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函数与方程部分
知识清单
1．
函数的零点
对于函数y=f(x)(x,我们把使f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)(x的零点。
2．
零点与方程的根的关系
确定函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的实数根。
3．
函数零点存在定理
如果函数在区间
[a
,
b]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间
(a
,
b)
内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。
4．
并不是所有的函数都有零点，函数有零点也不定符合零点存在定理，试分别举出一个例子。
5．
零点唯一性判定定理
如果函数在区间
[a
,
b]
上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a
,
b)单调，若有，那么，函数在区间
(a
,
b)
内只有一个零点，即存在唯一的，满足，这个c也就是方程唯一的实数根。
6．二分法：二分法主要应用在求函数的变号零点当中，牢记二分法的基本计算步骤：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了．然后用同样的办法再进一步缩小范围，直到区间相当小为止．
方法技巧清单
例1、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（
）
A．函数在或内有零点
B．函数在内无零点
C．函数在内有零点
D．函数在内不一定有零点
解析：C
唯一的零点必须在区间，而不在
例2、．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：D
或
例3、
求零点的个数为
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：C
，显然有两个实数根，共三个；
例4、函数的零点个数为
。
解析：
分别作出的图象；
例5．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
。
解析：
令
例6．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
解析：B
。
例7求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点．
【解析】：对求简单的三次函数的零点：一般原则是进行分解因式，再转化为求方程的根将零点求出．y＝x3－2x2－x＋2＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函数的零点为－1、1、2．
例8求方程的一个近似解（精确度0.1）
解：设f(x)=
∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0
∴在区间（2,3）内方程有一实数根，记为。再取2,3的平均数2.5，∵f(2.5)=0.25>0∴2<<2.5.
再取2,2.5的平均数2.25
∵f(2.25)=-0.4375<0∴2.25<<2.5.
如此继续下去有f(2.375)<0
f(2.5)>0
;
f(2.375)<0
f(2.4375)>0.∵=0.0625<0.1
∴方程的一个精确度0.1近似解可取为2.4375
例9判断函数零点的个数。
解法一：图象法
在同一坐标系中画出y=lnx,
y=
-
x+3的图像。(略)
解法二：因为f(3)>0,f(2)<0
所以在区间（2，3）内有一零点。又因为
在定义域内是增函数，所以只有唯一的零点。
例10
已知关于x的二次方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的取值范围。
解：由题意知抛物线f(x)=
与x轴的交点分别在区间（-1,0）和（1,2）内，可以画出示意图得f(0)=2m+1<0,f(-1)=2>0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0,解得
课堂练习
1．函数f(x)=2x+7的零点为
（
）
A、7
B、
C、
D、-7
2．方程的一个实数解的存在区间为
（
）
A、（0，1）
B、（0.5，1.5）
C、（-2，1）
D、（2，3）
3．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（
）
A
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B
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C
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D
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不能确定
4．函数在区间（1，2）内的函数值为（
）
A、大于等于0
B、等于0
C、大于0
D、小于0
5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米（b）
6．若方程有两个实数解，则的取值范围是（
）
A
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B
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C
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D
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7．方程的实数解的个数为________________。
8．已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
函数在哪几个区间内有零点？为什么？
9．证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点。
10．
设函数
（填“有”或“无”）零点。
参考答案
1-6
C
B
B
D
C
A
6提示：作出图象，发现当时，函数与函数有个交点。7.2
8.解：因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，
，，所以函数在区间（－2，－1.5），
（－0.5，0）以及（0，0.5）内有零点。
9.
证明：函数的定义域为R，函数f(x)的图像在区间(2,3)上是连续的。
，，f(2)f(3)<0,函数f(x)在区间(2,3)上至少有一个零点。
10．
因为f(1)>0,f(e)<0,所以有零点。
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