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田家炳中学2020-2021学年高二上学期质量检测数学
一、单选题
1．在四面体中，为中点，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D．
4．直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
5．已知圆内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
6.对任意实数k，圆：与直线：的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（ ）
A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得
二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
11．（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离
12．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于
C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点
三、填空题
13．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
14．如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.
15．两圆和的公共弦长为________．
16．在中，∠B=，，，点为内切圆的圆心，过点作动直线与线段，都相交，将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为______．
四、解答题
17．如图，在直三棱柱中，点、分别为和的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
18．如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．
19．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.
20．已知平面内两点．
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程；
（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
21．已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动.
（1）证明无论点F在PC上如何移动，都有平面平面；
（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，求二面角的余弦值.
22．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3．
（1）求圆的方程；
（2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
答案
1．D
解：根据题意得，，
，，
2．A
解：由空间向量，，若与垂直，
则，即，即，即，
即，即，
3．C
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,∴,
∵，∴异面直线与所成角的余弦值为
4．A
解：∵直线和直线平行,
∴,解得或,当时,两直线重合
5．B
由题意可知,当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为,，则由两点间斜率公式可得，
∴与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
6．A
解：∵直线的方程，整理得，
∴直线过定点，
∵圆的方程为，整理得
∴圆的圆心，半径，
∴圆心到定点的距离为：
∴直线与圆的位置关系是相交
7．A
曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
∴直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
8．C
如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为，
则、、、、，
设，其中，
对于A选项，若存在某个位置使得，，，
，解得，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，若存在某个位置使得，，，
，该方程无解，B选项错误；
对于C选项，设平面的一个法向量为，
，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面平面，则，解得，合乎题意，C选项正确；
对于D选项，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得，即，
整理得，，该方程无解，D选项错误.
9．AB
由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
10．AB
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则

而
， ∴A正确.
=0,∴B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
∴向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，

∴，∴D不正确.
11．BCD
由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
12．CD
解：∵直线的一个方向向量为，∴直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，∴，∴A错误；
∵经过点，∴直线的方程为，令，则，
∴在轴上的截距为，∴B错误；
∵直线的斜率为，直线的斜率为，
∴，∴与直线垂直，∴C正确；
∵原点到直线的距离为，
∴上存在与原点距离等于1的点，∴D正确，
13．4
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，故，，，
设平面的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．
14．13
∵平面平面，，,，∴，
∵，∴，
15．
解：即①圆心为，半径；
②
①②得，即两圆公共弦方程为，圆心到直线的距离
∴公共弦长为
16．16．
如图所示：
，，∴平面，∴三点共线，以分别为轴建立平面直角坐标系，
则，，设直线的方程为，由题意直线与线段都相交，
，当时，直线的方程为
令，求得，又当时，点坐标为，综上.
由点到直线的距离公式课计算得
∴
即最小值为.
17．（1）详见解析；（2）
（1）如图，作线段中点，连接、，
∵是线段中点，点为线段的中点，∴，
∵是线段中点，点为线段的中点，三棱柱是直三棱柱，∴，
∵，直线平面，直线平面，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）如图，以为原点、为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，
令二面角为，则，
故结合图像易知，二面角的余弦值为.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
试题解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，
∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，∴点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．
利用等体积法：，即，，
∵，，∴，∴．
19．(1)；(2)或.
（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，
由，即圆心坐标为
又半径，故圆的方程为.
（2）点在圆上，且弦长为，故应有两条直线.
圆心到直线距离.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线距离为1，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为
整理为，则圆心到直线距离为，
解得，直线方程为，
综上①②，所求直线方程为或.
20．（1）；（2）；（3）.
（1），，∴的中点坐标为，
，∴的中垂线斜率为，
∴由点斜式可得，
∴的中垂线方程为；
（2）由点斜式，
∴直线的方程，
（3）设关于直线的对称点，
∴， 解得，
∴，，
由点斜式可得，整理得
∴反射光线所在的直线方程为.
21．（1）见解析；（2）
（1）连接AC.底面ABCD为菱形，，
是正三角形，是BC中点，，又，
，又平面，平面，，
又，平面，又平面，平面平面.
（2）由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，，，，，，
，，
而
且，
设平面PCD的法向量，，取，
.根据题意，
线面角
当时，最大，此时F为PC的中点，即，
，，.
设平面AEF的法向量为，平面AEM的法向量为，
，解得，同理可得，
，
∴二面角的平面角的余弦值为.
22．（1）；（2）；（3）是定值，理由详见解析．
（1）由已知圆过，，三点
设圆方程为，则有
，解得
∴圆方程为，即．
（2）由（1）可知，半径，
则到距离，
∴，
当且仅当时取等号，
由解得；
由，在两侧，，，
∴，
到距离，到距离，
∴四边形的面积，
∴时，四边形面积最大为．
（3）由题意可设
由可得，
设，则，
∴，，
同理，∵，∴，
∴为定值．

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