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北师版数学九年级上斜边中线定理的解题应用
斜边中线定理是一个非常重要的解题工具，也是中考重要的考点，下面结合2020年考题把定理的应用梳理归纳，供学习时借鉴.
1.探求斜边上的中线长
例1(2020?湖北省黄石)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E.F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH=8，则CH的值为
（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴EF=AB（三角形中位线定理），CH=AB（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半），∴EF=CH，∵EF+CH=8，∴CH=EF=×8=4，∴选B．
点评：利用三角形中位线定理，斜边中线定理，证得EF=CH是解题的关键.
2.探求点的坐标
例2(2020?湖北省荆州市)如图2，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC=1，则点A的坐标为（　　）
A．（，）
B．（，1）
C．（2，1）
D．（2，）
解析：如图2，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA，∵C为OA的中点，∴BC=OA，
∴AD=BC=1，OA=2，根据勾股定理，得OD=
=，∴点A的坐标为（，1），∴选B.
点评：利用斜边中线定理求得斜边OA的长是解题的关键，其次，活用勾股定理求得线段的长，灵活将线段长转化为点的坐标也是解题需要熟练掌握的基本功.
3.探求中位线的长
例3(2020?浙江省宁波市)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC=8，BC=6，则BF的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=
=10.
又∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=AB=5．∵F为DE中点，BE=BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=
CD=2.5．∴选B.
点评：解题的基本思路是：利用勾股定理求得AB；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；确定线段BF是△CDE的中位线，根据三角形中位线定理即可得解．
4.探求三角形的面积
例4（2020?辽宁省丹东市）如图4，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD=AC，∠BAD=105°，
点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD=8，则△BEF的面积是　　．
解法1：如图4，过点E作EH⊥BF于H．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4，∵点E和点F分别是AC和CD的中点，∴EF=AD=2，EF∥AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，∵∠ABC=90°，AE=EC，∴BE=AE=EC=2，∴EF=BE.∵∠BAD=105°，∠DAC=90°，∴∠BAE=15°，∴∠EAB=∠EBA=15°，∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，∴∠EFB=∠EBF=30°，∵EH⊥BF，∴EH=EF=，
FH=EH=，∴BF=2FH=2，∴==2．
解法2：如图5，过点B作BH⊥EF，交EF的延长线于点H．∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4，∵点E和点F分别是AC和CD的中点，∴EF=AD=2，EF∥AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，∵∠ABC=90°，AE=EC，∴BE=AE=EC=2.∵∠BAD=105°，∠DAC=90°，∴∠BAE=15°，∴∠EAB=∠EBA=15°，∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，∴∠BEH=60°,
∠EBH=
30°，∴EH=BE=，BH=EH=，∴==2．
点评：两种解法各有千秋，解法1侧重等腰三角形底边上的高，解法2侧重等腰三角形腰上的高，解答遵循的基本原理都是三角形中位线定理，斜边中线定理，勾股定理，三角形面积公式，因此常态学习时自觉重视综合解题能力，知识综合能力，都会利于解题思路的寻找，都会极大提升解题效率.

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