资源简介 5.3.2 等比数列的前n项和第一课时 等比数列的前n项和课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.在探索并掌握等比数列的前n项和公式中,发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.新知探究国际象棋起源于印度,据说国王为了奖赏发明者,让发明者提一个要求.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到,就欣然同意了.问题 每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1,2,22,23,…,263,你能计算这64项的和吗?提示 由等比数列的前n项和公式得S64=264-1.1.等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则Sn=又an=a1qn-1,所以q≠1时,等比数列前n项和的公式也可改写为Sn=.2.等比数列前n项和公式的函数特征(1)当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1).即Sn是关于n的指数型函数.(2)当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.拓展深化[微判断]1.等比数列{an}的前n项和可直接用公式Sn=来求.(×)提示 需先确定q≠1时,才可用公式.若q=1,则Sn=na1.2.等比数列的前n项和不可以为0.(×)提示 可以为0,比如1,-1,1,-1,1,-1的和.3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(√)4.若数列{an}的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1),则此数列为等比数列.(√)[微训练]1.在等比数列{an}中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和S10=( )A.2-B.2-C.2-D.2-解析 易知公比q=,则S10==2-.答案 B2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q=( )A.1或-1B.1C.-1D.解析 由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.答案 A[微思考]1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?提示 A=-B.2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其它量?提示 三个.题型一 等比数列前n项和公式的直接应用【例1】 求下列等比数列前8项的和:(1),,,…;(2)a1=27,a9=,q<0.解 (1)因为a1=,q=,所以S8==.(2)由a1=27,a9=,可得=27·q8.又由q<0,可得q=-,所以S8====.规律方法 求等比数列的前n项和,要确定首项,公比或首项、末项、公比,应注意公比q=1是否成立.【训练1】 (1)求数列{(-1)n+2}的前100项的和;(2)在14与之间插入n个数,组成所有项的和为的等比数列,求此数列的项数.解 (1)法一 a1=(-1)3=-1,q=-1.∴S100==0.法二 数列{(-1)n+2}为-1,1,-1,1,…,∴S100=50×(-1+1)=0.(2)设此数列的公比为q(易知q≠1),则解得故此数列共有5项.题型二 等比数列前n项和公式的综合应用【例2】 已知一个等比数列{an},a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5.解 设等比数列的公比为q,则即∵a1≠0,1+q2≠0,②÷①得q3=,∴q=,∴a1=8,∴a4=8×=1,∴S5==.【迁移1】 设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.解 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件.当q≠1时,=3a1q2.因为a1≠0,所以1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,解得q=-.所以此数列的公比q=1或-.【迁移2】 在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.解 若q=1,则S3∶S2=3∶2,而事实上,S3∶S2=31∶6,故q≠1.所以两式作比,得=,解得或从而Sn==(5n-1)或Sn==.规律方法 等比数列前n项和公式的运算(1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.(2)当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1,q与n时,用Sn=比较方便;当已知a1,q与an时,用Sn=比较方便.【训练2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q≠1.若a1=1,且对任意的n∈N+都有an+2+an+1=2an,则S5=( )A.12B.20C.11D.21(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N+,满足=9,=,则数列{an}的公比为( )A.-2B.2C.-3D.3解析 (1)an+2+an+1=2an等价于anq2+anq=2an.因an≠0,故q2+q-2=0,即(q+2)(q-1)=0.因为q≠1,所以q=-2,故S5==11,故选C.(2)设数列{an}的公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∵==qm+1=9,∴qm=8.∵==qm=8=,∴m=3,∴q3=8,∴q=2.答案 (1)C (2)B题型三 等比数列前n项和公式的函数特征应用【例3】 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.∴an=法一 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3,不是等比数列,即{an}不是等比数列.法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列.规律方法 已知Sn,通过an=求通项an,应特别注意n≥2时,an=Sn-Sn-1.(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.【训练3】 (1)若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=________.(2)设数列{an}的前n项和Sn=4×3n-1-1,则通项an=________.(3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( )A.B.-C.D.-解析 (1)显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),又Sn=×3n+t,∴t=-.(2)当n=1时,a1=S1=4-1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×3n-1-1-4×3n-2+1=8×3n-2.∴an=(3)法一 ∵Sn=x·3n-1-=·3n-,由Sn=A(qn-1),得=,∴x=,故选C.法二 当n=1时,a1=S1=x-;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2x·3n-2,∵{an}是等比数列,∴n=1时也应适合an=2x·3n-2,即2x·3-1=x-,解得x=.答案 (1)- (2) (3)C一、素养落地1.通过学习等比数列的前n项和公式及其应用,提升数学抽象素养、数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.3.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q≠1和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况.二、素养训练1.数列1,5,52,53,54,…的前10项和为( )A.B.C.D.解析 S10==(510-1).答案 B2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于( )A.2B.4C.D.解析 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4=+a2+a2q+a2q2,得=+1+q+q2=.答案 C3.已知等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n=________.解析 Sn==126,即2n+1=128,故n+1=7,n=6.答案 64.在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.解 由题意得若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,得S3===6,解得q=-2.此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.基础达标一、选择题1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn等于( )A.B.C.D.解析 Sn==.答案 D2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于( )A.33B.72C.84D.189解析 由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0.∵q>0,∴q=2.∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=q2·S3=22×21=84.答案 C3.在等比数列{an}中,a1a2a3=1,a4=4,则a2+a4+a6+…+a2n=( )A.2n-1B.C.D.解析 由a1a2a3=1得a2=1,又a4=4,故q2=4,a2+a4+a6+…+a2n==.答案 B4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4-a1=78,S3=39,设bn=log3an,那么数列{bn}的前10项和为( )A.log371B.C.50D.55解析 由a4-a1=78得a1(q3-1)=78,又S3=a1(1+q+q2)=39,解得a1=q=3,故an=3n,bn=n,所以数列{bn}的前10项和为55.答案 D5.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和等于( )A.或5B.或5C.D.解析 设数列{an}的公比为q,显然q≠1,由已知得=,解得q=2,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,前5项和为=.答案 C二、填空题6.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=________.解析 由题意设数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠1),则解得所以a8=a1q7=×27=32.答案 327.已知正项数列{an}满足a-6a=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=________.解析 ∵a-6a=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0.∵an>0,∴an+1=3an.又a1=2,∴{an}是首项为2,公比为3的等比数列,∴Sn==3n-1.答案 3n-18.若等比数列{an}的前n项和为Sn=m·4n-1+t(其中m,t是常数),则=________.解析 法一 a1=S1=m+t,a2=S2-S1=3m,a3=S3-S2=12m,则a=a1a3,所以9m2=12m(m+t),即m=-4t,故=-4.法二 Sn=m·4n-1+t=m·4n+t,因为{an}是等比数列,故m=-t,则=-4.答案 -4三、解答题9.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a是不为零且不等于1的常数),求数列{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列.证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1;当n=1时,a1=a-1,满足上式,∴an=(a-1)·an-1,n∈N+,∴=a,∴数列{an}是首项为a-1,公比为a的等比数列.10.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.解 设数列{an}的公比为q(q≠0).由已知可得所以解②得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列{an}的前n项和Sn===(n∈N+).能力提升11.数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=________.解析 an-an-1=a1qn-1=2n-1,即各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2,故an=a1+2n-2=2n-1(n∈N+).答案 2n-112.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上.(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.解 (1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,所以an+1=3Sn+1,当n≥2时,an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)?an+1-an=3an?an+1=4an.又当n=1时,a2=3S1+1?a2=3a1+1=3t+1,所以当t=1时,a2=4a1,此时,数列{an}是等比数列.(2)由(1),可得an=4n-1,an+1=4n,所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n,那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+(1+2+…+n)=+.创新猜想13.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,则下列说法一定成立的是( )A.若a3>0,则a2021>0B.若a4>0,则a2020>0C.若a3>0,则S2021>0D.若a3>0,则S2021<0解析 设数列{an}的公比为q,当a3>0时,a2021=a3q2018>0,A正确;当a4>0时,a2020=a4·q2016>0,B正确.又当q≠1时,S2021=,当q<0时,1-q>0,1-q2021>0,∴S2021>0,当00,1-q2021>0,∴S2021>0,当q>1时,1-q<0,1-q2021<0,∴S2021>0.当q=1时,S2021=2021a1>0,故C正确,D不正确.答案 ABC14.(多空题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且公比q>1,若a2=2,S3=7.则数列{an}的通项公式an=________,a+a+…+a=________.解析 ∵a2=2,S3=7,由S3=+2+2q=7,解得q=2或q=,又∵q>1,∴q=2,故a1=1,所以an=2n-1∴a=4n-1,∴a+a+…+a==.答案 2n-1 (共32张PPT)第二课时 等比数列前n项和的性质及应用课标要求素养要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题,提升学生的数学建模和数学运算素养.新识探究一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款,而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生,贷款购物,分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务,究竟选择什么样的方式好呢?让我们一起进入今天的学习吧!1.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法;(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法.2.等比数列前n项和的性质拓展深化[微判断]1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.()2.若{an}的公比为q,则{a2n}的公比为q2.()3.若{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q.()4.等比数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.()5.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式,其qn的系数与常数项互为相反数.()√√√×√[微训练]1.等比数列{an}的前m项和为4,前2m项和为12,则它的前3m项和是________.解析 易知Sm=4,S2m-Sm=8,∴S3m-S2m=16,∴S3m=12+16=28.答案 282.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.答案 2[微思考]当等比数列{an}的公比q=-1时,若k是偶数,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列吗?提示 不是.如数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=S4-S2=S6-S4=…=0,不是等比数列.题型一 等比数列前n项和的性质及应用角度1 等比数列的连续n项之和的性质【例1】 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.解 法一 ∵S2n≠2Sn,∴q≠1,法二 ∵{an}为等比数列,显然公比不等于-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),规律方法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.【训练1】 设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=( )A.32B.64C.72D.216解析 由于S3、S6-S3、S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,所以S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64.答案 B角度2 等比数列的不连续n项和的性质【例2】 一个项数为偶数的等比数列,全部项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求该等比数列的通项公式.解 设数列{an}的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇,S偶,由题意,知S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.规律方法 (1)在等比数列{an}中若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇.(2)解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体的思想.【训练2】 一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.解 法一 设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+).由已知a1=1,q≠1,有∴n=4.故公比为2,项数为8.法二 ∵S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q∴2n=256,∴n=8.即公比q=2,项数n=8.解 被求和式的第k项为规律方法 当数列各项较复杂时,要先化简通项公式,再进一步考虑能否通过拆项等方法转化成等差、等比数列再求和,这是数列求和中的一种重要思路.题型三 利用错位相减法求数列的前n项和【例4】 求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).当x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+nxn,xSn=x2+2x3+3x4+…(n-1)xn+nxn+1,∴(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1规律方法 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是公比不为1的等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法.题型四 等比数列前n项和的实际应用【例5】 小华准备购买一部售价为5000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.(参考数据:1.00812≈1.10)解 法一 设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则:A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…,A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,故小华每期付款金额约为883.5元.法二 设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则:A2=x;A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);…A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),故小华每期付款金额约为883.5元.规律方法 (1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题;(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用数列知识求解.【训练5】 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗?解 用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,热气球在前n分钟内上升的总高度即这个热气球上升的高度不可能超过125m.一、素养落地1.通过学习等比数列前n项和性质的应用,提升数学运算素养,通过利用等比数列前n项和公式解决实际问题,提升数学建模素养.2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想,即常把qn、Sn等看作一个整体.3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型.二、素养训练1.已知等比数列{an}的公比为2,且其前5项和为1,那么{an}的前10项和等于( )A.31B.33C.35D.37解析 设{an}的公比为q,由题意,q=2,a1+a2+a3+a4+a5=1,则a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)=q5=25=32,∴S10=1+32=33.答案 B答案 B3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里·答案 C4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S4=1,S8=7,求S12.解 因为S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即(7-1)2=1·(S12-7),解得S12=43.第二课时 等比数列前n项和的性质及应用课标要求素养要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题,提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款,而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生,贷款购物,分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务,究竟选择什么样的方式好呢?让我们一起进入今天的学习吧!1.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法;(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,也可以用这种方法.2.等比数列前n项和的性质(1)数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.(2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+).(3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:①在其前2n项中,=q;②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).拓展深化[微判断]1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(√)2.若{an}的公比为q,则{a2n}的公比为q2.(√)3.若{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q.(√)4.等比数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.(×)提示 反例:等比数列{an}为-4,-2,-1,-,…,则S1=-4,S2=-6,S3=-7,…,逐渐减小,则{Sn}不是递增数列.5.对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式,其qn的系数与常数项互为相反数.(√)[微训练]1.等比数列{an}的前m项和为4,前2m项和为12,则它的前3m项和是________.解析 易知Sm=4,S2m-Sm=8,∴S3m-S2m=16,∴S3m=12+16=28.答案 282.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.解析 由题意得∴S奇=-80,S偶=-160,所以q===2.答案 2[微思考]当等比数列{an}的公比q=-1时,若k是偶数,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是等比数列吗?提示 不是.如数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=S4-S2=S6-S4=…=0,不是等比数列.题型一 等比数列前n项和的性质及应用角度1 等比数列的连续n项之和的性质【例1】 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.解 法一 ∵S2n≠2Sn,∴q≠1,由已知得②÷①得1+qn=,即qn=,③③代入①得=64,∴S3n==64=63.法二 ∵{an}为等比数列,显然公比不等于-1,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),∴S3n=+S2n=+60=63.规律方法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.【训练1】 设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=( )A.32B.64C.72D.216解析 由于S3、S6-S3、S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,所以S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64.答案 B角度2 等比数列的不连续n项和的性质【例2】 一个项数为偶数的等比数列,全部项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求该等比数列的通项公式.解 设数列{an}的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇,S偶,由题意,知S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.∵数列{an}的项数为偶数,∴q==.又a1·a1q·a1q2=64,∴a·q3=64,即a1=12.故所求通项公式为an=12×,n∈N+.规律方法 (1)在等比数列{an}中若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇.(2)解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体的思想.【训练2】 一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.解 法一 设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+).由已知a1=1,q≠1,有由②÷①,得q=2,∴=85,4n=256,∴n=4.故公比为2,项数为8.法二 ∵S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q,∴q===2.又Sn=85+170=255,据Sn=,得=255,∴2n=256,∴n=8.即公比q=2,项数n=8.题型二 与等比数列相关的数列求和【例3】 求和:Sn=1++++…+.解 被求和式的第k项为ak=1+++…+==2.∴Sn=2=2=2=2=2n+-2.规律方法 当数列各项较复杂时,要先化简通项公式,再进一步考虑能否通过拆项等方法转化成等差、等比数列再求和,这是数列求和中的一种重要思路.【训练3】 求数列2,,,,…的前n项和Sn.解 Sn=(1+1)++++…+=(1+2+3+4+…+n)+=+=+-.题型三 利用错位相减法求数列的前n项和【例4】 求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).解 当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=;当x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+nxn,xSn=x2+2x3+3x4+…(n-1)xn+nxn+1,∴(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1=-nxn+1,∴Sn=-.综上可得,Sn=规律方法 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是公比不为1的等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法.【训练4】 求数列的前n项和.解 设Sn=+++…+,则有Sn=++…++,两式相减,得Sn-Sn=+++…+-,即Sn=-=1--.∴Sn=2--=2-(n∈N+).题型四 等比数列前n项和的实际应用【例5】 小华准备购买一部售价为5000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.(参考数据:1.00812≈1.10)解 法一 设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则:A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…,A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,解得x==≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元.法二 设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则:A2=x;A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);…A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),∴x=≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元.规律方法 (1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题;(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用数列知识求解.【训练5】 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗?解 用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,得an+1=an;因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+…+an===125×<125,即这个热气球上升的高度不可能超过125m.一、素养落地1.通过学习等比数列前n项和性质的应用,提升数学运算素养,通过利用等比数列前n项和公式解决实际问题,提升数学建模素养.2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想,即常把qn、Sn等看作一个整体.3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型.二、素养训练1.已知等比数列{an}的公比为2,且其前5项和为1,那么{an}的前10项和等于( )A.31B.33C.35D.37解析 设{an}的公比为q,由题意,q=2,a1+a2+a3+a4+a5=1,则a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)=q5=25=32,∴S10=1+32=33.答案 B2.数列{an}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a+a+…+a=( )A.(3n-1)2B.(27n-1)C.(3n-1)D.27n-1解析 设Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-1,则当n≥2时,Sn-1=3n-1-1,故an=Sn-Sn-1=2×3n-1,又a1=2,所以an=2×3n-1,所以a+a+…+a==.答案 B3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里解析 由题知,设该人每天行走的里数构成一个等比数列{an}(n∈N+),公比q=,S6==378,∴a1=192,∴a6=192×=6.故该人最后一天走的路程为6里.答案 C4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S4=1,S8=7,求S12.解 因为S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即(7-1)2=1·(S12-7),解得S12=43.基础达标一、选择题1.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于( )A.11B.5C.-8D.-11解析 由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,则==-11.答案 D2.等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项的和为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列,则数列的前n项的和是( )A.B.Sqn-1C.Sq1-nD.解析 易知数列也是等比数列,首项为1,公比为,则数列的前n项和为==·==S·q1-n.答案 C3.我国数学巨著《九章算术》中,有如下问题:今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?其大意为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是( )A.2B.3C.4D.1解析 依题意,每天的织布数构成一个公比q=2的等比数列{an},其前n项和为Sn,则S5=5,Sm=,∵S5==5,解得a1=.∴Sm==,解得m=3.故选B.答案 B4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )A.B.-C.D.解析 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=,所以a7+a8+a9=.答案 A5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则的值为( )A.B.2C.D.17解析 =q3=,∴q=.∴==1+=1+q4=.答案 C二、填空题6.正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于________.解析 由S30=13S10,知q≠1,由得由等比数列的前n项和的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,则(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20),解得S20=40或S20=-30(舍去).答案 407.一个球从256米的高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半,当它第6次着地时,共经过的路程是________米.解析 设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an},则数列{an}为等比数列,a1=128,q=,S5==248,共经过的路程为256+2S5=752(米).答案 7528.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,则公比q=________.解析 由210S30-(210+1)S20+S10=0,得210(S30-S20)=S20-S10.又S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,∴=q10=.又{an}为正项等比数列,∴q=.答案 三、解答题9.已知数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1.(1)求这个数列的通项公式an;(2)求这个数列的前n项和Sn.解 (1)an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.(2)Sn=a1+a2+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-2-n.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列是公差为1的等差数列,且a2=3,a3=5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)数列是公差为1的等差数列,∴=a1+n-1,可得Sn=n(a1+n-1),∴a1+a2=2(a1+1),a1+a2+a3=3(a1+2),且a2=3,a3=5.解得a1=1.∴Sn=n2.∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1(n=1时也成立).∴an=2n-1.(2)bn=an·3n=(2n-1)·3n,∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,∴3Tn=32+3×33+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1,∴-2Tn=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)×3n+1=3+2×-(2n-1)×3n+1=-6+(2-2n)×3n+1,可得Tn=3+(n-1)×3n+1.能力提升11.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y,都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn=________.解析 令x=n,y=1,则f(n)·f(1)=f(n+1),又an=f(n),∴==f(1)=a1=,∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴Sn==1-.答案 1-12.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.解 第1年投入800万元,第2年投入800×万元,…,第n年投入800×万元,所以总投入an=800+800×+…+800×=4000×(万元).同理,第1年收入400万元,第2年收入400×万元,…,第n年收入400×万元.所以总收入bn=400+400×+…+400×=1600×.综上,an=4000×,bn=1600×.创新猜想13.(多选题)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N+)的“对称数列”,且1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{bn}的前100项和S100可能的取值为( )A.2100-1B.251-2C.226-4D.2m+1-22m-100-1解析 由题意知数列{bn}为1,2,22,23,…,2m-1,2m-1,…,23,22,2,1.若m=50,则S100=2×=251-2,B正确;若51≤m<100,则S100=2×-=2m+1-22m-100-1,故D正确.若m≥100,则S100==2100-1,故A正确.答案 ABD14.(多空题)已知集合P={x|x=2n,n∈N+},Q={x|x=2n-1,n∈N+},将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,则a29=________,使得Sn<1000成立的n的最大值为________.解析 数列{an}的前n项依次为1,2,3,22,5,7,23,….利用列举法可得,当n=35时,P∪Q的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{an},所以数列{an}的前35项分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…,57,59,2,4,8,16,32,故a29=47.S35=30+×2+=302+26-2=962<1000.因为26=64>61,所以S36=S35+61=1023>1000,所以n的最大值为35.答案 47 35(共30张PPT)5.3.2 等比数列的前n项和第一课时 等比数列的前n项和课标要求素养要求1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.在探索并掌握等比数列的前n项和公式中,发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.新识探究国际象棋起源于印度,据说国王为了奖赏发明者,让发明者提一个要求.发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请国王能给我足够的麦子来实现上述要求.”国王觉得这事不难办到,就欣然同意了.问题 每个格子里的麦粒数依次组成一个等比数列1,2,22,23,…,263,你能计算这64项的和吗?提示 由等比数列的前n项和公式得S64=264-1.1.等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则2.等比数列前n项和公式的函数特征提示 需先确定q≠1时,才可用公式.若q=1,则Sn=na1.2.等比数列的前n项和不可以为0.()提示 可以为0,比如1,-1,1,-1,1,-1的和.3.首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.()4.若数列{an}的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1),则此数列为等比数列.()××√√答案 B解析 由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.答案 A[微思考]1.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?提示 A=-B.2.等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其它量?提示 三个.规律方法 求等比数列的前n项和,要确定首项,公比或首项、末项、公比,应注意公比q=1是否成立.解 (1)法一 a1=(-1)3=-1,q=-1.法二 数列{(-1)n+2}为-1,1,-1,1,…,∴S100=50×(-1+1)=0.(2)设此数列的公比为q(易知q≠1),【迁移1】 设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.解 当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件.因为a1≠0,所以1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,【迁移2】 在等比数列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.解 若q=1,则S3∶S2=3∶2,而事实上,S3∶S2=31∶6,故q≠1.解析 (1)an+2+an+1=2an等价于anq2+anq=2an.因an≠0,故q2+q-2=0,即(q+2)(q-1)=0.故选C.∴m=3,∴q3=8,∴q=2.答案 (1)C (2)B题型三 等比数列前n项和公式的函数特征应用【例3】 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.法一 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3,不是等比数列,即{an}不是等比数列.法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列.解析 (1)显然q≠1,此时应有Sn=A(qn-1),(2)当n=1时,a1=S1=4-1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×3n-1-1-4×3n-2+1=8×3n-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2x·3n-2,∵{an}是等比数列,∴n=1时也应适合an=2x·3n-2,一、素养落地1.通过学习等比数列的前n项和公式及其应用,提升数学抽象素养、数学运算和逻辑推理素养.2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.3.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q≠1和q=1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况.答案 B答案 C3.已知等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n=________.答案 64.在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.解 由题意得若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8. 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