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曲线运动
1.如图所示,长均为的两根轻绳,一端共同系住质量为的小球,另一端分別固定在等高的两点,两点间的距离也为。重力加速度大小为。今使小球在竖直平面内以为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为时,两根绳的力恰好均为零,则小球在最高点速率为时,每根绳的拉力大小为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，有一口竖直水井，井口距水面的高度为.井的横截面为一个圆，半径为，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度抛出与井壁发生碰撞，小球反弹前后水平分速度大小不变、方向相反，竖直分速度不变且不考虑小球的旋转和空气阻力.重力加速度为.小球能与井壁发生碰撞的次数为（ ）
A.8次 B.9次 C.10次 D.11次
3.如图所示，小球从斜面的顶端以不同的初速度沿水平方向抛出，落在倾角一定、足够长的斜面上.不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.初速度越大，小球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角越大
B.小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比
C.小球运动到距离斜面最远处所用的时间与初速度的大小无关
D.当用一束平行光垂直照射斜面，小球在斜面上的投影做匀速运动
4.如图所示，半径为的半球形碗竖直固定，直径水平，一质量为的小球（可视为质点）由直径上的某点以初速度水平抛出，小球落进碗内与内壁碰撞，碰撞时速度大小为，结果小球刚好能回到抛出点，设碰撞过程中不损失机械能，重力加速度为，则初速度大小应为( )
A. B. C. D.
5.如图所示,一轻绳通过无摩擦的小定滑轮与小球连接,另一端与套在光滑竖直杆上的小物块连接,杆两端固定且足够长,物块由静止从图示位置释放后,先沿杆向上运动。设某时刻物块运动的速度大小为,小球运动的速度大小为,轻绳与杆的夹角为。则( )
A.
B.
C.小球减小的势能等于物块增加的动能
D.当物块上升到与滑轮等高时,它的机械能最小
6.如图所示，站在岸边的人通过拉动绳子使得小船靠岸。已知船的质量为，水的阻力恒为，当轻绳与水平面的夹角为时，船的速度为，若此时人水平拉动绳子的力大小记为，则( )
A.船的加速度为 B.船的加速度为
C.人拉绳行走的速度为 D.人拉绳行走的速度为
7.2022年第24届冬季奥利匹克运动会将在北京举行．跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．如图所示为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从点由静止开始，在不借助其他外力的情况下，自由滑过一段圆心角为的光滑圆弧轨道后从点水平飞出，然后落到斜坡上的点。已知点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为，斜坡与水平面的夹角，运动员的质量重力加速度。下列说法正确的是( )
A.运动员从运动到的整个过程中机械能守恒
B.运动员到达点时的速度为
C.运动员到达点时的动能为
D.运动员从点飞出到落到点所用的时间为
8.如图所示，轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接．现连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度匀速下滑．设绳子的张力为，在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A.物体A做加速运动 B.物体A做匀速运动 C.可能小于 D.一定大于
9.跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动。图(a)为某跳台滑雪运动员从跳台a(长度可忽略不计)处沿水平方向飞出、在斜坡b处着陆的示意图,图(b)为运动员从a到b飞行时的动能随飞行时间t变化的关系图象。不计空气阻力作用,重力加速度g取,则下列说法正确的是( )
A.运动员在a处的速度大小为10 m/s
B.斜坡的倾角为30°
C.运动员运动到b处时重力的瞬时功率为
D.运动员在空中离坡面的最大距离为2.5 m
10.如图所示，长度为的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球.当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为，此时小球静止于光滑的水平面上.
（1）当球以角速度做圆锥摆运动时，水平面受到的压力是多大？
（2）当球以角速度做圆锥摆运动时，细绳的张力为多大？
答案以及解析
1.答案：A
解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r,小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为,则有。根据题述小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,有;小球在最高点速率为2v时,设每根绳的拉力大小为F,则有,联立解得,故A正确。
2.答案：B
解析：本题考查平抛运动规律的应用.抛出小球开始计时，小球第一次与墙壁碰撞的时刻，小球下落可看作完整的平抛运动，则总时间，相邻两次碰撞的时间相等，因为，所以小球能与井壁碰撞的次数为9次，故B正确，ACD错误.
3.答案：B
解析：本题考查平抛运动规律.设斜面的倾角为θ，初速度为，小球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角为α，则，故小球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角与初速度无关，选项A错误；小球落到斜面上时的速度大小，故小球落到斜面上时的速度大小与初速度的大小成正比，选项B正确；小球运动到距离斜面最远处时，小球的速度方向与斜面平行，则，解得，故小球运动到距离斜面最远处所用的时间与初速度的大小有关，选项C错误；将小球速度和重力分别沿斜面和垂直斜面分解，沿斜面方向小球做初速度不为0的匀加速直线运动，故球在斜面上的投影做初速度不为0的匀加速直线运动，选项D错误.
4.答案：C
解析：小球欲回到抛出点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向。设碰撞点和O的连线与水平夹角α，抛出点和碰撞点连线与水平夹角为β，如图，则有：
由，
得：
竖直方向的分速度为：
水平方向的分速度为：
又：
而：
所以：
所以物体沿水平方向的位移为：
又：
联立以上的方程可得：。故ABD错误，C正确。
故选：C
5.答案：B
解析：将物块的速度分解为沿轻绳方向和垂直于轻绳的方向,在沿轻绳方向的分速度等于小球的速度。在沿轻绳方向的分速度为所以故A错误,B正确。、组成的系统只有重力做功,系统机械能守恒,系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量,则小球重力势能的减小等于系统动能的增加和小球的重力势能的增加,故C错误。除重力以外其他力做的功等于机械能的增量,物块上升到与滑轮等高前,拉力做正功,机械能增加,物块上升到与滑轮等高后,拉力做负功,机械能减小。所以上升到与滑轮等高时,机械能最大,故D错误。
6.答案：C
解析：AB．对船受力分析，受四个力：重力竖直向下，水的浮力竖直向上，绳子的拉力沿着绳子与水平方向成角，水的阻力水平向右。将分解为水平向左的分力和竖直向上分力,则由牛顿第二定律得,则船的加速度为所以AB错误；CD．题中已知的船的速度v是船的实际速度，将速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度和,则人拉绳行走的速度为,则所以C正确，D错误。
故选C。
7.答案：AB
解析：A.运动员在光滑的圆轨道上的运动和随后的平抛运动的过程中只受有重力做功，机械能守恒。故A正确；
B.运动员在光滑的圆轨道上的运动的过程中机械能守恒，所以：
所以：，故B正确；
CD.设运动员做平抛运动的时间为t，则：；
由几何关系：
联立得：，
运动员从A到B的过程中机械能守恒，所以在B点的动能：
代入数据得：。故C错误，D错误。
故选：AB。
8.答案：AD
解析：由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示，
根据平行四边形定则，可有：；因B以速度匀速下滑，又α在增大，所以绳子速度在增大，则A处于加速运动，根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有：，故A、D正确，B、C错误；故选A、D.
9.答案：AC
解析：由图(b)可知,运动员在a处的动能为,从a处到b处的运动时间为,故到达b处时运动员在竖直方向的分速度为,运动员在b处的动能为,联立可解得,运动员的质量,选项A正确;运动员从a处到b处下降的高度为,水平方向上运动的距离为,因,故斜坡的倾角为45°,选项B错误;运动员到达b处时重力的瞬时功率为,代入数据可解得,选项C正确;将运动员在a处的速度和重力加速度g分别沿平行于斜坡方向和垂直于斜坡方向分解,则在垂直于斜坡方向上有,故运动员离斜坡的最大距离为,选项D错误。
10.答案：解：设小球做圆锥摆运动的角速度为时，小球对光滑水平面的压力恰好为0，此时绳对小球的拉力为，则水平方向，有
竖直方向，有
联立以上两式，解得
（1）因为，故小球未脱离水平面，则水平方向，有
竖直方向，有
联立以上两式，解得
（2）因为，故小球已经脱离水平面，设此时细绳与竖直线的夹角为α，则水平方向，有
竖直方向，有
联立以上两式，解得，与竖直方向夹角为.

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