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人教A版(2019)数学必修第一册第四章指数函数与对数函数章末训练
一、单项选择题（下列选项中只有一个选项满足题意）
1．已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．当时，
在同一坐标系中，函数与的图像是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有12个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．若，则(　　)
A．
B．1
C．
D．
12．函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
14．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
15．函数的值域为__________________．
16．已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________.
三、综合计算题（要求写出相应的计算过程）
17．设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
18．已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
19．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为－4，求的值.
20．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
参考答案
1．B
【分析】
根据已知条件，由对数函数的单调性可得，然后利用反比例函数的单调性可以否定A；利用幂函数和指数函数的单调性，将不等式两边的数与中间量比较大小，可以证明B；根据对数函数的性质，当时可以否定C；由指数函数的性质可以否定D.
【详解】
为定义在上的单调减函数，故由已知可得，
∵反比例函数在上的单调减函数，∴,故A错误；
,∴幂函数在上的单调递增，又∵,∴；
∵，∴指数函数在上的单调递减，又∴.
∴，故B正确；
由已知只能得到,
当时,故C错误；
由可得,故D错误.
故选：B.
本题考查幂指对函数的性质，属基础题.综合利用幂指对函数的单调性比较大小，应当熟练掌握幂指对函数的单调性，对于幂函数，在指数大于0时，在第一象限内单调递增，当指数小于0时，在第一象限内单调递减；对于指数函数和对数函数，当底数大于1时在定义域内单调递增，当底数大于0小于1时在定义域内单调递减.
2．C
【分析】
根据条件需满足，，对称轴即可求出m的取值范围.
【详解】
关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则,
解得.
故选C.
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.
3．D
【分析】
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】
，，，
∴，
故选：D
本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
4．B
【解析】
分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
5．A
【分析】
画出函数的图象，根据图象分析，即可求解的取值范围.
【详解】
由题意，函数，
画出函数的图象，如图所示，
设，则，即，可得，
当时，递减，且与轴交于点，
所以，且，
所以的取值范围为.
故选：A.
本题主要考查了分段函数的解析式与图象，对数函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，其中解答中画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于中档试题.
6．D
【分析】
构造函数与，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.
【详解】
设函数，，
则，所以函数为定义域上的为偶函数，
作出函数与的图象，如图所示，
当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.
故选：D.
本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.
7．C
【分析】
先考虑当时不等式的解集，再根据图象的对称性可得时不等式的解集，从而得到正确的选项.
【详解】
当时，的解为或，解得，
因为，故的图象关于直线对称，
故当时，的解为，
所以的解集为：.
故选：C.
本题考查函数图象的对称性、分段函数构成的不等式的解，后者一般有两类处理方法：（1）根据范围分类讨论；（2）画出分段函数的图象，数形结合解决与分段函数有关的不等式或方程等，本题属于中档题.
8．D
【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.
【详解】
由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.
故选：D.
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
9．C
【分析】
根据对数函数真数大于零即可求解.
【详解】
由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为
.
故选C
本题考查对数函数的定义域，需掌握住对数函数真数大于零.
10．D
【分析】
先由题中条件，得到关于直线对称，周期为；再由已知解析式，根据对称性和奇偶性，得到在恒成立；将原不等式化为，根据函数性质，由题意，判定在有3个整数解；求出函数值得到，进而可判断出结果.
【详解】
∵偶函数满足，
所以关于直线对称，且，所以的周期为；
∵当时，，又函数关于直线对称，且为偶函数，
所以在恒成立；
因此由得，所以；
又关于的不等式在上有且只有12个整数解，
所以在上有且只有12个整数解，根据偶函数的对称性可知，
在上有6个整数解；因此在有3个整数解；
由得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
又，，，，，
则，
为使在有3个整数解，只需这三个整数解为，
∴，∴.
故选：D.
本题考查函数与方程的应用，属于转化与化归的思想，属于常考题型.
11．C
【分析】
根据指数运算公式，求得表达式的值.
【详解】
依题意，.
故选C.
本小题主要考查指数运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
12．A
【分析】
先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.
【详解】
由题得函数定义域为，
函数或）的增区间为，
函数在定义域内是减函数，在定义域内是减函数，
由复合函数的单调性得的单调递增区间为.
故选：A
本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．
【分析】
利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出的取值范围.
【详解】
由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．
故答案为:
本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.
14．
【分析】
作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
15．
【解析】
试题分析：函数定义域为R，，函数是增函数，所以值域为
考点：函数单调性与值域
16．
【分析】
令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.
【详解】
令，由，即或，解得或，
当时，解得或；当由，解得，
即函数的所有零点所构成的集合为.
故答案为：.
本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法和分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查换元思想，以及推理与运算能力.
17．（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.
【分析】
（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】
（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时．
解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
18．（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.
【详解】
（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．
于是
g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．
（2）设．
∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；
当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．
19．（1）（－3，1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值.
【详解】
（1）由已知得，解得所以函数的定义域为（－3，1）.
（2），
令，得，即，解得，
∵，
∴函数的零点是
（3）由（2）知，，
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴.
20．（1）详见解答；（2）详见解答.
【分析】
（1）求出判断与的关系，即可得出结论；
（2）将分离常数，任取，用作差法比较大小，即可得出结论.
【详解】
（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.

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