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2020-2021学年辽宁省抚顺市抚顺县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2﹣5xy+6y2＝0
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．方程x2＝1的解集是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1
C．x1＝1 x2＝0 D．x1＝﹣1 x2＝1
4．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（　　）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
5．将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
6．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
7．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
8．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．90°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）
A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项是　 　．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是　 　．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是　 　．
14．一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根是　 　．
15．二次函数y＝2x2+4x+3的最小值是　 　．
16．关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，则m的值是　 　．
17．已知n为方程x2﹣4x+1＝0的根，则＝　 　．
18．将A（2，0）绕原点顺时针旋转30°，A旋转后的对应点是A1，再将A1绕原点顺时针旋转30°，A1旋转后的对应点是A2，再将A2绕原点顺时针旋转30°，A2旋转后的对应点是A3，再将A3绕原点顺时针旋转30°，A3旋转后的对应点是A4，…按此规律继续下去，A2020的坐标是　 　．
三、（第19题10分，第20题12分，共计22分）
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
20．解方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
四、（第21题12分，第22题12分，共计24分）
21．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
五、解答题
23．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
六、解答题
24．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定位多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
七、解答题
25．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数．
（2）若α＝60°时，点F是边AC的中点，BE与AC相交于点G，如图②，试判断BF与DE有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
八、解答题
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴两个交点是A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上的一个动点，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在y轴上时，求点M的坐标；
（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．2x2﹣5xy+6y2＝0
解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项符合题意．
C、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．方程x2＝1的解集是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1
C．x1＝1 x2＝0 D．x1＝﹣1 x2＝1
解：x2＝1，
x1＝﹣1，x2＝1．
故选：D．
4．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（　　）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185（1﹣x）2＝580．
故选：D．
5．将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
解：将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式是y＝（x+1）2，
故选：A．
6．关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
解：由题意可知：△＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1，
故选：B．
7．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2018＝2+2018＝2020．
故选：D．
8．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．90°
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）
A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AC＝BC×cot∠A＝2×＝2，AB＝2BC＝4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD＝BD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD＝AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2＝，
∴S阴影＝DF×CF＝×＝．
故选：C．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②从图象看，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故②正确，符合题意；
③从图象看，抛物线与x轴由两个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误，不符合题意；
④抛物线的对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a．
抛物线与y轴交点的纵坐标是2，即c＝2．
如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
即3a+c＜0，故④正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项是　﹣8x　．
解：一元二次方程3x2﹣8x﹣10＝0的一次项是﹣8x．
故答案是：﹣8x．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是　（1，﹣2）　．
解：抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
13．点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是　（3，﹣2）　．
解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
∴点M（﹣3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
14．一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根是　x1＝2，x2＝﹣1　．
解：方程整理得：x2﹣x﹣2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．
15．二次函数y＝2x2+4x+3的最小值是　1　．
解：∵y＝2x2+4x+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x+1）2+1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，最小值为1．
故答案为1．
16．关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，则m的值是　﹣2　．
解：∵关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，
∴m2＝4，
解得：m＝±2，
把m＝2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，
∵△＝16﹣24＜0，
∴方程x2﹣m2x+3m＝0无实数根，
把m＝﹣2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，
方程x2﹣m2x+3m＝0有实数根，
故答案为：﹣2．
17．已知n为方程x2﹣4x+1＝0的根，则＝　505　．
解：∵n是方程x2﹣4x+1＝0的一个根，
∴n2﹣4n+1＝0，
即n2+1＝4n，
∴原式＝＝505，
故答案为：505．
18．将A（2，0）绕原点顺时针旋转30°，A旋转后的对应点是A1，再将A1绕原点顺时针旋转30°，A1旋转后的对应点是A2，再将A2绕原点顺时针旋转30°，A2旋转后的对应点是A3，再将A3绕原点顺时针旋转30°，A3旋转后的对应点是A4，…按此规律继续下去，A2020的坐标是　　．
解：由题意：12次一个循环，
∵2020÷12＝168余数为4，
∴A2020的坐标与A4相同，
∵A4（﹣1，﹣），
∴A2019（﹣1，﹣），
故答案为（﹣1，﹣）．
三、（第19题10分，第20题12分，共计22分）
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
解：如下图所示：
（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，
或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．
20．解方程：
（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
解：（1）方程整理得：x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，
解得：x＝＝＝，
解得：x1＝1，x2＝﹣．
四、（第21题12分，第22题12分，共计24分）
21．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．
解：（1）当x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0），B（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点D的坐标（2，9）；
（2）连接OD，
S四边形ABCD＝S△AOD+S△COD+S△BOC＝＝30．
22．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？
解：（1）由题意得：y＝x＝﹣x2+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤25；
（2）y＝﹣x2+20x
＝﹣（x﹣20）2+200，
∵20＜25，
∴当x＝20时，y有最大值200平方米
即当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大．
五、解答题
23．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，
所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
六、解答题
24．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（3）当售价定位多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
解：（1）由题意，得
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
答：y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）由题意，得
8000＝﹣10x2+1400x﹣40000，
解得：x1＝60，x2＝80．
当x＝60时，销售成本为：40（1000﹣60×10）＝16000元＞10000元舍去，
当x＝80时，销售成本为：40（1000﹣80×10）＝8000元＜10000元．
答：销售单价应定为80元；
（3）∵y＝﹣10x2+1400x﹣40000．
∴y＝﹣10（x﹣70）2+9000．
∴a＝﹣10＜0，y有最大值．
∴当x＝70时．y最大＝9000元．
七、解答题
25．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将Rt△ABC绕着点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数．
（2）若α＝60°时，点F是边AC的中点，BE与AC相交于点G，如图②，试判断BF与DE有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
解：（1）如图①，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）BF＝DE，BF∥DE，
理由如下：如图②，∵点F是边AC中点，
∴AF＝CF＝BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°＝∠A＝∠EDC，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF＝CF，△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB＝EC，
在△CDE和△DCF中，
，
∴△CDE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，
∴DF＝BE，
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF∥DE．
八、解答题
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴两个交点是A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线上的一个动点，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在y轴上时，求点M的坐标；
（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点M作MH⊥AB于点H，作MG⊥y轴于点G，
∴∠MHA＝∠MGD＝90°，
∴∠GMH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝∠AMD，
∴∠AMH＝∠DMG＝90°﹣∠GMA，
又MA＝MD，
∴△MAH≌△MDG（AAS），
∴MH＝MG，
即M点的横坐标和纵坐标相同，设M点的坐标为（a，a），
∴a＝﹣a2+2a+3，
解得，
∴；
（3）抛物线对称轴是，
①如图所示，过点Q作QG垂直于抛物线的对称轴与点G，设BC交函数的对称轴于点R，
∵四边形PQBC为平行四边形，则PQ＝BC，∠BRP＝∠QPB，则∠CPB＝∠PQG，
∵∠COB＝∠PGQ＝90°，
△COB≌△PGQ（AAS），
∴CO＝PG＝3，GQ＝OB＝3，
∴点Q的横坐标为4，则点Q纵＝﹣42+2×4+3＝﹣5，
即GE＝5，PE＝2，
∴P1（1，﹣2）；
②如图所示，过点Q作QH垂直于函数的对称轴于点H，
则Q点的横坐标为﹣2，代入抛物线解析式中可得Q纵＝﹣5，
∴EH＝5，PE＝8，
∴P2（1，﹣8）；
③如图4所示，点P是对称轴与x轴的交点，
∴P3（1，0）．
综上，点P的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣8）或（1，0）．

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