资源简介

导数压轴题型归类总结
目录
、导数单调性、极值、最值的直接应用(1)
二、交点与根的分布(23)
三、不等式证明(31)
(一)作差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围(51)
(一)恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离常数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用(70)
六、导数应用题(84
七、导数结合三角函数(85)
书中常用结论
)sinx点连线斜率小于1
(2)e2>x+1
(3)x>n(x+1)
()Inx0
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1.(切线)设函数f(x)=x2-a
(1)当a=1时,求函数g(x)=xf(x)在区间[0上的最小值
(2)当a>0时,曲线y=f(x)在点P(x1,f(x)(x>a)处的切线为l,1与x轴交于点A(x20
求
解:(1)a=1时,g(x)=x2-x,由8(x)=3x2-1=0,解得x=+3
g(x)的变化情况如下表
33
g'(x)
0
0
极小值
所以当x
3时,8()有最小值g<3)=-23
(2)证明:曲线y=f(x)在点Px,2x2-a)处的切线斜率k=f(x)=2x
曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-(2x2-a)=2x1(x-x)
x1-+a
x12+a
令y=0,得x2
31<0,即xI
X1
ta
xi
a
所以x1>x2>√a
2.(2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e(x∈R,其中a∈R
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率:
(2)当a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值
解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础
知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法
(1)当a=0时,f(x)=xe,f'(x)=(x2+2x)e',故f"(l)=3e
所以曲线y=f(x)在点(,f()处的切线的斜率为3e
f(x)=2+(a+2)x-2a2+4a
令∫(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2由a≠三知,-2a≠a-2
以下分两种情况讨论
则-2ax(=∞,-2a)-2a(=2a,a-2)a-2(a-2,+)
极大值
极小值
所以f(x)在(-∞,-2a)(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2内是减函数
函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-20
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)e“-2
②若a<,则-2a>a-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
0
极大值
极小值
函数(x)在x=a-2处取得极大值(a-2),且(a-2)=(4-3?%
所以f(x)在(-∞,a-2(-2a,+∞内是增函数,在(a-2,-2a内是减函
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ue
3.已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关
于a的函数关系式,并求b的最大值
(2)若b∈[0,2],h(x)=f(x)+8(x)-(2a-b)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。
解:(I)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x,)处的切线相同
f(x)-x+2a,g(x)=3由题意知∫(x2)=g(x),(
即2+2,30+
In+2u=
3a2
母x
a(會去,)b=a2-3a2lna(a>0)
b(a)=5a-6wm-3a=2a(1-3ba)
4129e>005+(m4
可见()太m6d+)-2…7分
〔h'(x)x+
b做题:h'(x)≤0或h(x)≥0恒成立
①当h(x)<0时,x+-b≤0:x+≌≤b
∵b∈[o,2]只需x+≤o∵x∈(0,4∴不群在

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