　(2)不需要
(3)mgs＝Mv－Mv
(4)平衡摩擦力过度或倾角过大
解析　(1)两套装置中都应保持细线的拉力即为小车所受的合外力，所以都应平衡摩擦力，A正确；由于要探究小车的合外力做功与小车动能变化的关系，所以应测量小车的质量，B正确；图甲中小车做匀加速直线运动，图乙中小车先加速后匀速，所以通过纸带计算速度时，只有乙方案要选用等间距部分，C错误；重复实验时，小车并不一定要从同一位置释放，D错误。
(2)图乙的装置中小车的合力即为橡皮筋的弹力，只需要探究橡皮筋的条数加倍时小车的动能是否加倍即可，并不需要测量W的具体数值。
(3)由于钩码的总质量远远小于小车的质量，所以小车所受合力近似等于钩码的总重力，小车从打B点到打E点的过程中，外力做的功为mgs，小车动能的变化量为ΔEk＝Mv－Mv，若外力做功与小车动能变化相等，则数学表达式为mgs＝Mv－Mv。
(4)合外力做的功总是略小于小车动能的变化，说明除了拉力对小车做功外还有其他力对小车做功，可能是因为小车的重力沿斜面向下的分力大于阻力，即平衡摩擦力过度或倾角过大。
三、计算论述题(本题共4小题，共48分。解答时写出必要的文字说明和重要的演算步骤，只写出答案的不得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值的单位)
15．(2019·安徽合肥高三上一诊)(10分)如图所示，质量M＝50 kg的运动员在进行体能训练时，腰部系着一不可伸长的轻绳，绳另一端连接质量m＝11 kg的轮胎。当运动员由静止开始沿水平跑道匀加速奔跑时，绳的拉力大小为70 N，绳与跑道的夹角为37°，5 s末绳突然断裂。轮胎与跑道间的动摩擦因数μ＝0.5，空气阻力不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：
(1)运动员的加速度大小；
(2)3 s末运动员克服绳拉力做功的功率；
(3)整个过程中轮胎克服摩擦力做的功。
答案　(1)2 m/s2　(2)336 W　(3)1400 J
解析　(1)运动员拉着轮胎匀加速奔跑时，运动员的加速度等于轮胎的加速度。
对轮胎，由牛顿第二定律得：
Tcos37°－Ff＝ma，FN＋Tsin37°＝mg
又因为：Ff＝μFN，解得：a＝2 m/s2。
(2)3 s末运动员的速度为v＝at1＝6 m/s
3 s末运动员克服绳子拉力做功的功率
P＝Tvcos37°＝336 W。
(3)在加速过程中，轮胎的位移为x＝at2＝25 m
全过程对轮胎由动能定理得：WT－Wf＝0
则：Wf＝WT＝Txcos37°＝1400 J。
16．(2019·四省名校高三第二次联考)(12分)如图所示，在竖直平面内有一粗糙斜面轨道AB与光滑圆弧轨道BC在B点平滑连接(滑块经过B点时速度大小不变)，斜面轨道长L＝2.5 m，斜面倾角θ＝37°，O点是圆弧轨道圆心，OB竖直，圆弧轨道半径R＝1 m，圆心角θ＝37°，C点距水平地面的高度h＝0.512 m，整个轨道是固定的。一质量m＝1 kg的滑块在A点由静止释放，最终落到水平地面上。滑块可视为质点，滑块与斜面轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)滑块经过圆弧轨道最低点B时，对圆弧轨道的压力大小；
(2)滑块离开C点后在空中运动的时间t。
答案　(1)30 N　(2)0.64 s
解析　(1)对滑块从A到B的过程，由动能定理：
mgLsin37°－μmgLcos37°＝mv
解得vB＝2 m/s
滑块经过圆弧轨道的B点时，由牛顿第二定律：
F－mg＝m
由牛顿第三定律可得：滑块经过B点时对圆弧轨道的压力大小F′＝F
解得F′＝30 N。
(2)对滑块从B到C的过程，由动能定理：
－mgR(1－cos37°)＝mv－mv
解得vC＝4 m/s
滑块离开C点后在竖直方向上做竖直上抛运动，以竖直向下为正方向，则有：h＝－vCsin37°t＋gt2，
解得t＝0.64 s。
17．(2019·长春实验中学高三上学期期末)(12分)如图甲所示，倾斜的传送带以恒定的速率逆时针运行。在t＝0时刻，将质量为1.0 kg的物块(可视为质点)无初速度地放在传送带的最上端A点，经过1.0 s，物块从最下端的B点离开传送带。取沿传送带向下为速度的正方向，则物块的对地速度随时间变化的图象如图乙所示(g＝10 m/s2)。求：
(1)物块与传送带间的动摩擦因数；
(2)物块从A到B的过程中，传送带对物块做的功。
答案　(1)　(2)－3.75 J
解析　(1)由v?t图象可知，物块在前0.5 s的加速度为：a1＝＝8 m/s2
后0.5 s的加速度为：a2＝＝2 m/s2
物块在前0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向下，由牛顿第二定律得：
mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1
物块在后0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向上，由牛顿第二定律得：
mgsinθ－μmgcosθ＝ma2
联立解得：θ＝30°，μ＝。
(2)由v?t图象可知，在前0.5 s，物块对地位移为：
x1＝
则摩擦力对物块做功：W1＝μmgcosθ·x1
在后0.5 s，物块对地位移为：x2＝t2
则摩擦力对物块做功：W2＝－μmgcosθ·x2
所以传送带对物块做的总功：W＝W1＋W2
联立解得：W＝－3.75 J。
18．(2019·福建厦门高三上学期期末)(14分)一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q。一轻绳跨过定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m。初始时在外力作用下，物块P在A点静止不动，定滑轮右侧轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N。已知物块P质量为m1＝0.8 kg，物块Q质量为m2＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8。现将物块P由静止释放，求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x1；
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功。
答案　(1)0.1 m　(2)2 m/s　(3)8 J
解析　(1)物块P位于A点时，对Q有：
T＝m2gsinθ＋kx1，解得：x1＝0.1 m。
(2)经分析，此时OB垂直于竖直杆，OB＝0.3 m，物块Q速度为0，Q沿斜面下降距离为：
Δx＝OP－OB＝0.5 m－0.3 m＝0.2 m，
即弹簧压缩x2＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，弹性势能不变。
对物块P、Q及弹簧，从A到B根据能量守恒有：
m2g·Δx·sinθ－m1gh＝m1v
代入可得：vB＝2 m/s。
(3)对物块P：WT－m1gh＝m1v
代入数据得：WT＝8 J。

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