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题型一　运动的合成与分解
1.在某次杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速运动，经过时间t，猴子沿杆向上运动的高度为h，人顶杆沿水平地面运动的距离为x，如图所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是(　　)
A．猴子相对于地面的运动轨迹为直线
B．猴子相对于地面做变加速曲线运动
C．t时刻猴子相对于地面的速度大小为v0＋at
D．t时间内猴子相对于地面的位移大小为
解析：猴子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子所受合力方向与运动方向不在一条直线上，所以猴子相对于地面的运动轨迹为曲线，选项A错误；因为猴子受到的合外力恒定(合加速度恒定)，所以猴子相对于地面做匀变速曲线运动，选项B错误； t时刻猴子相对于地面的速度大小为v＝＋（at）2)，选项C错误；t时间内猴子相对于地面的位移大小为s＝，选项D正确．
答案：D
2.(多选)如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则(　　)
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
解析：船在沿河岸的方向上做匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在河岸方向上的位移是相同的；在垂直于河岸的方向上，在相等的时间间隔内(参照船在沿河岸方向上的时间)，开始时位移的变化逐渐增大再逐渐减小，所以速度先增大后减小；因中间那段时间速度较大，所以与船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了，选项B、D正确．
答案：BD
3.在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小铁球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小铁球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是(　　)
A．第一次实验中，小铁球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小铁球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
解析：第一次实验中，小铁球受到沿着速度方向的引力作用，做直线运动，并且引力随着距离的减小而变大，加速度变大，则小铁球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小铁球所受的磁铁的引力方向总是指向磁铁，是变力，故小球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确．
答案：D
题型二　平抛运动规律的应用
4.如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则(　　)
A．小球在空中飞行时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．小球的位移方向垂直于AC
D．CD与DA的比值为
解析：将小球在D点的速度进行分解，水平方向的分速度v1等于平抛运动的初速度v0，即v1＝v0，落到斜面上时的速度v＝，竖直方向的分速度v2＝，则小球在空中飞行时间t＝＝.由图可知平抛运动的位移方向不垂直AC，D、A间水平距离为x水平＝v0t，故DA＝；C、D间竖直距离为x竖直＝v2t，故CD＝，得＝.
答案：D
5.如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O.一小球(可视为质点)从与圆心等高的半圆形轨道上的A点以速度v0水平向右抛出，落于轨道上的C点．已知OC与OA的夹角为θ，重力加速度为g，则小球从A运动到C的时间为(　　)
A.tan 　　　　　　 B.cot
C.tan D.cot
解析：由几何关系可以知道，AC与水平方向的夹角α＝，根据平抛运动的规律知tan α＝＝＝，得t＝＝cot ，所以D项正确，A、B、C项错误．
答案：D
6.如图所示，网球发球机水平放置在距地面某处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射网球分别在墙上留下A、B两点印迹．测得OA＝AB.OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．两球发射的初速度：vOA∶vOB＝1∶2
B．两球碰到墙面前运动的时间：tA∶tB＝1∶2
C．两球碰到墙面时的动量可能相同
D．两球碰到墙面时的动能可能相等
解析：设＝＝h，忽略空气阻力，则做平抛运动，竖直方向：h＝gt，2h＝gt，整理可以得到：tA∶tB＝1∶，水平方向为匀速运动，而且水平位移大小相等，则x＝vOAtA，x＝vOBtB，整理可以得到：vOA∶vOB＝∶1，故A、B错误；动量为矢量，由图可知，二者与墙碰撞时其速度方向不相同，故二者碰到墙面时的动量不可能相同，故C错误；设两球的质量相等，均为m，从抛出到与墙碰撞，根据动能定理有：mgh＝EkA－mv，mgh＝EkB－mv，整理可以得到：EkA＝mgh＋mv，EkB＝mgh＋mv，由于m、h以及初速度的大小等具体数据未知，可能存在EkA＝EkB，故D正确．
答案：D
7．在一次铅球投掷比赛中，铅球离手时的初速度为v0，落地时的末速度为v，不计空气阻力，能正确表示铅球速度变化过程的图是(　　)
解析：斜抛运动由于只受重力，故水平分速度保持不变，而竖直分速度均匀变化；速度矢量的变化方向等于加速度的方向，故矢量的变化方向应沿竖直方向；铅球从某一高度抛出时，落地时速度大小大于抛出时初速度大小，则A正确，B、C、D错误；故选A.
答案：A
题型三　圆周运动问题
8.(多选)如图，在角锥体表面上放一个物体，角锥绕竖直轴转动．当角锥体旋转角速度增大时，物体仍和角锥体保持相对静止，则角锥对物体的(　　)
A．支持力将减小 B．支持力将增大
C．静摩擦力将不变 D．静摩擦力将增大
解析：对物体受力分析如图所示，物体受到重力、支持力和静摩擦力三个力的作用，物体做匀速圆周运动，沿水平和竖直方向正交分解，水平方向Ffcos θ－FNsin θ＝mω2r，竖直方向Ffsin θ＋FNcos θ＝mg，联立以上两式解得Ff＝mgsin θ＋mω2rcos θ，FN＝mgcos θ－mω2rsin θ，当角速度增大时，支持力减小，静摩擦力增大，故A、D正确，B、C错误．
答案：AD
9.(多选)如图所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径旋转，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止．已知OA与竖直方向的夹角θ＝53°，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.下列说法正确的是(　　)
A．圆环旋转角速度的大小为
B．圆环旋转角速度的大小为
C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
解析：当B与圆环间恰好没有摩擦力时，B与圆心连线与竖直方向的夹角为－θ＝37°.对B球受力分析如图所示，根据牛顿第二定律得mgtan 37°＝mrBω2，又rB＝Rsin 37°，解得ω＝，则A项正确，B项错误．对A球受力分析如图所示，则竖直方向上：NAcos 53°＋fAsin 53°－mg＝0，水平方向上：NAsin 53°－fAcos 53°＝mrAω2，rA＝Rsin 53°，解得fA＝mg，则C项错误，D项正确．
答案：AD
10．(多选)一辆汽车在轨道半径为R的弯道路面做圆周运动，弯道与水平面的夹角为θ，如图所示，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，关于汽车在运动过程中的表述正确的是(　　)
A．汽车的速率可能为
B．汽车在路面上不做侧向滑动的最小速率为
C．汽车在路面上不做侧向滑动的最大速率为
D．汽车在路面上不做侧向滑动的最小速率为
解析：车与路面间无摩擦力，重力的一个部分提供向心力，如图所示，根据向心力公式得mgtan θ＝，解得v＝，故A正确；汽车在路面上不做侧向滑动，最大静摩擦力沿斜面向下，则有Ncos θ＝mg＋μNsin θ，Nsin θ＋μNcos θ＝m，解得速度最大，vmax＝，故C正确；汽车在路面上不做侧向滑动，最大静摩擦力沿斜面向上，则有Ncos θ＋μNsin θ＝mg，Nsin θ－μNcos θ＝m，解得速度最小，vmin＝，故D正确，B错误．
答案：ACD
题组四　综合测
11.如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A和B.小球A和B的质量之比＝.当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态．管子的内径粗细不计，重力加速度为g.试求：
(1)拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ；
(2)小球A转动的周期．
解析：(1)设细绳的拉力为F，小球B处于平衡状态有
F＝mBg，
在竖直方向上，小球A处于平衡状态，有Fcos θ＝mAg，
解得cos θ＝＝，
所以拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ＝60°.
(2)对于小球A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有
Fsin θ＝mA，
r＝lsin θ，
解得小球A的线速度为v＝.
又T＝，
则小球A转动的周期T＝π.
答案：(1)60°　(2)π
12．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，B点距转轴的水平距离和距C点竖直距离相等(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为0，求此时角速度ω2的大小；
(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算，在坐标图中画出细线AC上张力FT随角速度的平方ω2变化的关系图象．
解析：(1)细线AB上张力恰为零时有：
mgtan 37°＝mωlsin 37°，
解得：ω1＝＝ rad/s.
(2)细线AB恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得：
cos θ′＝，θ′＝53°，mgtan θ′＝mωlsin θ′，
此时ω2＝ rad/s.
(3)ω≤ω1时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力．
FTcos θ＝mg，FT＝＝12.5 N，
ω1≤ω≤ω2时细线AB松弛，
细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力，FTsin α＝mω2lsin α，FT＝mω2l.
ω＞ω2时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力．
FTsin θ′＝mω2lsin θ′，FT＝mω2l，
综上所述ω≤ω1＝ rad/s时，FT＝12.5 N不变，
ω＞ω2时，FT＝mω2l＝ω2(N)
FT-ω2关系图象如图所示．
答案：(1) rad/s　(2) rad/s　(3)见解析图
13.如图为固定在竖直平面内的轨道，直轨道AB与光滑圆弧轨道BC相切，圆弧轨道的圆心角为37°，半径为r＝0.25 m，C端水平，AB段的动摩擦因数为0.5.竖直墙壁CD高H＝0.2 m，紧靠墙壁在地面上固定一个和CD等高、底边长L＝0.3 m的斜面．一个质量m＝0.1 kg的小物块(视为质点)在倾斜轨道上从距离B点l＝0.5 m处由静止释放，从C点水平抛出．重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求小物块运动到C点时对轨道压力的大小；
(2)求小物块从C点抛出到击中斜面的时间；
(3)改变小物块从斜面上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值．
解析：(1)由动能定理得
mglsin 37°＋mg(r－rcos 37°)－μmglcos 37°＝mv，
得v0＝ m/s，
FN－mg＝m,r)，FN＝2.2 N.
由牛顿第三定律得，压力大小为F′N＝2.2 N.
(2)如图，设物块落到斜面上时水平位移为x，竖直位移为y.
＝，得x＝0.3－1.5y，
x＝v0t，y＝gt2，
15t2＋2t－0.6＝0，
t＝ s.
(3)x＝0.3－1.5y，
vt2＝v＝(0.3－1.5y)2，
v＝，
Ek＝mv＋mgy＝mg＋mgy－，
解得：当y＝0.12 m时，Ekm＝0.15 J.
答案：(1)2.2 N　(2) s　(3)0.15 J

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