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等比数列
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模块一：等比数列与
2
考点1：等比数列基本量
2
模块二：等比数列的性质
4
考点2：等比数列性质
5
模块三：等比数列的判定
6
考点3：等比数列的证明
6
课后作业：
8
等比数列
模块一：等比数列与
通项的主要公式：⑴；⑵．
前项和的公式：⑴；⑵．
考点1：等比数列基本量
例1.（1（2019春?海州区校级月考）在等比数列{an}中，a4、a12是方程x2+3x+1＝0的两根，则a8＝（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．±3
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，
∴a4?a12＝1，a4+a12＝﹣3，∴a82＝a4?a12＝1，a4＜0，a12＜0．
∴a8＝±1，又在等比数列中偶数项同号，
∴a8＝﹣1，
故选：B．
（2）（2019春?五华区校级月考）已知{an}是正项等比数列，若a1是a2，a3的等差中项，则公比q＝（　　）
A．﹣2
B．1
C．0
D．1，﹣2
【解答】解：由题意得，2a1＝a2+a3，
∴q2+q﹣2＝0，解得q＝﹣2或q＝1，
∵{an}是正项等比数列，q＞0，
∴q＝1．
故选：B．
（3）（2019春?镇海区校级月考）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝3，S3＝13，则a6＝（　　）
A．243或
B．81或
C．243
D．
【解答】解：∵a2＝3，S3＝13，
∴3+3q＝13，
解得q＝3或q，
∴a6＝a3q3＝243或，
故选：A．
（4）（2017秋?湖南月考）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，若a8＝3，则a2+a5为（　　）
A．3
B．6
C．8
D．9
【解答】解：Sn是等比数列{an}的前n项和，设公比为q，
S3，S9，S6成等差数列，
可得2S9＝S3+S6，
若q＝1，则18a1＝3a1+6a1，即a1＝0不成立；
由q≠1可得2?（1﹣q3）（1﹣q6）即有2q9＝q3+q6，
即2q6﹣q3﹣1＝0，
则q3，q3＝1（舍去），
∵a8＝3，
∴a56，
∴a212，
∴a2+a5＝12﹣6＝6，
故选：B．
（5）（2018秋?广陵区校级月考）已知等比数列{an}的各项均为正数，a2+a3+a4＝14，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a1a2a3…a10＝（　　）
A．45
B．235
C．245
D．255
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a2+a3+a4＝14，且4a1，2a2，a3成等差数列，
∴a1q（1+q+q2）＝14，4a1+a3＝4a2，即a1（4+q2）＝4a1q．
解得a1＝1，q＝2．
∴an＝2n﹣1．
则a1a2a3…a10＝20+1+2+…+9245．
故选：C．
（6）（2017秋?长安区校级月考）在数列{an}中，已知a1+a2+…+an＝2n﹣1，则a12+a22+…+an2＝　　．
【解答】解：∵在数列{an}中，Sn＝a1+a2+…+an＝2n﹣1，
∴a1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，
当n＝1时，上式成立，
∴，∴，
∴a12+a22+…+an2＝1+4+42+…+4n﹣1．
故答案为：．
模块二：等比数列的性质
⑴若是等比数列，则．
⑵若是等比数列，，，，，当时，，
特别地：当时，．
⑶若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列：，，为等比数列，公比为．
⑷若是等比数列，则（为非零常数）仍然是等比数列，公比为；（保证有意义）；
（等差数列也有类似的性质，在线性变换下仍然保持等差）；
若是正项的等比数列，则是等差数列，公差为；
⑸若与均为等比数列，则也为等比数列．
⑹
当都非零时，它们构成等比数列，公比为．特别地，等比数列相邻两项的和构成等比数列，即构成公比为的等比数列．
考点2：等比数列性质
例2.（1）（2017秋?巢湖市校级月考）若等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则　
．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，
∴a1?a9，∴a1?（a1+8d），化为：d2＝a1d，
解得：d＝0，或a1＝d≠0．
若d＝0时，则1．
若a1＝d≠0时，则．
故答案为：1或．
（2）（2017春?溧阳市校级月考）已知数列1，a，b，4成等差数列﹣1，c，d，e，﹣4成等比数列，则的值为　　．
【解答】解：由题意可得：a+b＝1+4＝5，d2＝﹣1×（﹣4）＝4，解得d＝﹣2．（d＝2舍去）．
∴．
故答案为：．
（3）（2018秋?新华区校级月考）各项均为实数的等比数列{an}，前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝　　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S10＝1，S30＝7，
∴1，7，
化为：q20+q10﹣6＝0，解得q10＝2，∴1．
则S4024﹣1＝15．
故答案为：15．
例3.（2018秋?新罗区校级月考）等比数列{an}的前n项和，则t+a3的值为　　．
【解答】解：n＝1时，a1＝S1＝1+t．
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n﹣1+t﹣（3n﹣2+t）＝2×3n﹣2．
∵数列{an}为等比数列，∴上式对于n＝1时也成立，可得：1+t，解得t．
∴t+a3．
故答案为：．
模块三：等比数列的判定
等比数列的常用判定方法：是等比数列，
⑴
公式法：
①利用通项公式是常数；②前项和公式，，是常数；
⑵
定义法：
，（为常数且）（如果考虑，需要验证）．
⑶
等比中项法：，，但应注意这里．
考点3：等比数列的证明
例4.在数列中，，．求证是等比数列，并求的通项公式．
【解答】条件得，又时，，
故数列构成首项为，公比为的等比数列．从而，即．
例5.已知数列的首项，，．证明：数列是等比数列，并求．
【解答】∵，∴
，
∴，又，∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
故，解得．
例6.已知数列中，．设，
证明是等比数列，并求的通项公式．
【解答】由已知得．
，即．
，又，故．
所以是首项为，公比为4的等比数列，
，．
例7.（2018秋?南山区校级期中）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求证：是等比数列，并求其前项和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，．
，，
解得．
．
（2）证明：．
是等比数列，首项与公比都为．
其前项和．
课后作业：
1．（2020?2月份模拟）已知数列是等比数列，若，则　　
A．2
B．4
C．
D．
【解答】解：根据题意，数列是等比数列，设其公比为，
若，则；
故选：．
2．（2019?全国三模）等比数列的各项均为正数，，，则　　
A．14
B．21
C．28
D．63
【解答】解：设等比数列的公比为，，，
，解得．
则．
故选：．
3．（2018?衡阳一模）记为正项等比数列的前项和，若，则的最小值为　　．
【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为，第二项为，公比为，
若，则有
，
又由数列为正项的等比数列，则，
则有，
则
；
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为12；
故答案为：12．
4．（2020春?兴宁区校级期末）在数列中，，．
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解答】（1）证明：数列中，，．
所以：
又，
是首项为4，公比为2的等比数列，
，；
（2）由于，
，
所以，
，
，
．
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