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4　电势能和电势
1．静电力做功的特点
静电力做功与电荷经过的路径无关，与电荷的起始位置和终止位置有关．
静电力做功的特点，与你以前学过的哪个力做功的特点最为相似？
提示：重力．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能叫做电势能．
(2)静电力做的功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．①静电力对电荷做正功，电势能减少．②静电力对电荷做负功，电势能增加，其公式为：WAB＝EpA－EpB.
(3)数值：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零电势能位置时所做的功．
(4)电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为零．
夏天的雨季，电闪雷鸣，被雷击毁的动物、植物、建筑物等常见诸报端，说明雷电蕴藏着巨大的能量．美国科学家富兰克林就曾经收集过雷电，不幸被雷电击伤．你知道从天而降的闪电能否做功吗？
提示：可以做功．云层由于相互摩擦产生了静电，当云层中的电荷积累到一定程度，而又有放电路径时，就会放电，形成闪电．这种电荷的移动是在静电力作用下进行的，静电力对电荷做了功，因此说闪电做了功．
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能Ep与它的电荷量q的比值，叫做这一点的电势．
(2)定义式：φ＝，单位：伏特，符号为V，即1
V＝1
J/C.
(3)物理意义：描述电场能的性质的物理量．
(4)相对性：与电势能一样具有相对性，规定了零电势点之后，才能确定电场中各点的电势．在物理学的理论研究中常取离场源电荷无限远处或大地上的电势为零．
(5)标量：只有大小没有方向，但有正负值，比零电势点高为正值，比零电势点低为负值．
(6)判断电势高低的方法：沿着电场线方向电势逐渐降低．
在等量异种点电荷形成的电场中，正电荷附近的电势一定比负电荷附近的电势高，这句话对吗？
提示：对．
4．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面．在同一个等势面上移动电荷时静电力不做功．
(2)特点：电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．
(3)实例：孤立的点电荷电场的等势面是一簇以点电荷位置为球心的同心球面，匀强电场的等势面是一簇平行平面．
电场中等势面能相交吗？为什么？
提示：不能．不同等势面电势不相等，若两等势面相交，则在交点处两等势面电势相等，这与实际相矛盾．所以两等势面不相交．
考点一
对静电力做功的理解
1．对电场力做功特点的理解
(1)电场力对电荷所做的功，与电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关．该结论既适用于匀强电场又适用于非匀强电场，即适用于任何静电场．
(2)无论带电体在电场中做直线运动还是做曲线运动，无论带电体只受电场力作用还是受多个力作用，无论电场力做正功还是做负功，电场力做功的特点不变．
2．电场力做功正负的判断
(1)根据电场力和位移方向的夹角判断，此法常用于匀强电场中恒定电场力做功情况的判断．夹角为锐角电场力做正功，夹角为钝角电场力做负功．
(2)根据电场力和瞬时速度方向的夹角判断，此法常用于判断曲线运动中变化电场力的做功情况，夹角是锐角电场力做正功，夹角是钝角电场力做负功，电场力和瞬时速度方向垂直电场力不做功．
(3)根据电势能的变化情况判断，由电场力做功与电势能变化的关系可知：若电势能增加，则电场力做负功；若电势能减小，则电场力做正功．
(4)若物体只受静电力作用，可根据动能的变化情况判断，根据动能定理，若物体的动能增加，则电场力做正功；若物体的动能减少，则电场力做负功．
静电力做功和重力做功尽管有很多相似特点，但因为地球产生的重力场只会对物体产生引力，而电场对电场中的电荷既可以产生引力，也可以产生斥力，所以计算电场力的功时要注意电荷的电性，移动的方向，场强的方向等，以便正确确定功的正负.
【例1】如图所示，在场强为E的水平匀强电场中，一根长为l的绝缘杆，两端分别固定着带有电量＋q和－q的小球(大小不计)．现让绝缘杆绕中点O逆时针转动α角，则转动过程中两个带电小球克服电场力做功为多少？
解答本题注意以下三点：
(1)搞清楚电场力的方向与位移方向之间的夹角．
(2)判断做正功还是做负功．
(3)根据求总功的方法求解．
【答案】　qEl(1－cosα)
【解析】　电场力对带正电小球做功为W1＝－qE·(1－cosα)．电场力对带负电小球做功为W2＝－qE·(1－cosα)．转动过程中电场力对两小球做的总功为W＝W1＋W2＝－qEl(1－cosα)，即两个带电小球克服电场力做功为qEl(1－cosα)．
(多选)下列说法正确的是(　BC　)
A．电荷从电场中的A点运动到了B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B．电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则说明电场力做功为零
C．正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功
D．电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
解析：电场力做功和电荷运动路径无关，所以选项A错误；电场力做功只和电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点出发又回到了该点，电场力做功为零，B正确；正电荷沿电场线的方向运动，则正电荷受到的电场力和电荷的位移方向相同，故电场力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线的方向运动，电场力对负电荷做正功，C正确；电荷在电场中虽然有电场力做功，但是电荷的电势能和其他形式的能之间的转化满足能量守恒定律，D错．
考点二
对电势能的理解
1．电势能的特点
(1)电势能是由电场和电荷共同决定的，属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能．
(2)电势能是标量，有正负但没有方向，其正负表示大小．
(3)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关．确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置．
2．电势能增减的判断方法
(1)做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大．
(2)电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小．
3．电势能与重力势能的比较
【例2】　有一带负电的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10－4
J．从B点移到C点时，电场力做功9×10－4
J，问：
(1)若以A为零势能点，B、C两点的电势能各为多少？A、C间的电势能之差为多少？
(2)若以B为零势能点，A、C两点的电势能各为多少？A、C间的电势能之差为多少？
解答本题注意以下三点：
(1)根据电场力做功的正负判断电势能的增减．
(2)根据电场力做功的数值计算电势能．
(3)注意零势能点是怎样规定的．
【答案】　(1)6×10－4
J　－3×10－4
J　3×10－4
J
(2)－6×10－4
J　－9×10－4
J　3×10－4
J
【解析】　(1)从A点移到B点，克服电场力做功6×10－4
J，电势能增加6×10－4
J，由于A点的电势能为零，故B点电势能为6×10－4
J．从B点移到C点，电场力做功9×10－4
J，电势能减少9×10－4
J，故C点电势能为－3×10－4
J．由于A为零势能点，故A、C间的电势能之差为3×10－4
J.
(2)以B点为零势能点，将电荷从A点移到B点，电势能增加6×10－4
J，B点电势能为零，故A点电势能为－6×10－4
J．从B点移到C点，电势能减少9×10－4
J，故C点电势能为－9×10－4
J，A、C间的电势能之差为3×10－4
J.
总结提能
判断电势能增减的两个常用方法
(1)做功判断法
无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减少；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大．
(2)电场线判断法
正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
a和b为电场中的两个点，如果把q＝－2×10－8
C的负电荷从a点移动到b点，电场力对该电荷做了4×10－7
J的正功，则该电荷的电势能(　C　)
A．增加了4×10－7
J
B．增加了2×10－8
J
C．减少了4×10－7
J
D．减少了8×10－15
J
解析：电场力做正功电势能减小，而且W＝ΔE，即C选项正确．
考点三
对电势的理解
1．电势的特点
(1)电势具有相对性：电势是相对的，电场中某点的电势高低与零电势点的选取有关．通常将离场源电荷无穷远处或地球表面选为零电势点．
(2)电势是标量：电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了电势零点后，电场中各点的电势可能是正值，也可能是负值．正值表示该点的电势高于零电势；负值表示该点的电势低于零电势．显然，电势的正负只表示大小，不表示方向．
(3)电势的固有性：电势φ是表示电场能量属性的一个物理量，电场中某点的电势大小是由电场本身决定的，与在该点是否放入电荷及电荷的电性和电荷量均无关，这和许多用比值定义的物理量相同，如前面学过的电场强度E＝.
2．电势高低的判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．
(2)场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低．
(3)电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．
(4)电场力做功判断法：
①在两点间移动正电荷，如果电场力做正功，则电势能减少，电势降低；如果电场力做负功，则电势能增加，电势升高．
②在两点间移动负电荷，如果电场力做正功，则电势能减少，电势升高；如果电场力做负功，则电势能增加，电势降低．
【例3】　(多选)如图所示，关于电场中的A、B两点，下列说法中正确的是(　　)
A．电势φA>φB，场强EA>EB
B．电势φA>φB，场强EAC．将＋q电荷从A点移到B点静电力做了正功
D．将－q电荷分别放在A、B两点时具有的电势能EpA>EpB
解答本题注意以下两点：
(1)沿电场线的方向，电势降低．
(2)电场线的疏密表示电场的强弱．
【答案】　BC
【解析】　由于B处电场线密集，所以场强EAφB，A选项错误，B选项正确．将＋q电荷从A点移到B点静电力做了正功，C选项正确．负电荷在电势高的A点具有的电势能反而少，所以EpA一带正电的检验电荷，仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，其速度v随位置x变化的图象如图所示．x＝x1和x＝－x1处，图线切线的斜率绝对值相等且最大．则在x轴上(　B　)
A．x＝x1和x＝－x1两处，电场强度相同
B．x＝x1和x＝－x1两处，电场强度最大
C．x＝0处电势最小
D．从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电荷的电势能逐渐增大
解析：正检验电荷仅在电场力作用下沿x轴从x＝－∞向x＝＋∞运动，速度先减小后增大，所受的电场力先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，则知x＝x1和x＝－x1两处电场强度的方向相反，电场强度不同，选项A错误；由v?t图象的斜率可比较电场强度的大小，x＝x1和x＝－x1两处斜率最大，则电场强度一定最大，选项B正确；电场线方向先沿－x轴方向，后沿＋x轴方向，根据顺着电场线方向电势降低可知，电势先升高后降低，则x＝0处电势最大，选项C错误；从x＝x1运动到x＝＋∞过程中，电场力沿＋x轴方向，则电场力做正功，电荷的电势能逐渐减小，选项D错误．
考点四
对等势面的理解
1．等势面的特点
(1)在等势面内的任意两点间移动电荷，电场力不做功．
(2)在空间中两等势面不相交．
(3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面．
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏．
(5)等势面是为描述电场的性质而假想的面．
(6)等势面的分布与零电势点的选取无关．
2．等势面与电场线的比较
电场线
等势面
物理意义
形象描述电场强度的分布
形象描述电场中各点电势的分布
来源
从正电荷(或无穷远处)发出，终止于无穷远处(或负电荷)
电场中电势相同的各点构成的面
图线特点
带箭头的不闭合的曲线，两电场线不相交
可以闭合，也可以不闭合，不同等势面不相交
描述电场
曲线上某一点的切线方向为该点的场强方向，疏密表示场强大小
电场方向由高电势指向低电势，且与等势面垂直．等差等势面的疏密表示场强大小
做功情况
电荷沿电场线移动时电场力必做功
电荷沿等势面移动时电场力不做功
联系
(1)沿电场线方向电势降低(2)电场线与等势面垂直(3)由一种图线可画出另一种图线
【例4】　(多选)如图所示，实线为电场线，虚线为等差等势面，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，则下列关系中正确的有(　　)
A．φA>φB>φC　　　　　
B．EC>EB>EA
C．φA<φB<φC
D．EC解答本题注意以下两点：
(1)沿着电场线的方向电势降低．
(2)等差等势面的疏密表示场强大小．
【答案】　AB
【解析】　A、B、C三点处在一根电场线上，沿着电场线的方向电势降低，故φA>φB>φC，A正确，C错误；由等差等势面的密集程度可看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，B正确，D错误．
总结提能
等势面的应用
(1)利用等势面和电场线垂直以及沿电场线方向电势降低的特点可判断电场线的方向．
(2)利用等差等势面的密集程度也可以比较场强大小，密大疏小．
(3)在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功．
(多选)位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示，ab、cd分别是正方形两条边的中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、ab上的点．则下列说法正确的是(　AB　)
A．P、O两点的电势关系为φP＝φO
B．P、Q两点电场强度的大小关系为EQC．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零
D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功
解析：根据电场叠加原理，由题图可知ab、cd两中垂线上各点的电势都为零，所以P、O两点的电势相等，选项A正确；电场线的疏密表示场强的大小，根据题图知EP>EQ，选项B正确；四个点电荷在O点产生的电场相互抵消，场强为零，故在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力为零，选项C错误；P、Q电势相等，若将某一负电荷由P点沿着题图中曲线PQ移到Q点，电场力做功为零，选项D错误.
1．如图所示，是以电荷＋Q为圆心的一组同心圆(虚线)，电场中有A、B、C、D四点．现将一带正电荷的点电荷由A点沿不同的路径移动到D点．沿路径①做功为W1，沿路径②做功为W2，沿路径③做功为W3，则(　B　)
A．W2B．W1＝W2＝W3
C．W2>W3>W1
D．因不知道＋q的具体数值，故无法进行判断
解析：因为电场力做功只与初、末位置有关，而与电荷运动路径无关，故沿三条路径将点电荷由A移动到D的过程中，电场力做功相等，选项B正确．
2．(多选)如图所示，虚线为电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等．一个质子在A点的电势能小于其在B点的电势能，下列说法中正确的是(　BD　)
A．A点的电势比B点的高
B．A点的电势比B点的低
C．质子在A点所受的电场力比B点的大
D．质子在A点所受的电场力比B点的小
解析：正电荷在电场中电势高的位置，电势能大，由于带正电的质子在A点的电势能小于其在B点的电势能，则知A点的电势比B点的低，故A错误，B正确；等差等势面的疏密代表场强的大小，故B点的场强大于A点的场强，质子在A点所受的电场力比B点的小，故C错误，D正确．
3．带电金属棒周围电场线的分布如图所示，A、B是电场中的两点，OA>OB.下列说法正确的是(　D　)
A．A点的电势高于B点的电势
B．A点的电场强度大于B点的电场强度
C．负电荷从A点至B点，电场力一直做正功
D．负电荷在A点的电势能大于其在B点的电势能
解析：由电场线的特点可知，金属棒两侧的电场是对称的，由于OA>OB，故O、A之间的电势差大于O、B之间的电势差，根据沿电场线的方向电势降低可知，A点的电势低于B点的电势，故A错误；根据电场线疏密程度表示电场的强弱可知，B点的电场强度大，故B错误；由于不知道负电荷从A点至B点的运动路径，所以不能判断电场力是否一直做正功，故C错误；负电荷在电势高的位置电势能小，所以在A点的电势能大于其在B点的电势能，故D正确．
4．在两个等量负点电荷所形成的电场中，设这两个点电荷连线中点为a，该连线的中垂线上有一点b，这两点的电势分别为φa、φb，＋q在a、b两点的电势能为Epa、Epb
，则下列说法中正确的是(　D　)
A．a点场强为零，φa＜φb，Epa＞Epb
B．a点场强不为零，φa＜φb，Epa＞Epb
C．a点场强不为零，φa＝φb，Epa＝Epb
D．a点场强为零，φa＜φb，Epa＜Epb
解析：a点为电荷连线的中点，a点的场强是两个完全相同的电荷在该点处产生场强的矢量和，故Ea＝0；从两等量负电荷的等势面可知，a点处的电势最低，所以φa＜φb；电势越低的地方，其电势能越低，故Epa＜Epb，所以选项D正确．
5．(多选)电子束焊接机中的电子枪如图所示，K为阴极，A为阳极，阴极和阳极之间的电场线如图中虚线所示，A上有一小孔，阴极发射的电子在阴极和阳极间电场作用下聚集成一细束，以极高的速率穿过阳极上的小孔，射到被焊接的金属上，使两块金属熔化而焊接到一起．若不考虑电子的重力，下列说法中正确的是(　AD　)
A．A极的电势高于K极的电势　
B．电子克服静电力做功
C．电子的电势能不断增加
D．电子的动能不断增加
解析：在电场中，沿着电场线电势越来越低，因此A极的电势比K极的电势高，A正确；电子受力的方向与电场线的方向相反，因此在运动过程中，静电力对电子做正功，电子的电势能减小，B、C错误；根据动能定理，在运动过程中，只有静电力做功，电子的动能增加，D正确．
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