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第四章《一元一次方程》应用易错题专项提升训练（一）
1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.90
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.90
超过30吨的部分
6.00
0.90
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）
已知小王家2018年7月用水16吨，交水费43.2元．8月份用水25吨，交水费75.5元．
（1）求a、b的值；
（2）如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
2．如图，∠AOB是直角，射线OC从OA出发，以每秒8度的速度顺时针方向转动；射线OD从OB出发，以每秒2度的速度逆时针方向转动．当OC与OA成一直线时停止转动．
（1）　
　秒时，OC与OD重合．
（2）当OC与OD的夹角是30度时，求转动的时间是多少秒？
（3）若OB平分∠COD，求转动的时间是多少秒？并画出此时的OC与OD，写出图中∠AOD的余角．
3．下表是某网约车公司的专车计价规则：
计费项目
起租价
里程费
时长费
远途费
单价
15元
2.5元/公里
1.5元/分
1元/公里
注：车费由起租价、里程费、时长费、远途费四部分构成，其中起租价15元含10分钟时长费和5公里里程费，远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收1元．
（1）若小李乘坐专车，行车里程为20公里，行车时间为30分，则需付车费　
　元；
（2）若小李乘坐专车，行车里程为x（7＜x≤10）公里，平均时速为40km/h，则小李应付车费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）小李与小王各自乘坐专车，行车车费之和为76元，里程之和为15公里（其中小王的行车里程不超过5公里）．如果行驶时间均为20分钟，那么这两辆专车此次的行驶路程各为多少公里？
4．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．问：
（1）t＝2秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是　
　；点P到点Q的距离是　
　个单位长度；
（2）动点P从点A运动至C点需要　
　秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝　
　秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是　
　；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，直接写出
t
的值．
5．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12，点P为数轴上一动点．
（1）数轴上点A表示的数为　
　．点B表示的数为　
　；
（2）数轴上是否存在一点P，使点P到点A、点B的距离和为16，若存在，请求出此时点P所表示的数；若不存在，请说明理由；
（3）点P以每秒1个单位长度的速度从C点向左运动，点Q以每秒2个单位长度从点B出发向左运动，点R从点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，它们同时出发，运动的时间为t秒，请求点P与点Q，点R的距离相等时t的值．
6．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　
　；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是　
　．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
7．下表是中国电信两种”4G套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
月基本费/元
主叫通话/分
钟
上网流量
MB
接听
主叫超时部分
/（元/分钟）
超出流量部
分/（元/MB）
方式一
49
200
500
免费
0.20
0.3
方式二
69
250
600
免费
0.15
0.2
（1）若某月小萱主叫通话时间为220分钟，上网流量为800MB，则她按方式一计费需　
　元，
按方式二计费需　
　元；若她按方式二计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为　
　MB．
（2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若上网流量为540MB，直接写出当月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间t（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱．
8．某快车的计费规则如表1，小明几次乘坐快车的情况如表2，请仔细观察分析表格解答以下问题：
（1）填空：a＝　
　，b＝　
　；
（2）列方程求解表1中的x；
（3）小明的爸爸23：10打快车从机场回家，快车行驶的平均速度是100公里/小时，到家后小明爸爸支付车费603元，请问机场到小明家的路程是多少公里？（用方程解决此问题）
表1：某快车的计费规则
里程费（元/公里）
时长费（元/分钟）
远途费（元/公里）
5：00﹣23：00
a
9：00﹣18：00
x
12公里及以下
0
23：00﹣次日5：00
3.2
18：00﹣次日9：00
0.5
超出12公里的部分
1.6
（说明：总费用＝里程费+时长费+远途费）
表2：小明几次乘坐快车信息
上车时间
里程（公里）
时长（分钟）
远途费（元）
总费用（元）
7：30
5
5
0
13.5
10：05
20
18
b
66.7
9．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
10．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为40？如果能，求出这三个数；如果不能，请说明理由．
11．综合与实践
情境再现：
举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，全长55千米，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一．如图，香港口岸点B至珠海口岸点A约42千米，海底隧道CD全长约7千米，隧道一端的东人工岛点C到香港口岸的路程为12千米，某一时刻，一辆穿梭巴士从香港口岸发车，沿港珠澳大桥开往珠海口岸.10分钟后，一辆私家车也从香港口岸出发沿港珠澳大桥开往珠海口岸，在私家车出发的同时，一辆大客车从珠海口岸出发开往香港口岸．已知穿梭巴士的平均速度为72千米/时，大客车的平均速度为78千米/时，私家车的平均速度为84千米/时．
问题解决：
（1）穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？
（2）私家车能否在到达珠海口岸前追上穿梭巴士？说明理由；
（3）穿梭巴士到达珠海口岸后停车5分钟供乘客上下车，之后立即沿原路按原速度返回香港口岸．设该巴士从香港口岸出发后经过的时间为t小时．
请从下列A，B两题中任选一题作答我选择　
　题
A：①该巴士返程途中到珠海口岸的路程为　
　千米（用含t的代数式表示）；
②该巴士返程途中到东人工岛的路程为6千米时，t的值为　
　．
B：①该巴士返程途中到香港口岸的路程为　
　千米（用含t的代数式表示）；
②私家车到达珠海口岸时，用5分钟办完事立即返回香港口岸．若其返程途中的速度为96千米/时，私家车返程途中与巴士之间相距的路程为4千米时，t的值为　
　．
12．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装1个大月饼和7个小月饼．制作1个大月饼要用0.06kg面粉，1个小月饼要用0.015kg面粉．现共有面粉330kg，制作两种月饼各用多少kg面粉时，才能使生产的大小月饼刚好配套成盒？最多能生产多少盒月饼？
13．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足|a﹣1|+|ab+4|+|a﹣b+c|＝0．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时开始相向运动，设运动时间是t秒（t＞0）．
i）若点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A，B同时运动，t为何值时，点C为线段AB的中点？
ii）是否存在一个常数k，使得2BC﹣k?AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
14．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a﹣8|+（b+6）2＝0．
（1）线段AB的长为　
　；
（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上是否存在点D，使得DA+DB＝DC？若存在，求出点D对应的数；若不存在，说明理由．
（3）动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点P、Q、M同时出发，设运动时间为t秒，当t＜7时，探究QP、QA、QM三条线段之间的数量关系，并说明理由．
15．某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工2个，就可以提前1小时完成任务．
（1）该产品的预定加工时间为几小时？
（2）若该产品销售时的标价为100元/个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利25元，该批产品总成本为多少元？
参考答案
1．解：（1）由题意得：
解①，得a＝1.8，
将a＝1.8代入②，解得b＝2.8
∴a＝1.8，b＝2.8．
（2）1.8+0.9＝2.7，2.8+0.9＝3.7，6.00+0.9＝6.9
设小王家这个月用水x吨，由题意得：
2.7×17+3.7×13+（x﹣30）×6.9＝156.1
解得：x＝39
∴小王家这个月用水39吨．
（3）设小王家11月份用水y吨，
当y≤17时，2.7y+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝11
当17＜y＜30时，17×2.7+（y﹣17）×3.7+2.7×17+3.7×13+（50﹣30﹣y）×6.9＝215.8﹣30
解得y＝9.125（舍去）
∴小王家11月份用水11吨．
2．解：（1）∵∠AOB是直角，射线OC从OA出发，以每秒8度的速度顺时针方向转动；射线OD从OB出发，以每秒2度的速度逆时针方向转动，
∴设x秒时，OC与OD重合，则8x+2x＝90，
解得：x＝9，
故答案为：9；
　　
（2）设转动t秒时，OC与OD的夹角是30度
根据题意，得：
8t+2t＝90﹣30或8t+2t＝90+30　　　
解得：t＝6或t＝12
答：当转动6秒或12秒时，OC与OD的夹角是30度．　　
（3）设转动m秒时，OB平分∠COD
则：8m﹣90＝2m
解得：m＝15
答：转动15秒时，OB平分∠COD．　　　　　　
此时，OC和OD的位置如右图，∠AOD的余角有∠BOD和∠BOC．
3．解：（1）15+2.5×（20﹣5）+1.5×（30﹣10）+1×（20﹣10）＝92.5（元），
故答案为：92.5；
（2）15+2.5×（x﹣5）+1.5×（x÷﹣10）＝x﹣12.5；
（3）设小王的行驶路程为x公里，则小李的行驶路程为（15﹣x）公里，根据题意得，
[15+1.5（20﹣10）]+[15+2.5（15﹣x﹣5）+1.5×（20﹣10）+1×（15﹣x﹣10）]＝76，
解得，x＝4，
∴15﹣x＝11，
答：小王的行驶路程为4公里，则小李的行驶路程为11公里．
4．解：如图所示：
（1）设动点P从点A出发，运动2秒后的点对应数为x，
∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，
∴AP＝2×2＝4，
又∵x﹣（﹣10）＝4，
解得：x＝﹣6，
又∵同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
∴QC＝2×1＝2，
又∵AC＝28，AC＝AO+OB+BC，
∴点P到点Q的距离＝28﹣4﹣2＝22；
故答案为﹣6，22；
（2）由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为，OB段时间为＝10，BC段时间为＝4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4＝19（秒），
故答案为19秒；
（3）设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：
3+y+2y＝10，
解得：y＝，
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+＝（秒），
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+＝；
故答案为，；
（4）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
当点P、Q两点都在OB上运动时，
t﹣5＝2（t﹣8）
解得：t＝11，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8﹣t＝t﹣5，
解得：t＝；
当P在BC上，Q在OA上运动时，
t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10，
解得：t＝17；
即PO＝QB时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒．
5．解：（1）由题意得：数轴上点A表示的数为﹣10，点B表示的数为2，
故答案为：﹣10，2；
（2）∵AB＝12，
∴P不可能在线段AB上，
所以分两种情况：
①如图1，当点P在BA的延长线上时，PA+PB＝16，
∴PA+PA+AB＝16，
2PA＝16﹣12＝4，
PA＝2，
则点P表示的数为﹣12；
②如图2，当点P在AB的延长线上时，同理得PB＝2，
则点P表示的数为4；
综上，点P表示的数为﹣12或4；
（3）由题意得：t秒P点到点Q，点R的距离相等，则此时点P、Q、R所表示的数分别是6﹣t，2﹣2t，﹣10+5t，
①6﹣t﹣（2﹣2t）＝6﹣t﹣（﹣10+5t），
t＝，
②6﹣t﹣（2﹣2t）＝（﹣10+5t）﹣（6﹣t），
t＝4，
答：点P与点Q，点R的距离相等时t的值是或4秒．
6．解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为﹣4、1．
（2）①根据题意，得
6t﹣2t＝10
解得t＝2.5
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
7．解：（1）方式一：
49+0.2（220﹣200）+0.3（800﹣500）
＝49+0.2×20+0.3×300
＝49+4+90
143．
方式二：
69+0.2（800﹣600）
＝69+0.2×200
＝69+40
＝109．
设上网流量为xMB，则
69+0.2（x﹣600）＝129
解得x＝900．
故答案为：143；109；900．
（2）当0≤t＜200时，
49+0.3（540﹣500）＝61≠69
∴此时不存在这样的t．
当200≤t≤250时，
49+0.2（t﹣200）+0.3（540﹣500）＝69
解得t＝240．
当t＞250时，
49+0.2（t﹣200）+0.3（540﹣500）＝69+0.15（t﹣250）
解得t＝210（舍）．
故若上网流量为540MB，当主叫通话时间为240分钟时，两种方式的计费相同．
（3）由（2）可知，当t＜240时方式一省钱；
当t＞240时，方式二省钱．
8．解：（1）由题意得：5a+5×0.5＝13.5
解得：a＝2.2
b＝（20﹣12）×1.6＝12.8
故答案为：2.2，12.8；
（2）由题意得：20×2.2+12.8+18x＝66.7
18x＝9.9
x＝0.55
（3）设机场到小明家的路程是y公里，则
3.2y+0.5××60+（y﹣12）×1.6＝603
解得y＝122
答：机场到小明家的路程是122公里．
9．解：设用x张制作盒身，（144﹣x）张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
根据题意，得
2×15x＝42（144﹣x）
解得x＝84，
∴144﹣x＝60（张）．
答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
10．解：设中间的数为x，其它两个为x﹣7与x+7，根据题意得：
x﹣7+x+x+7＝30，
解得：x＝10，
则x﹣7＝3，x+7＝17．
11．解：（1）设穿梭巴士出发经x小时与大客车相遇，
根据题意列方程：72x+78（x﹣）＝42
解得
x＝
答：穿梭巴士出发经小时与大客车相遇；
（2）私家车不能在到达珠海口岸前追上穿梭巴士，理由如下：
设私家车追上穿梭巴士所用的时间为y小时
依题意列方程：72（y+10÷60）＝84y，
解得：y＝1，
穿梭巴士从出发10分，到达珠海口岸还需要的时间为（42﹣12）÷72＝
∵＜1，
∴私家车不能在到达珠海口岸前追上穿梭巴士；
（3）若选A：①72（t﹣）﹣42＝72t﹣48；
②当穿梭巴士在东人工岛的西方时，有42﹣12﹣（72t﹣48）＝6，
解得，t＝1，
当穿梭巴士在东人工岛的东方时，有（72t﹣48）﹣（42﹣12）＝6，
解得，t＝，
故答案为：①72t﹣48；②1h或h；
若选择B：①42×2﹣72（t﹣）＝90﹣72t；
②当私家车在穿梭巴士后面4千米时，有72（t﹣）﹣[42+96（t﹣﹣）]＝4，
解得，t＝；
当私家车在穿梭巴士前面面4千米时，有[42+96（t﹣﹣）]﹣72（t﹣）＝4，
t＝．
故答案为：①90﹣72t；②h
或h．
12．解：设生产大小月饼各为x，y个
则：
解得：
生产大月饼用面粉为：0.06×2000＝120
生产小月饼用面粉为：0.015×14000＝210
答：生产大月饼用面粉120kg，生产小月饼用面粉210kg
最多能生产2000盒月饼．
13．解：（1）∵|a﹣1|+|ab+4|+|a﹣b+c|＝0．
∴
解得
答：a，b，c的值为1、﹣4、﹣5．
（2）i）根据题意，得
3t﹣t﹣1＝6﹣3t﹣2t，解得t＝1．
答：t为1时，点C为线段AB的中点．
ii）存在常数k，理由如下：
根据题意，得
BC＝1﹣2t，
∴2BC﹣kAB＝2（1﹣2t）﹣k（5﹣3t）＝2﹣4t﹣5k+3kt＝（3k﹣4）t+2﹣5k．
当3k﹣4＝0，即k＝时，
或2BC﹣kAB＝2（1﹣2t）﹣k（3t﹣5）＝2﹣4t﹣3kt+5k＝﹣（4+3k）t+2+k．
当4+3k＝0，即k＝﹣时，
答：存在一个常数k＝或k＝﹣时，使得2BC﹣k?AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变．
14．解：（1）∵|a﹣8|+（b+6）2＝0，
∴a﹣8＝0且b+6＝0，
∴a＝8，b＝﹣6，
∴AB＝8﹣（﹣6）＝14．
故答案为：14．
（2）存在．
设D点对应的数为d，由题意得，
|d+6|+|d﹣8|＝|d﹣10|，
①当d≤﹣6时，有﹣d﹣6+8﹣d＝10﹣d，
解得d＝﹣8；
②当﹣6＜d≤8时，有d+6+8﹣d＝10﹣d，
解得，d＝﹣4；
③当8＜d≤10时，有d+6+d﹣8＝10﹣d，
解得，d＝4（不合题意，舍去）；
④当d＞10时，有d+6+d﹣8＝d﹣10，
解得，d＝﹣8（不合题意，舍去）．
综上，D点对应的数为：﹣8或﹣4．
（3）QP+QA＝2QM．
理由如下：
由题意知，QP＝BQ+AB﹣PA＝4t+14﹣6t＝14﹣2t，
QA＝QB+AB＝4t+14，
QM＝QB+AB﹣MA＝4t+14﹣3t＝t+14，
∵（14﹣2t）+（4t+14）＝2t+28＝2（t+14），
∴QP+QA＝2QM．
15．解：（1）设这批产品需要加工x个，
＝1，
x＝60，
60÷10＝6，
答：该产品的预定加工时间为6小时；
（2）设该批产品成本为a元/个，
100×80%＝a+25，
a＝55，
55×60＝3300，
答：该批产品总成本为3300元．

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