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22.1.3　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)
宁晋县第六中学
温故知新
二次函数y＝ax2的图象
(1)它的开口向__________，
(2)顶点坐标是______________；
(3)对称轴是________________，
(4)在对称轴的左侧，y随x的增大而______， 在对称轴的右侧，y随x的增大而______，
(5)当x＝______时， y有最______值，其最______值是______。
预习导学
1.组长组织交流检查核对导学案，其他同学用红笔标注存在的疑问或达不成一致意见的题目。2.组长带头解疑答惑，互帮互助
3.小组内都不能解决的问题，上传至本组黑板上或口头提出。

学习目标
1.会作二次函数y＝ax2 +k与y＝a(x－h)2的图象并知道与y＝ax2的关系。
2．掌握二次函数y＝ax2 +k与 y＝a(x－h)2 的图象和性质．
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图象
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2+1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
y=x2-1
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
y=x2－1
预学展示一
（1）抛物线y=x2+1，y=x2 －1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
开口：向上 对称轴：y轴（直线x=0）
顶点：y = x2＋1的顶点坐标是（0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）
归纳：抛物线y=ax2+k
当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向下;
对称轴是y轴（直线x=0）
顶点是(0,k).
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
抛物线y=x2
抛物线 y=x2－1
向上平移
1单位
抛物线y=x2
向下平个移
1个单位
y=x2－1
y=x2
抛物线 y=x2+1
归纳：抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|个单位长度得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
上加下减
（改变常数项）
a,k的符号
a>0,k>0
a>0,k<0
a<0,k>0
a<0,k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,k）
（0,k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
二次函数y=ax2+k的性质
1、抛物线y= ?2x2+3的开口____，顶点坐标是 ,对称轴是 ，当 时，y随着x的增大而增大；当____时，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= ?2x2线怎样平移得到的__________.
2、抛物线 y= x?-5 的的开口____，顶点坐标是____，对称轴是____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的值最___，是 ，是由抛物线y= x?+2向____平移____个单位得到的。
预习自测一
画出二次函数 和 的图象,并说出它们的开口方向、对称轴和顶点。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
…
-2
0
-0.5
-2
-0.5
-8
…
-4.5
…
-8
…
-2
-0.5
0
-4.5
-2
-0.5
可以看出,抛物线的开口向下,
对称轴是经过点(－1,0)且与x轴垂直的直线,我们把它记为直线x=－1。
顶点是(－1,0);
抛物线 呢?
x=－1
预学展示二
抛物线 、 与抛物线 有什么关系?
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移1个单位
向右平移1个单位
向左平移，自变量x加
向右平移，自变量x减
平移规律：左加右减，自变量
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
在对称轴左减右增
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
在对称轴左增右减
h>0
h<0
h<0
h>0
(ｈ,0)
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移
左右平移
上加下减
（改变常数项）
左加右减
(改变自变量)
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = 2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = a(x+h)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=-h
向下
( 1 , 0 )
( -h, 0)
预习自测二
a＞0,开口向上
a＜0,开口向下
互动探究一
对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：
①它们的图象都是开口向上；
②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；
③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们图象的开口的大小是一样的．
其中正确的说法有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2 都是由y＝3x2平移得到，所以形状
相同。即：a决定了抛物线的形状
变式
1、已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为(　　)
A．－12 B．12
C．32 D．－32
由题意得：m=3
3、抛物线y＝2x2＋3上有两点A（ x1 ，y1）、B（ x2 ，y2 ），且x1≠ x2， y1= y2，当x= x1+ x2时，y=?
由抛物线的对称性求值
2、平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　)
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(5，2) D．(－1，4)
探究二
1.已知点A（ -1 ，y1）、B（ -2 ，y2 ）在抛物线y＝2x2-3上，则y1与y2的大小关系是____
2.抛物线y＝ax2＋k(a＜0)经过点A（ -1 ，y1）、B（ -3 ，y2 ）、C（2， y3），y1，y2，y3 的大小关系是____
3.抛物线y＝a(x+1)2(a＞0)经过点A（ -3 ，y1）、B（ -1 ，y2 ）、C（2， y3），y1，y2，y3 的大小关系是____
（1）代入计算法（受限制）
（2）图象观察法（观察位置高的点）
（3）对称转换法（转换到对称轴同侧，再用增减性）
在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和
二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
互动探究三
按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线的解析式。
（3）顶点坐标是（-1，0），且经过点（-3，-0.3）的抛物线解析式，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（2）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式
找准条件，利用待定系数法求函数解析式。
互动探究四
设y=ax2-3
设y=a（x+1）2
1、已知函数 图象关于y轴对称，求m的值
变式
2、已知抛物线 顶点在坐标轴上，求k的值.
二次函数y=a（x-h）2的图象如图，已知a=，OA=OC，试求该抛物线的解析式．

二次函数y=a（x-h）2的图象如图，已知a= ，OA=OC，试求该抛物线的解析式
1
2
能力提升
解：把a= 代入得：y= （x-h）2，
∵抛物线的顶点坐标（h，0），∴OA=OC=h
∴A（0，h）
得到 h2=h，即h（h-2）=0，
解得：h=0（不合题意，舍去）或h=2，
则抛物线解析式为y= （x-2）2．
1
2
1
2
1
2
1
2
如图，已知直线y=- x+2与抛物线y=a（x+2）?2?相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点。
（1）求点A、B的坐标及该抛物线的解析式；
（2）当x为何值时， y1＜y2？
(3)若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l?2?与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（4）在（3）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
能力提升
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移
左右平移
上加下减
（改变常数项）
左加右减
(改变自变量)
课堂小结
对称轴：y轴
顶点：（0，k）
对称轴：直线x=h
顶点：（h，0）
注意：顶点都在坐标轴上
当堂检测
1 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(　　)
A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
2在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(　　)
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
4 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
5、形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
6、已知二次函数y=a（x-h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，-3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
预习安排
1.阅读课本35-36页，例3和例4，完成练习。
2.完成导学案27页预习导学的内容，组长下节课上课前组织校对答案，经组内讨论不能解决的问题课前把题号或疑问上传本组黑板上。
谢谢大家

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