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一元二次方程知识点的总结
知识结构梳理
（1）含有
个未知数。
（2）未知数的最高次数是
1、概念
（3）是
方程。
（4）一元二次方程的一般形式是
。
（1）
法，适用于能化为
的一元。
二次方程
（2）
法，即把方程变形为ab=0的形式，
2、解法
（a，b
为两个因式）,
则a=0或
（3）
法
（4）
法，其中求根公式是
当
时，方程有两个不相等的实数根。
（5）
当
时，方程有两个相等的实数根。
当
时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值题
（1）
一元二次方程的应用
（2）
（3）
可用于解决实际问题的步骤
（4）
（5）
（6）
知识点归类
建立一元二次方程模型
知识点一
一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例
下列关于的方程，哪些是一元二次方程？
⑴；⑵；（3）；（4）；（5）
知识点二
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。
例1
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）；
（2）；
（3）
例2
已知关于的方程是一元二次方程时，则
知识点三
一元二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四
建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。
注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例
如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，
鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，
若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？
鸡场
（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）
因式分解法、直接开平方法
知识点一
因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例
用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）。
知识点二
直接开平方法解一元二次方程
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。
例
用直接开平方法解下列一元二次方程
（1）；
（2）；
（3）
知识点三
灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
例
运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
（1）；
（2）
知识点四
用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0
时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。
如：，将原方程变形为，由此可得出
注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
知识点五
形如“”的方程的解法。
对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。
注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。
例
解下列方程：（1）；
（2）
配方法
知识点一
配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例
用配方法解下列方程：
（1）；
（2）
知识点二
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；
把原方程变为的形式。
若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
例
解下列方程：
知识点三
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；
(2)
移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；
（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
例
用配方法解下列方程：
（1）；
（2）
公式法
知识点一
一元二次方程的求根公式
一元二次方程的求根公式是：
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
例
用公式法解下列方程
（1）；
（2）；
（3）
知识点二
选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；
公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
例
用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；（2）；（3）
知识点三
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
△=
运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：
△=﹥0方程有两个不相等的实数根；
△==0方程有两个相等的实数根；
△=﹤0方程没有实数根；
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。
例
不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
（1）；（2）；（3）
知识点四
根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0
（2）方程有两个相等的实数根=0
（3）方程没有实数根﹤0
注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例
为何值时，方程的根满足下列情况：
（1）有两个不相等的实数；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根；
知识点五
一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，则有，
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1）
（2）
（3）；
（4）││==
例
已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。
（1）；
（2）。
知识点六
根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。
例
当取什么值时，代数式与代数式的值相等？
一元二次方程的应用
知识点一
列一元二次方程解应用题的一般步骤
审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。
关键点：找出题中的等量关系。
知识点二
用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。
例
某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为
知识点三
用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量
例
某商店如果将进货价为8
元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。
（1）要使每天获得700
元，请你帮忙确定售价。
（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。
第二章
一元二次方程（补充）
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为
常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法
<即将其变为的形式>
②公式法
（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）
③分解因式法
把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程
的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：

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