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第3课　垂径定理
一、知识储备
1．下列是不是轴对称图形？
____________
____________
不是
是
二、新课学习
垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的
两条________．
几何语言：∵________________，
∴________________
　 ________________
　 ________________.
平分
弧
直径CD垂直弦AB
AE=BE
2.如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，则下列结论不一定成
立的是(　　)
A．EA＝EB
B．EO＝ED
C.
D.
B
3.如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE＝2，则下列结论
正确的是(　　)
A．OE＝2
B．EC＝2
C．AB垂直平分OC
D．OC垂直平分AB
D
4.(例1)如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，AB＝8，OE＝3，
求⊙O半径及ED的长．
解：连接OA，
∵直径CD⊥弦AB
∴AE＝BE＝ AB＝4，
∴OA＝ ，
即⊙O半径长为5.
∴ED＝OD－OE＝2.
5.如图，⊙O半径为5，OC＝3，OC⊥AB，求AC及AB.
解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝
∴AB＝2AC＝8
垂径定理方法总结：构造由________、半弦、弦心距组成的直角三角形，用____________定理求解．
常作的辅助线：①连接半径；②过圆心作弦的垂线段.
半径
勾股
6.如图，⊙O的半径为10，AB＝16，则圆心O到AB的距离
为________．
6
7.(例2)如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，AB＝6，ED＝1，
求⊙O半径．
解：连接OA，设半径为x，
∵直径CD⊥AB，
∴AE＝ AB＝3.
∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
即x2＝32＋(x－1)2
解得x＝5
∴⊙O的半径为5.
8.如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，DC＝2，AB＝8，求
⊙O半径．
解：设⊙O半径为x，
∵OC⊥AB，
∴AD＝ AB＝4.
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即x2＝42＋(x－2)2，
解得x＝5，
∴⊙O的半径为5.
9.(例3)如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥CD，垂足为E
则AE＝BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
即AC＝BD
10.如图，AB是⊙O的弦，点C，D是直线AB上的点，
且OC＝OD.求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E
∵OC＝OD，OE⊥AB
∴EC＝ED(三线合一)
∵OE⊥AB
∴EA＝EB
∴EC－EA＝ED－EB
∴AC＝BD
三、过关检测
第1关
11．如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB＝8 cm，OC⊥AB于C，
则OC＝(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
A
12．如图，⊙O的半径为13，OD＝5，弦AB⊥OC，
则AB＝________.
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第2关
13．如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽AB＝6分米，
OC⊥AB，求水的最大深度CD.
解：连接OA.
∵OC⊥AB，
∴AD＝ AB＝3(分米)，
∴OD＝ (分米)，
∴CD＝5－4＝1(分米)．
14．如图，实线为一条公路，公路有一段是圆弧( )，
已知AB＝12米，CD＝2米，半径OC⊥AB，求OA的长．
解：设OA＝OC＝x，
则OD＝x－2，
∵OC⊥AB，
∴AD＝ AB＝6，
在Rt△OAD中，有x2＝62＋(x－2)2
解得x＝10.
∴OA的长为10米．
第3关
15．如图，在⊙O中，AB⊥AC，且AB＝AC，OD⊥AB，
OE⊥AC.求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AB
∴∠A＝∠AEO＝∠ADO＝90°，
AE＝ AC，AD＝ AB
∴四边形ADOE为矩形
∵AB＝AC
∴AE＝AD
∴矩形ADOE为正方形
16．如图，⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB
与CD间的距离为(　　)
A．1
B．7
C．1或7
D．3或4
C
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