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章末整合提升
主题一　描述圆周运动的物理量
1.描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等,比较如下.
比较项
概念
公式、单位
线速度
①描述做圆周运动的物体沿着圆弧运动快慢的物理量(v);
②是矢量,方向和半径垂直,和圆周相切
①v==;
②单位:m/s
角速度
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω);
②中学不研究其方向
①ω==;
②单位:rad/s
周期和
转速
①周期是物体沿圆周运动一圈所用的时间(T);
②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n),也叫频率(f)
①T=,T的单位:s;
②n的单位:r/s、r/min;
③f=,f的单位:Hz
向心
加速度
①描述线速度方向变化快慢的物理量(an);
②方向指向圆心
①an==ω2r;
②单位:m/s2
向心力
①作用效果是产生向心加速度,只改变线速度的方向,不改变线速度的大小;
②方向指向圆心
①Fn=mω2r==mr;
②单位:N
相互
关系
①v=ωr==2πrf;
②an==ω2r=ωv==4π2f2r;
③Fn=m=mω2r=m=mωv=m4π2f2r
2.传动装置中各物理量间的关系.
(1)同一转轴的各点角速度ω相同,而线速度大小v=ωr与半径r成正比,向心加速度大小an=ω2r与半径r成正比.
(2)当皮带不打滑时,传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等,两轮上各点的角速度、向心加速度大小可根据ω=、an=确定.
【典例1】工程上常常把缆绳用卷筒卷起来.右图为正处于施工中的缆绳卷筒,其中A、B为缆绳上的两点,C为筒边缘上的点,此时卷筒正匀速转动,则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两点线速度相同
B.A、B两点加速度相同
C.B点角速度小于C点角速度
D.B点加速度小于C点加速度
解析:由题图可知点A与B都在绳子上,所以线速度大小是相等的,但方向不同,故选项A错误;筒匀速转动,而A不在圆上,所以A的加速度为0,B做匀速圆周运动,有向心加速度,所以二者的加速度不相等,故选项B错误;B与C属于同轴传动,角速度是相等的,故选项C错误;B与C的角速度相等,C点的半径大,所以B点的加速度小于C点的加速度,故选项D正确.
答案:D
【典例2】下图为某一皮带传动装置的简化图.主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r2.已知主动轮顺时针转动,转速为n,转动过程中皮带不打滑,M、N分别是主动轮和从动轮边缘上的一点,则下列说法正确的是
(　　)
A.从动轮顺时针转动
B.从动轮的转速为n
C.角速度ωM∶ωN=r2∶r1
D.向心加速度aM∶aN=r1∶r2
解析:因为主动轮顺时针转动,所以从动轮逆时针转动,故选项A错误;由于通过皮带传动,所以皮带与轮边缘接触处的线速度大小相等,根据v=ωr,得n2r2=nr1,所以n2=n,故选项B错误;根据v=ωr得=,故选项C正确;向心加速度an=,所以=,故选项D错误.
答案:C
主题二　圆周运动与平抛运动的综合问题
1.水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题.
(1)此类问题往往是物体先做水平面内的圆周运动,后做平抛运动.
(2)解题关键.
①明确水平面内圆周运动的向心力来源,根据牛顿第二定律和向心力公式列方程.
②平抛运动一般沿水平方向和竖直方向分解速度或位移.
③速度是联系前后两个过程的关键物理量,前一个过程的末速度是后一个过程的初速度.
2.竖直平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题.
(1)此类问题中,物体有时先做竖直面内的变速圆周运动,后做平抛运动;有时先做平抛运动,后做竖直面内的变速圆周运动.
(2)解题关键.
①竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”,然后分析物体能够到达圆周最高点的条件.
②速度是联系前后两个过程的关键物理量.
【典例3】如图所示,一个质量为0.6
kg的小球以某一初速度v0从P点水平抛出,恰好沿圆弧ABC在A点的切线方向进入圆弧轨道,不计空气阻力,小球进入圆弧轨道时无机械能损失.已知圆弧的半径R=0.3
m,θ=60°,小球到达A点时的速度v=5
m/s,g取10
m/s2.
(1)求小球做平抛运动的初速度v0;
(2)求P点与A点的水平距离和竖直高度;
(3)若小球到达C点时的速度vC=3
m/s,求此时小球对轨道的压力.
解析:(1)将小球在A点的速度分解,有
v0=vx=vcos
60°=2.5
m/s,
vy=vsin
60°=
m/s.
(2)在竖直方向上根据运动学公式有
=2gh,
代入数据解得h=
m.
vy=gt,
x=v0t,
代入数据,联立解得x=
m.
(3)由圆周运动的向心力公式得
FN+mg=m,
代入数据解得FN=12
N.
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为12
N,方向竖直向上.
答案:(1)2.5
m/s　(2)
m　
m
(3)12
N,方向竖直向上
【典例4】一个随转台加速转动可视为质点的小物块位于圆形水平转台边缘,如图所示.当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R=1
m,离水平地面的高度h=0.8
m,物块平抛落地过程水平位移的大小x=0.8
m.不计空气阻力,设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10
m/s2.求:
(1)物块恰好滑离转台时转台的角速度;
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
解析:(1)物块滑离转台后做平抛运动,根据运动学公式可知在竖直方向上有
h=gt2,
在水平方向上有x=v0t,
根据圆周运动规律可知物块滑离转台时线速度为
v0=ωR,
联立解得ω=2
rad/s.
(2)物块离开转台时,静摩擦力达到最大,最大静摩擦力提供向心力,有
μmg=mω2R,
解得μ=0.4.
答案:(1)2
rad/s　(2)0.4
主题三　圆周运动中的临界与极值问题
1.临界与极值问题.
在变速圆周运动的某些特殊位置上,常存在着最小(或最大)的速度,小于(或大于)这个速度,物体就不能再继续做圆周运动了,此速度即为临界速度.在这个位置,物体的受力必满足特定的条件,这就是临界条件.当物体的受力发生变化时,其运动状态随之变化.
2.临界与极值问题的常见表现形式.
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等词语,明显表明题述的过程存在着临界点.
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就对应着临界状态.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等词语,表明题述的过程存在着极值,极值点也往往对应着临界状态.
3.临界与极值问题分类分析.
(1)与弹力有关的临界与极值问题.
①物体在相互接触的过程中,有挤压就会有形变,就可能产生弹力.弹力的大小又会随挤压造成的形变程度的变化而发生变化.物体与接触面分离的临界条件为弹力FN=0.
②绳子的临界问题有两类:一类是绳子中的拉力达到最大,恰好不断;另一类是绳子恰好绷直,绳子中的拉力F=0.
(2)与摩擦力有关的临界与极值问题:存在摩擦力的物体间,由于力或速度变化,摩擦力的大小、方向可能会改变,经常会出现静摩擦力、动摩擦力的转换或静摩擦力、动摩擦力方向的突变,因此解答摩擦力类问题要注意临界条件,发生相对滑动时静摩擦力达到最大.
【典例5】如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳1、2连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点的距离为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l,重力加速度为g.现让竖直杆以自己为轴转动并达到稳定(细绳1、2与杆在同一竖直平面内).
(1)竖直杆角速度为多大时,小球恰好离开竖直杆?
(2)竖直杆角速度为多大时,轻绳2伸直开始有拉力?
解析:(1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为0,设此时轻绳1与竖直杆间的夹角为α,由题意可知
小球运动半径r=,sin
α=.
设竖直杆此时的角速度为ω1,对小球受力分析有
沿半径方向:FTsin
α=mr,
垂直半径方向:FTcos
α=mg,
联立解得ω1=2.
(2)竖直杆角速度增大,轻绳2伸直后,小球做圆周运动的半径为r'=lsin
60°,
轻绳2刚好伸直时,设竖直杆的角速度为ω2,对球受力分析有
沿半径方向:FT'sin
60°=mr',
垂直半径方向:FT'cos
60°=mg,
联立解得ω2=.
答案:(1)2　(2)
【典例6】如图所示,细绳一端系着质量mA=0.6
kg的物体A,A静止在水平转台上,细绳另一端通过轻质小滑轮吊着质量mB=0.3
kg的物体B.A与滑轮的距离为
0.2
m,与水平面间的最大静摩擦力为2
N,g取10
m/s2.为使B保持静止状态,水平转台做匀速圆周运动的角速度ω应在什么范围内?
解析:当ω最小时,A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相反,则有
mBg-Ff=mAr,
得ω1==
rad/s=2.89
rad/s.
当ω最大时,A所受最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相同,则有
mBg+Ff=mAr,
得ω2==
rad/s=6.45
rad/s,
故ω的取值范围为
2.89
rad/s≤ω≤6.45
rad/s.
答案:2.89
rad/s≤ω≤6.45
rad/s
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