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2020-2021学年河南省洛阳市偃师市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）
A．5 B．7 C．9 D．10
3．（3分）与根式﹣x的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
4．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
5．（3分）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．15% B．40% C．25% D．20%
7．（3分）已知a，b满足，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．（3分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．（3分）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点A的坐标为（﹣4，3），则点E的坐标为（　　）
A．（，﹣6） B．（4，﹣6） C．（2，﹣6） D．
10．（3分）如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（　　）
A．12 B．6+ C．6+2 D．6+2
二．填空题（每题3分共15分）
11．（3分）若＝6﹣a，则a的取值范围是　 　．
12．（3分）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n＝　 　．
13．（3分）若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m＝　 　．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为　 　．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为　 　．
三．解答题（共8个题75分）
16．（10分）计算或解方程．
（1）（4﹣3）+2×．
（2）x2﹣2x﹣5＝0．
17．（7分）求代数式a+的值，其中a＝﹣2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2019．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1：2．且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
19．（9分）已知k为实数，关于x的方程为x2+kx﹣4k﹣16＝0．
（1）试判断这个方程根的情况．
（2）是否存在实数k，使这个方程两个根为连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存在，请说明理由．
20．（10分）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
21．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　 　．
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　 　，n＝　 　．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣

1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ m
2
n
…
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝时，x＝　 　；
②写出该函数的一条性质　 　；
③若方程x+＝t有两个相等的实数根，则t的值是　 　．
22．（10分）如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
23．（11分）如图，△ABC中，E、F分别是边AB、AC的中点，EF＝a，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，
（1）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．
（2）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．
（3）当CQ＝CE时，直接写出EP+BP的值．
参考答案
一．选择题（每题3分共30分）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、＝|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）
A．5 B．7 C．9 D．10
解：A、当n＝5时，＝＝2，不是整数，故A不符合题意；
B、当n＝7时，＝，不是整数，故B不符合题意；
C、当n＝9时，＝＝2，不是整数，故C不符合题意；
D、当n＝10时，＝＝7，是整数，故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）与根式﹣x的值相等的是（　　）
A．﹣ B．﹣x2 C．﹣ D．
解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x＞0，
∴﹣x＝﹣x?＝，
故选：D．
4．（3分）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
解：x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
故选：D．
5．（3分）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．
故选：C．
6．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．15% B．40% C．25% D．20%
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：D．
7．（3分）已知a，b满足，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
解：∵，
∴3a＝2b+2a，
∴a＝2b，
∴＝＝；
故选：A．
8．（3分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
9．（3分）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣2，0），若点A的坐标为（﹣4，3），则点E的坐标为（　　）
A．（，﹣6） B．（4，﹣6） C．（2，﹣6） D．
解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（﹣2，3），
点（﹣2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，﹣6），
把点（4，﹣6）向左平移2个单位得到（2，﹣6），
∴E点坐标为（2，﹣6）．
故选：C．
10．（3分）如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（　　）
A．12 B．6+ C．6+2 D．6+2
解：如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD＝BD＝DO＝3，
∴BO＝6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB∥DE，
∴，
∴AB＝2DE，AO＝2EO，
∵S△DEO＝DE×EO＝，
∴S△ABO＝AB×AO＝2，
∵AB2+AO2＝OB2＝36，
∴（AB+AO）2＝36+8，
∴AB+AO＝2，
∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，
故选：D．
二．填空题（每题3分共15分）
11．（3分）若＝6﹣a，则a的取值范围是　a≤6　．
解：∵＝|a﹣6|＝6﹣a，
∴6﹣a≥0，
解得：a≤6．
故答案为：a≤6．
12．（3分）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n＝　﹣1　．
解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴n2﹣2n＝n+4，
解得，n1＝﹣1，n2＝4，
当n＝4时，＝，不是最简二次根式，
∴n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（3分）若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m＝　2021　．
解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m2＝3m﹣1，
∴2020﹣m2+3m＝2020﹣（3m﹣1）+3m
＝2020﹣3m+1﹣3m
＝2021．
故答案为2021．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为　1.5　．
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝3.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5
15．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为　　．
解：不妨设方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝x2，
∵点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，
∴b＝a，
∴方程化为ax2+ax+c＝0，
∴由韦达定理得：x1+x2＝x2＝﹣＝﹣．
∴x2＝﹣，x1x2＝＝＝××6＝．
故答案为：．
三．解答题（共8个题75分）
16．（10分）计算或解方程．
（1）（4﹣3）+2×．
（2）x2﹣2x﹣5＝0．
解：（1）原式＝4﹣3+2＝4﹣3+4＝4+；
（2）配方得：x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x﹣1）2＝6，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
17．（7分）求代数式a+的值，其中a＝﹣2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　小芳　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　＝|a|　；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2019．
解：（1）∵a＝﹣2020，
∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|，
故答案为：＝|a|；
（3）a+2
＝a+2，
∵a＝﹣2019，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，
即代数式a+2的值是2025．
18．（8分）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使其位似比为1：2．且△A1B1C1位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1所作，点A1的坐标为（0，0）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
19．（9分）已知k为实数，关于x的方程为x2+kx﹣4k﹣16＝0．
（1）试判断这个方程根的情况．
（2）是否存在实数k，使这个方程两个根为连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△＝k2+4（4k+16）
＝k2+16k+64
而无论k为何实数，总有（k+8）2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）存在实数k，使方程两个根为连续偶数．
由（1），原方程的根为，解得x1＝4，x2＝﹣k﹣4，
当﹣k﹣4＝6，得k＝﹣10；
当﹣k﹣4＝2，得k＝﹣6，
∴存在实数﹣10，﹣6，使原方程两个根为连续偶数．
20．（10分）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
解：设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件，
依题意，得：（40﹣24+x）（480﹣20x）＝7680，
整理，得：x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴40+x＝40或48；
设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件，
依题意，得：（40﹣24﹣y）（480+40y）＝7680，
整理，得：y2﹣4y＝0，
解得：y1＝0，y2＝4，
∴40﹣y＝40或36．
答：当定价为36元，40元或48元时，该商品每天获利7680元．
21．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x+的自变量x的取值范围是　x≠0　．
（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　　，n＝　　．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣

1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ m
2
n
…
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，请完成：
①当y＝时，x＝　﹣2或﹣　；
②写出该函数的一条性质　函数图象在第一、三象限且关于原点对称　；
③若方程x+＝t有两个相等的实数根，则t的值是　t＜﹣2或t＞2　．
解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）当x＝时，y＝x+＝；
当x＝3时，y＝x+＝．
故答案为：；．
（3）连点成线，画出函数图象．
（4）①当y＝时，有x+＝，
解得：x1＝2，x2＝．
故答案为：2或．
②观察函数图象，可知：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
故答案为：函数图象在第一、三象限且关于原点对称．
③∵x+＝t有两个相等的实数根，
∴t＝﹣2或t＝2．
故答案为：t＝﹣2或t＝2．
22．（10分）如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【解答】（1）证明：由作法得CA＝CD，BA＝BD，CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∴AC＝AB＝DC＝DB，
∴四边形ACDB为菱形；
（2）解：设菱形的边长为x，则CA＝CD＝AB＝x，AF＝6﹣x，
∵AB∥CE，
∴△FAB∽△FCE，
∴FA：FC＝AB：CE，即（6﹣x）：6＝x：12，解得x＝4，
∴CA＝CD＝4，
作AH⊥CD于H，如图，
∵∠ACD＝45°，
∴AH＝AC＝2，
∴四边形ACDB的面积＝AH×CD＝2×4＝8．
23．（11分）如图，△ABC中，E、F分别是边AB、AC的中点，EF＝a，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，
（1）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．
（2）当CQ＝CE时，求EP+BP的值．
（3）当CQ＝CE时，直接写出EP+BP的值．
解：（1）如图1，延长BQ交EF的延长线于点G，
∵E、F分别是边AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2a，EF∥BC，
∴△BQC∽△GQE，
∴＝＝1，
∴EG＝BC＝2a，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBQ＝∠CBQ，
∵EF∥BC，
∴∠EGQ＝∠CBQ，
∴∠PBQ＝∠EGQ，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG＝2a；
（2）如图2，延长BQ交EF的延长线于点M，
由（1）可知，△BQC∽△MQE，
∴＝＝，
∴EM＝2BC＝4a，
∴PE+PB＝PE+PM＝EM＝4a；
（3）如图2，当CQ＝CE时，则EQ＝（n﹣1）CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴＝＝n﹣1，
∴EM＝（n﹣1）BC＝2a（n﹣1），即EP+BP＝2an﹣2a．

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