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《动量守恒定律》复习导学案
1.理解冲量和动量。通过理论推导和实验，理解动量定理和
动量守恒定律，能用其解释生产生活中的有关现象。知道动量守恒定律的普适性。
2.体会用守恒定律分析物理问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
内容
要求
动量、动量定理、动量守恒定律及其应用
Ⅱ
弹性碰撞和非弹性碰撞
Ⅰ
1、考情统计
真题
涉分
考点
题型
难度
设题情境
思想方法
素养要求
动量、动量定理
动量守恒定律及其应用
2020课标卷Ⅱ，21
6
动量守恒
选择
难
运动员与滑块
分析综合
模型建构
2020课标卷Ⅲ，25
6
动量定理
计算
难
滑块
分析综合
模型建构
2019课标Ι.16
6
动量定理
选择
易
流体问题
运动建模
模型建构
2019课标Ι,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
斜面与碰撞
分析综合
科学性理、
科学论证
2019课标Ⅲ
,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
“弹簧-滑块”模型
分析综合
模型建构
科单推理
2018课标Ⅰ，14
6
功量
选择
易
列车启动
科学推理
2018课标Ⅰ，24
6
动量与能量
计算
中
烟花爆炸
科学论证
2018课标Ⅱ，15
6
动量定理
选择
中
高空业物
估算法
能量现为
2018课标Ⅱ,24
6
动量守恒
计算
局
汽车碰撞
模型法
科学论证
2017课标Ⅰ,14
6
反冲运动
选择
易
火箭点火
模型法
科学论证
2017课标Ⅱ，15
6
动量守恒
选择
中
衰变
模型法
运动与相互作用
2016课标Ⅰ,35(2)
5
动量定理
计算
中
喷泉顶物
图数法
科学推理、科学论证
2016课标Ⅱ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
冰块滑行
科学推理、科学论证
2016课标Ⅲ,35(1)
5
动量守恒
选择
中
原子俘获
模型建构、科学论证
2016课标
Ⅲ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
两物碰撞
极值法
科学推理、科学论证
2.考查方式
从前几年命题规律来看，应用碰撞或反冲运动模型，以计算题的形式考查动量和能量观点的综合应用。
3.命题趋势
由于动量守恒定律作为必考内容，因此综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点，既可以将动量与力学知识结合，也可将动量和电学知识结合，作为理综试卷压轴计算题进行命题。
4、备考建议
（1）因本专题涉及考点较多，但难度不大，大多为直接考查属于理解和记忆的相关考点，故在复习中常回头看看。
（2）涉及物理学史的选择题为易错题，在复习备考中，要将人和事的关系对应关系规律化。
动量守恒及其应用
一、动量守恒定律
1．内容：如果一个系统__不受外力__，或者所受__外力的矢量和__为0，这个系统的总动量保持不变。
2．动量守恒定律常用的三种表达形式
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量矢量和等于作用后的动量矢量和。
(2)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零
【即学即用】关于系统动量守恒，下列说法错误的是(　　)
A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒
B．只要系统所受的合外力为零，系统动量就守恒
C．系统所受合外力不为零，其动量一定不守恒，但有可能在某一方向上守恒
D．相互作用的两物体动量的增量的矢量和一定为零
【答案】A
3．适用条件：
(1)理想守恒：系统不受外力或所受__外力的合力__为零，则系统动量守恒。
(2)近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远__大于__外力时，系统的动量可近似看成守恒。
(3)分方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒。
二、碰撞、反冲、爆炸
1．碰撞：物体间的相互作用持续时间__很短__,_而物体间相互作用力__很大__的现象。
2．特点：在碰撞现象中，一般都满足内力__远大于__外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒。
3．分类：
两类守恒
碰撞类型
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
守恒
__守恒__
非弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失__最大__
4.反冲运动：
观察下列两幅图，思考图甲中喷灌工作原理以及图乙中运载火箭升空原理，填充以下内容：
(1)在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用的过程中系统的动能__增大__，且常伴有其他形式能向动能的转化。
(2)反冲运动的过程中，如果合外力为零或外力的作用__远小于__物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。
5．爆炸问题：爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且__远大于__系统所受的外力，所以系统动量__守恒__，爆炸过程中位移很小，可忽略不计，作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动。
【即学即用】(多选)下列属于反冲运动的是(　　)
A．汽车的运动
B．直升飞机的运动
C．火箭的运动
D．反击式水轮机的运动
【答案】CD
题型1
动量定理的理解和应用
1．适用条件
(1)前提条件：存在相互作用的物体组成的系统．
(2)理想条件：系统不受外力．
(3)实际条件：系统所受合外力为0.
(4)近似条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于系统所受的外力．
(5)方向条件：系统在某一方向上满足上面的条件，则在此方向上动量守恒．
2．解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
　两磁铁各放在两辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动．已知甲车和磁铁的总质量为0.5
kg，乙车和磁铁的总质量为1
kg，两磁铁的N极相对．推动一下，使两车相向运动，某时刻甲的速度大小为2
m/s，乙的速度大小为3
m/s，方向与甲相反，两车运动过程中始终未相碰．则：
(1)两车最近时，乙的速度为多大？
(2)甲车开始反向时，乙的速度为多大？
变式训练1　(多选)如图所示是两组短道速滑选手在接力瞬间的照片，在短道速滑接力时，后面队员把前面队员用力推出(推出过程中可忽略运动员受到的冰面水平方向的作用力)，以下说法正确的是(　　)
A．接力过程中前面队员动能增加量等于后面队员动能减少量
B．接力过程中前面队员受到的冲量和后面队员受到的冲量大小相等，方向相反
C．接力过程中前后两名队员总动量增加
D．接力过程中前后两名队员总动量不变
【答案】BD
变式训练2　如图甲所示，光滑平台上物体A以初速度v0滑到静止于水平地面且上表面粗糙的水平小车上，车与水平面间的动摩擦因数不计，图乙为物体A与小车B的v－t图象，由图乙中各物理量可求得(　　)
A．小车上表面的长度
B．物体A的质量
C．小车B的质量
D．物体A与小车B的质量之比
【答案】D
【解析】由题图乙可知，A、B最终以共同速度v1匀速运动，可以确定物体A相对小车B的位移，不能确定小车上表面长度，A错误；以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v1，可解得物体A与小车B的质量之比，D正确，B、C错误．
变式训练3　一质量为M的航天器远离太阳和行星，正以速度v0在太空中飞行，某一时刻航天器接到加速的指令后，发动机瞬间向后喷出质量为m的气体，气体向后喷出的速度大小为v1，加速后航天器的速度大小v2等于(v0、v1、v2均为相对同一参考系的速度)(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设v0的方向为正方向，根据题意，由动量守恒定律有Mv0＝－mv1＋(M－m)v2
解得v2＝，故选项C正确．
变式训练4如图所示，一质量为m的木块下端通过一细线悬挂一质量为M的金属小球，在水中以速度v0匀速下降。某一时刻细线突然断裂，此后经过时间t木块的速度减为零。已知重力加速度为g，求：
(1)t时刻金属小球的速度大小；
(2)t时间内水对金属小球的冲量的大小和方向。
题型2、动量守恒定律的几类经典模型
（一）　碰撞模型
1．分析碰撞问题的三个依据
(1)动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要合理
①碰前两物体同向，则v后>v前；碰后，原来在前的物体速度一定增大，且v前′≥v后′。
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
2．弹性碰撞的规律
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。
以质量为m1，速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′①
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2②
由①②得v1′＝　v2′＝
结论：
(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
(2)当m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都向前运动。
(3)当m10，碰撞后质量小的球被反弹回来。
3．非弹性碰撞的规律
满足动量守恒定律和能量守恒定律。
例如：以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面非弹性碰撞为例，由动量守恒定律知m1v1＝m1v1′＋m2v2′，由能量守恒定律知，系统损失的机械能ΔE损＝m1v－(m1v′＋m2v′)。
如图所示，一个质量为M＝50
kg的运动员和质量为m＝10
kg的木箱静止在光滑水平面上，从某时刻开始，运动员以v0＝3
m/s的速度向墙的方向推出箱子，箱子与右侧墙壁发生完全弹性碰撞后返回．当运动员接到箱子后，再次重复上述过程，每次运动员均以v0＝3
m/s的速度向墙的方向推出箱子．求：
(1)运动员第一次接到木箱后的速度大小；
(2)运动员最多能够推出木箱几次？
某超市两辆相同的手推购物车质量均为m且相距为l沿直线排列，静置于水平地面上。为了节省收纳空间，工人给第一辆车一个瞬间的水平推力使其运动，并与第二辆车相碰，且在极短时间内相互嵌套结为一体，以共同的速度运动了距离，恰好停靠在墙边。若车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
⑴购物车碰撞过程中系统损失的机械能；
⑵工人给第一辆购物车的水平冲量大小。
变式训练1　(多选)如图所示，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生碰撞后的可能运动状态是(　　)
A．A和B都向左运动
B．A和B都向右运动
C．A、B都静止
D．A向左运动，B向右运动
【答案】CD
变式训练2　(多选)如图8所示，在光滑水平面上，质量为m的A球以速度v0向右运动，与静止的质量为5m的B球碰撞，碰撞后A球以v＝av0(待定系数a<1)的速度弹回，并与固定挡板P发生弹性碰撞，若要使A球能再次追上B球并相撞，则系数a可以是(　　)
图8
A.
B.
C.
D.
【答案】　BC
【解析】A与B发生碰撞，选取向右为正方向，根据动量守恒可知：mv0＝5mvB－mav0.要使A球能再次追上B球并相撞，且A与固定挡板P发生弹性碰撞，则av0>vB，由以上两式可解得：a>，又mv02≥×5mvB2＋m(av0)2，故B、C正确，A、D错误．
变式训练3(2019·安徽砀山二中月考)(多选)质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是7
kg·m/s，B球的动量是5
kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是(　CD　)
A．－2
kg·m/s,14
kg·m/s
B．－4
kg·m/s,16
kg·m/s
C．6
kg·m/s,6
kg·m/s
D．5
kg·m/s,7
kg·m/s
答案：D
解析　本题考查碰撞过程中的动量守恒、能量守恒。碰撞前系统总动量p＝pA＋pB＝12
kg·m/s，由题意，设mA＝mB＝m，碰前总动能为Ek＝＋＝(J)＋(J)＝(J)；若p′A＝－2
kg·m/s，p′B＝14
kg·m/s，系统动量守恒，碰撞后的总动能为(J)＋(J)＝(J)>Ek，不可能，A错误；若p′A＝－4
kg·m/s，p′B＝16
kg·m/s，系统动量守恒，碰撞后的总动能为(J)＋(J)＝(J)>Ek，不可能，B错误；若p′A＝6
kg·m/s，p′B＝6
kg·m/s，系统动量守恒，碰撞后的总动能2×(J)＝(J)kg·m/s，p′B＝7
kg·m/s，系统动量守恒，碰撞后的总动能(J)＋(J)＝(J)＝Ek，是可能的，D正确。
变式训练4　如图9所示，在水平光滑直导轨上，静止着两个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B.现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动．求：
图9
(1)A、B两球碰撞后一起运动的共同速度多大？
(2)碰撞过程中损失了多少动能？
变式训练5如图所示，三个直径相同的小球静止在足够长的光滑水平面上，A、C两球的质量均为m，B球的质量为km(k>1)。给A球一个水平向右的初速度v0，B球先与A球发生弹性正碰，再与C球发生弹性正碰。求系数k的值为多大时，B与C碰后瞬间B球的速度最大？
（二）反冲模型
1．反冲
(1)现象：物体的不同部分在内力的作用下向相反方向运动。
(2)特点：一般情况下，物体间的相互作用力(内力)较大，反冲运动中平均动量守恒，机械能往往不守恒。
(3)实例：喷气式飞机、火箭等。
2．火箭获得的最终速度
火箭发射前的总质量为M、燃料燃尽后的质量为m，火箭燃气的喷射速度为v1，如图所示，燃料燃尽后火箭的飞行速度v为多大？
在火箭发射过程中，由于内力远大于外力，所以动量守恒。
发射前的总动量为0，发射后的总动量为mv－(M－m)v1(以火箭的速度方向为正方向)
则：mv－(M－m)v1＝0
所以v＝(－1)v1
燃料燃尽时火箭获得的最终速度由喷气速度及质量比决定。
(2019·湖北鄂州、黄冈调研)“世界上第一个想利用火箭飞行的人”是明朝的士大夫万户。他把47个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，飞上天空，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备(含燃料的火箭、椅子、风筝等)总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以v0的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　B　)
A．火箭的推力来源于空气对它的反作用力
B．在燃气喷出的瞬间，火箭的速度大小为
C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为
D．在火箭喷气过程中，万户及所携设备机械能守恒
答案：B
[解析]　本题考查反冲运动中动量守恒定律。火箭的推力来源于燃料燃烧时产生的向后喷出的高温高压气体对火箭的反作用力，故A错误；在燃气喷出的瞬间，万户及所携设备组成的系统动量守恒，设火箭的速度大小为v，规定火箭运动方向为正方向，则有(M－m)v－mv0＝0，解得火箭的速度大小为v＝，故B正确；喷出燃气后万户及所携设备做竖直上抛运动，根据运动学公式可得上升的最大高度为h＝＝，故C错误；在火箭喷气过程中，
燃料燃烧时产生的向后喷出的高温高压气体对万户及所携设备做正功，万户及所携设备机械能不守恒，故D错误。
【变式训练1】质量m＝260
g的手榴弹从水平地面上以v0＝10
m/s的初速度斜向上抛出，上升到距地面h＝5
m的最高点时爆炸，手榴弹除火药外的部分炸裂成质量相等的两块弹片，其中一块弹片自由下落到达地面，落地时动能为5
J。重力加速度g＝10
m/s2，空气阻力不计，火药燃烧充分，求：
(1)手榴弹爆炸前瞬间的速度大小；
(2)手榴弹所装火药的质量；
(3)两块弹片落地点间的距离。
【变式训练2】如图所示，甲、乙两名宇航员正在离空间站一定距离的地方执行太空维修任务。某时刻甲、乙都以大小为v0＝2
m/s的速度相向运动，甲、乙和空间站在同一直线上且可视为质点。甲和他的装备总质量为M1＝90
kg，乙和他的装备总质量为M2＝135
kg，为了避免直接相撞，乙从自己的装备中取出一质量为m＝45
kg的物体A推向甲，甲迅速接住A后即不再松开，此后甲、乙两宇航员在空间站外做相对距离不变的同向运动，且安全“飘”向空间站。(设甲、乙距离空间站足够远，本题中的速度均指相对空间站的速度)
(1)乙要以多大的速度v(相对于空间站)将物体A推出？
(2)设甲与物体A作用时间为t＝0.5
s，求甲与A的相互作用力F的大小。
（三）爆炸模型
1.爆炸的特点
(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸时物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。
(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加。
(3)位移不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中物体运动的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸时的位置以新的动量开始运动。
(2019·福建莆田一中月考)(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则(　)
A．b的速度方向一定与原速度方向相反
B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大
C．a、b一定同时到达地面
D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等
答案：　CD
[解析]　本题考查爆炸过程中的动量守恒与平抛运动。在炸裂过程中，由于重力远小于内力，系统在水平方向动量守恒。在炸裂过程中，a、b受到爆炸力大小相等，作用时间相同，则爆炸力对a、b的冲量大小一定相等，即炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等，D正确。炸裂前物体的速度沿水平方向，炸裂后a的速度沿原来的水平方向，根据动量守恒定律可知b的速度一定沿水平方向，但不一定与原速度方向相反，取决于a的动量与物体原来动量的大小关系，A错误；a、b都做平抛运动，下落高度相同，则飞行时间相同，a、b一定同时到达地面，a质量较大，但b的平抛初速度大小不一定比a小，所以a飞行的水平距离不一定比b的大，B错误，C正确。
【变式训练】(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则(　　)
A．b的速度方向一定与原速度方向相反
B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大
C．a、b一定同时到达地面
D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等
答案：CD
解析：本题考查爆炸过程中的动量守恒与平抛运动。在炸裂过程中，由于重力远小于内力，系统在水平方向动量守恒。在炸裂过程中，a、b受到爆炸力大小相等，作用时间相同，则爆炸力对a、b的冲量大小一定相等，即炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等，D正确。炸裂前物体的速度沿水平方向，炸裂后a的速度沿原来的水平方向，根据动量守恒定律可知b的速度一定沿水平方向，但不一定与原速度方向相反，取决于a的动量与物体原来动量的大小关系，A错误；a、b都做平抛运动，下落高度相同，则飞行时间相同，a、b一定同时到达地面，a质量较大，但b的平抛初速度大小不一定比a小，所以a飞行的水平距离不一定比b的大，B错误，C正确。
人船模型
1.“人船模型”问题
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒。在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。这样的问题归为“人船模型”问题。
2.模型探究：如图所示，长为L、质量为m船的小船停在静水中，质量为m人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。
以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得m船v船＝m人v人，因人和船组成的系统动量始终守恒，故有m船x船＝m人x人，由图可看出x船＋x人＝L，可解得x人＝L，x船＝L。
2.模型特点
3.结论：m1x1＝m2x2(m1、m2为相互作用的物体质量，x1、x2为其位移大小)
如图所示，长为L、质量为M的船停在静水中，一个质量为m的人(可视为质点)站在船头，在人从船头走到船尾的过程中，船与人相对地的位移大小分别为多少？(忽略水对船的阻力)
【变式训练1】如图所示，物体A、B的质量分别为m、2m，物体B置于水平面上，B物体上部半圆形槽的半径为R，将物体A从B槽的右侧最顶端由静止释放，一切摩擦均不计。则下列选项正确的是(　　)
A．A不能到达B圆槽的左侧最高点
B．A运动到圆槽最低点时的速度为
C．B向右匀速运动
D．B向右运动的最大位移大小为R
答案：D
本题考查了人船模型、动量守恒定律、能量守恒定律。设A到达左侧位置最高点时的速度为v，此时A、B速度相同，A、B组成的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律知，系统初动量为零，则系统末动量为零，即v＝0，根据能量守恒定律知，A能到达B圆槽左侧的最高点，故A、C错误；设A到达最低点时的速度为v，根据动量守恒定律得0＝mv－2mv′，解得v′＝，根据能量守恒定律得mgR＝mv2＋·2m()2，解得v＝，故B错误；当A运动到左侧最高点时，B向右运动的位移最大，设B向右运动的最大位移为x，根据动量守恒定律可知A、B的水平速度始终满足mvAx－2mvBx＝0，则有mAxt－2mBxt＝0，则有m(2R－x)＝2mx，解得x＝R，故D正确。
【变式训练2】如图所示小船静止于水面上，站在船尾上的渔夫不断将鱼抛向船头的船舱内，将一定质量的鱼抛完后，关于小船的速度和位移，下列说法正确的是(　　)
小船向左运动，船向左移一些
B.小船静止，船向左移一些
C.小船静止，船向右移一些
D.小船静止，船不移动
答案：　C
解析：人、船、鱼构成的系统水平方向动量守恒，据“人船模型”，鱼动船动，鱼停船静止；鱼对地发生向左的位移，则人船的位移向右。故选项C正确。
【变式训练3】如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为m1＝50
kg的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为m2＝20
kg，长绳的下端刚好和水平面接触，当静止时人离地面的高度为h＝5
m。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，他离地面高度是(可以把人看做质点)(　　)
A.5
m　　　　　　
B.3.6
m
C.2.6
m
D.8
m
答案：　B
解析：当人滑到绳下端时，如图所示，由动量守恒定律，得m1＝m2，且h1＋h2＝h。解得h1＝1.4
m；所以他离地高度H＝h－h1＝3.6
m，故选项B正确。
解析：当人滑到绳下端时，如图所示，由动量守恒定律，得m1＝m2，且h1＋h2＝h。解得h1＝1.4
m；所以他离地高度H＝h－h1＝3.6
m，故选项B正确。
【变式训练4】如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h.今有一质量为m的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D.
答案：C
解析：m与M组成的系统在水平方向上动量守恒，设m在水平方向上对地位移为x1，M在水平方向上对地位移为x2，因此有
0＝mx1－Mx2①
且x1＋x2＝②
由①②可得x2＝，故选C.
（五）“子弹打木块”模型
1．木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，系统所受的合外力为零，因此动量守恒．
2．两者发生的相对位移为子弹射入的深度x相．
3．根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能．
4．系统产生的内能Q＝f·x相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积．
5．当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔEk＝f·L(L为木块的长度)．
(多选)如图，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s.则以下说法正确的是(　　)
A．子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
答案:BD
解析:子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律知子弹动能的亏损大于系统动能的亏损，故A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块动量变化量大小相等，方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为Ffs，摩擦力对子弹做的功为－Ff
(s＋d)，可知二者不等，故C错误；对木块根据动能定理可知：子弹对木块做的功即为摩擦力对木块的功，等于木块动能的增量，故选项D正确．
【变式训练1】
如图
甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上．一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块．当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s，如图乙所示．设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点．则子弹穿过木块的时间为(　　)
A.(s＋L)
B.(s＋2L)
C.(s＋L)
D.(L＋2s)
【答案】D
【解析】子弹穿过木块过程，对子弹和木块组成的系统，外力之和为零，动量守恒，以v0的方向为正方向，有：mv0＝mv1＋mv2，
设子弹穿过木块的过程所受阻力为Ff，对子弹由动能定理：－Ff(s＋L)＝mv－mv，
由动量定理：－Ff
t＝mv1－mv0，
对木块由动能定理：Ff
s＝mv，
由动量定理：Ff
t＝mv2，
联立解得：t＝(L＋2s)，故选D.
【变式训练2】如图示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980克的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20克的子弹以v0
=
300m/s
的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为L=10cm，子弹打进木块的深度为d=6cm，设木块对子弹的阻力保持不变。
（1）求子弹和木块的共同的速度以及它们在此过程中所增加的内能。
（2）若子弹是以v0
=
400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的，则它能否射穿该木块？
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是多少？
板块模型
1.动量守恒—合外力为零，动量守恒；木板放在光滑的水平地面上，滑块和木板不受其他外力作用，动量守恒。
2.涉及绝对位移（即物体相对于地面的位移）或者涉及内力做功，可以针对性地利用动能定理求解。即涉及哪个物体的绝对位移或者内力对哪个物体做功，就针对性地对这个物体利用动能定理求解。
3.涉及相对位移（滑块相对于木板的位移也就是滑块在木板上滑行的位移或者是木板的长度）利用能量守恒求解，其中机械能转化为的内能表达式：ΔE=Q=μmgd相对
滑块模型的能量守恒为：
mv02=
(M+m)v2+μmgd
4.涉及作用时间或者内力的冲量，可以选择性地利用动量定理求解。对于不同物体的动量定理涉及的时间和内力的冲量大小相同，因此选择受力简单的物体进行动量定理求解较为方便。
如图所示，一个质量为m的滑块以初速度v0冲上静止在光滑水平面上质量为M的木板之后，滑块带动木板向前运动一段时间后两者相对静止。两者间的动摩擦因数为μ。求：
（1）滑块和木板最终的速度
（2）上述过程中滑块和木板在水平面上滑行的距离
（3）滑块在木板上滑行的距离
（4）系统损失的机械能和系统增加的内能
（5）上述过程经历的时间
【变式训练1】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小滑块A，m＜M，A、B间动摩擦因数为μ。现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0，使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：
（1）A、B最后的速度大小和方向
（2）平板车的长度至少是多少
（3）从地面上看，小木块向左运动最大位移
（4）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车运动的位移和整个过程中平板车运动的位移
（5）上述过程所经历的时间
【变式训练2】如图所示，质量为1.5kg的木块m以8m/s的速度水平地滑上静止在光滑水平地面上的平板小车M，车的质量为4.5kg，木块与小车之间的摩擦系数为0.2（g取l0m/s2）．设小车足够长，求：
（1）木块和小车相对静止时小车的速度
（2）从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间
（3）从木块滑上小车到它们处于相对静止时木块相对小车滑行的距离．
【变式训练2】如图所示，AB为半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰好与长度L=1.4m的小车右端平滑对接，小车质量M=4kg。现有一质量m=1kg的小滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.2.（g=10m/s2）试求：
(1)滑块到达B端时，它对轨道的压力FN。
(2)经多长时间滑块从小车左端滑落。
(3)整个运动过程中产生的热量Q。
（七）“滑块-弹簧”碰撞模型
1.两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒
2.在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
3.弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)
4.弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)
A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的质量分别为m和M(mA．L1>L2
B．L1C．L1＝L2
D．不能确定
答：C
解析:当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv＝(m＋M)v′
由机械能守恒定律得：Ep＝mv2－(m＋M)v′2
联立解得弹簧压缩到最短时Ep＝
同理：对题图乙取B的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：Ep＝
故弹性势能相等，则有：L1＝L2，故A、B、D错误，C正确．
【变式训练1】两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2
kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6
m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4
kg的物块C静止在前方，如图所示．已知B与C碰撞后会粘在一起运动．在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
【变式训练2】如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，滑板上表面光滑．可视为质点的小木块A以速度v0=10m/s，由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知A的质量m=1kg，g?取10m/s2．求：
（1）弹簧被压缩到最短时木块A的速度；
（2）木块A?压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．
“滑块--斜面”碰撞模型
1.最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会从此处或提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)
2、最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(完全弹性碰撞拓展模型)
如图所示，半径均为R、质量均为M、内表面光滑的两个完全相同的圆槽A和B并排放在光滑的水平面上，图中a、c分别为A、B槽的最高点，b、b′分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着竖直墙壁，一个质量为m的小球C从圆槽A顶端的a点无初速度释放．重力加速度为g，求：
(1)小球C从a点运动到b点时的速度大小及A槽对地面的压力大小；
(2)小球C在B槽内运动所能达到的最大高度；
(3)B的最大速度的大小．
【变式训练】(2020·甘肃天水市调研)如图所示，在水平面上依次放置小物块A、C以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M＝3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈B.求：
(1)碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
1、一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（
）
A．动量守恒，机械能不守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
答案：A
解析：在子弹打击木块A及弹簧压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，系统所受的外力之和为零，则系统的动量守恒。在此过程中，除弹簧弹力做功外还有摩擦力对系统做功，所以系统机械能不守恒，A正确，BCD错误。
2.长为的轻绳，一端用质量为的圆环套在水平光滑的横杆上，另一端连接一质量为的小球。开始时，将小球移至横杆处（轻绳处于水平伸直状态，见图），然后轻轻放手，当绳子与横杆成直角时，小球速度沿水平方向且大小是，此过程圆环的位移是，则　　
，
B．，
，
D．，
答案：A
解析：取此时环速为，根据环球水平方向动量守恒有：，由于机械能守恒，则：联立解得：。环球水平方向类同人船模型：
解得：
3、（多选）如图所示，光滑水平面放置一个静止的质量为2m的带有半圆形轨道的滑块a，半圆形轨道的半径为R。一个质量为m的小球b从半圆轨道的左侧最高点处由静止释放，b到达半圆轨道最低点P时速度大小，然后进入右侧最高可到点Q，OQ连线与OP间的夹角=，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．滑块a向左滑行的最大距离为0.6R
B．小球b从释放到滑到Q点的过程中，克服摩擦力做的功为0.4mgR
C．小球b第一次到达P点时对轨道的压力为1.8mg
D．小球b第一次返回到P点时的速度大于
答案：AD
解析：A．滑块a和小球b相互作用的过程，系统水平方向合外力为零，系统水平方向动量守恒，小球b到达Q点时，根据动量守恒定律得滑块a和小球b的速度均为零，有
2msa=msb
sa+sb=R+Rsin
解得sa=0.6R,故A正确；
B．根据功能关系得小球b从释放到滑到Q点的过程中，克服摩擦力做的功为
,故B错误；
C．当b第一次到达半圆轨道最低点P时，根据动量守恒定律有2mva=mvb
解得
由牛顿运动定律得
解得
对轨道的压力,故C错误；
D．小球从P点到Q点，根据功能关系可得克服摩擦力做的功为
由功能关系结合圆周运动的知识，得小球b第一次返回到P点的过程中克服摩擦力做的功
W′<0.2mgR
故小球b第一次返回到P点时系统的总动能
解得,故D正确。
5.如图，一固定且足够长的斜面MN与水平面的夹角，斜面上有一质量为3m、上表面光滑且下端有挡板P的长木板A沿斜面匀速向下运动，速度大小，现将一质量为m的小滑块轻轻地放在长木板上，当小滑块运动到挡板P时（与挡板碰前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，之后小滑块与挡板发生第1次碰撞，以后每隔一段时间，小滑块就与挡板碰撞一次，小滑块始终在长木板上运动，已知小滑块与挡板的碰撞为弹性碰撞且磁撞时间极短，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　）
A．小滑块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小为
B．小滑块放在木板上的瞬间，其与P的距离为
C．小滑块与挡板第1次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
D．小滑块与挡板第2次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
答案：CD
解析：A．长木板开始匀速下滑，由平衡条件得，解得
把小滑块放上长木板后，对长木板，由牛顿第二定律得
解得,故A错误；BC．长木板上表面光滑，碰撞前小滑块做匀加速直线运动，小滑块加速运动时间设小滑块与挡板第一次碰撞前小滑块的速度为v，则滑块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得由机械能守恒定律得，解得，小滑块的位移为，木板的位移为，小滑块放在木板上的瞬间，其与P的距离为，故B错误，C正确；D．碰撞后长木板速度再次减为零的时间此时小滑块的速度为，解得
滑块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得，解得,故D正确。
6、用轻弹簧相连的质量均为m＝2kg的A、B两物体都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量M＝4kg的物体C静止在前方,如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动,在以后的运动中,求:
(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度.
(2)弹性势能的最大值.
解：（1）当弹簧的压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B、C的速度相等，由动量守恒定律得2mv=(2m＋M)v1
v1==3m/s，即A的速度为3m/s.
(2)由动量守恒定律得B、C碰撞时：mv=(m＋M)v2，
v2==2m/s
由能量守恒可得：
解得ΔEp=12J.
7.如图所示，在水平面左侧固定一斜面，斜面倾角为θ=37°，斜面高h=0.6m，水平面右侧固定一光滑半圆轨道，半圆轨道半径R=0.1m，斜面底部A点和半圆底部B点之间距离为L=1.2m。小物块和斜面以及地面间的动摩擦因数都为=0.2。一小物块从斜面项端从静止滑下，在A处无动能损失，经水平面与静止在B点的小球发生弹性碰撞，小球恰好能通过半圆轨道最高点。
(1)求小滑块刚达到B点时的速度；
(2)求小滑块和小球的质量之比。
解：(1)小滑块从静止到B点过程中利用动能定理
得：=2m/s
(2)小球恰好到达最高点，只有重力提供向心力
得=1m/s
小球从被碰撞到最高点过程应用动能定理
得m/s
在滑块和静止的小球碰撞过程中动量守恒，机械能守恒
得
代入数据得
7.光滑的水平面上静止放置着长度一定的长木板，质量相同的滑块甲和乙并排放在长木板上的a点，两滑块均可视为质点，to=0时刻给两滑块反向的初速度，方向如图所示，经过一段时间两滑块均刚好运动到长木板的两端与木板保持相对静止，已知长木板的质量为M=2
kg，两滑块的质量均为m=l
kg，滑块甲和乙的初速度大小分别为v1
=2
m/s、v2=4
m/s，两滑块与长木板之间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速度g取10
m/s2。则：
(1)长木板的长度是多少？
(2)上述过程中，滑块乙与长木板之间因摩擦而产生的内能是多少？
解：设两滑块与长木板最终的共同速度为v，整个系统动量守恒，则由动量守恒和能量守恒可得
解得：
，
(2)设滑块甲距左端为，滑块甲从运动到左端所需时间为，在滑块甲运动至左端前，长木板静止，由牛顿第二定律和运动学公式可得
解得
，
所以滑块乙距右端距离
滑块乙与长木板之间因摩擦而产生的内能
1.（2020北京）.在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度；静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　）
A.
将1号移至高度释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度
B.
将1、2号一起移至高度释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都守恒
C.
将右侧涂胶的1号移至高度释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号仍能摆至高度
D.
将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都不守恒
【答案】D
【解析】A．1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为零，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度，故A错误；
B．1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故B错误；
C．1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度，故C错误；
D．碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D正确。
故选D。
2.（2020全国3）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？
解析：（1）A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有
①
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为，有
②
由动量定理，有
③
联立①②③式，得
④
（2）设两球粘在一起时速度大小为，A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
⑤
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为，由动量守恒定律，有
⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B的动能至少为
⑧
3、（2019全国1）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前面动摩擦因数的比值。
【解析】：（1）物块A和物块B发生碰撞后一瞬间的速度分别为、，弹性碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒，即：
联立方程解得：；
根据v-t图象可知，
解得：
（2）设斜面的倾角为，根据牛顿第二定律得
当物块A沿斜面下滑时：，由v-t图象知：
当物体A沿斜面上滑时：，由v-t图象知：
解得：；
又因下滑位移
则碰后A反弹，沿斜面上滑的最大位移为：
其中为P点离水平面得高度，即
解得
故在图（b）描述的整个过程中，物块A克服摩擦力做的总功为：
（3）设物块B在水平面上最远的滑行距离为，设原来的摩擦因为为
则以A和B组成的系统，根据能量守恒定律有：
设改变后的摩擦因数为，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上，即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得：
又据（2）的结论可知：，得：
联立解得，改变前与改变后的摩擦因素之比为：。
4、甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1
m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1
m/s和2
m/s．求甲、乙两运动员的质量之比．
答案3:2
解析：由动量守恒定律得，解得
代入数据得
5、（2018全国2）汽车A在水平冰雪路面上行驶，驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m，已知A和B的质量分别为kg和kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小.求
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小.
解：试题分析：两车碰撞过程动量守恒，碰后两车在摩擦力的作用下做匀减速运动，利用运动学公式可以求得碰后的速度，然后在计算碰前A车的速度.
（1）设B车质量为mB，碰后加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有
①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数.
设碰撞后瞬间B车速度的大小为，碰撞后滑行的距离为.由运动学公式有
②
联立①②式并利用题给数据得
③
（2）设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA.根据牛顿第二定律有
④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为，碰撞后滑行的距离为.由运动学公式有
⑤
设碰撞后瞬间A车速度的大小为，两车在碰撞过程中动量守恒，有
⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得
6、（2019全国3）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0kg，mB=4.0kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
解：首先需要理解弹簧释放后瞬间的过程内A、B组成的系统动量守恒，再结合能量关系求解出A、B各自的速度大小；很容易判定A、B都会做匀减速直线运动，并且易知是B先停下，至于A是否已经到达墙处，则需要根据计算确定，结合几何关系可算出第二问结果；再判断A向左运动停下来之前是否与B发生碰撞，也需要通过计算确定，结合空间关系，列式求解即可。
（1）设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有
0=mAvA-mBvB①
②
联立①②式并代入题给数据得
vA=4.0m/s，vB=1.0m/s
（2）A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB。，则有
④
⑤
⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程SA都可表示为
sA=vAt–⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA=1.75m，sB=0.25m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25m处。B位于出发点左边0.25m处，两物块之间的距离s为
s=025m+0.25m=0.50m⑨
（3）t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA′′以和vB′′，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
联立式并代入题给数据得
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式
由④式及题给数据得
sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离
7、（2020全国2）水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0
kg的静止物块以大小为5.0
m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0
m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0
m/s，反弹的物块不能再追上
运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为（
）
A.
48
kg
B.
53
kg
C.
58
kg
D.
63
kg
答案：BC
解：设运动员和物块的质量分别为、规定运动员运动的方向为正方向，运动员开始时静止，第一次将物块推出后，运动员和物块的速度大小分别为、，则根据动量守恒定律
解得
物块与弹性挡板撞击后，运动方向与运动员同向，当运动员再次推出物块
解得
第3次推出后
解得
依次类推，第8次推出后，运动员的速度
根据题意可知
解得
第7次运动员的速度一定小于，则
解得
综上所述，运动员的质量满足
AD错误，BC正确。
故选BC。
8.（2019全国1）最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3
km/s，产生的推力约为4.8×106
N，则它在1
s时间内喷射的气体质量约为
A.
1.6×102
kg
B.
1.6×103
kg
C.
1.6×105
kg
D.
1.6×106
kg
答案：B
解：设该发动机在s时间内，喷射出的气体质量为，根据动量定理，，可知，在1s内喷射出的气体质量，故本题选B。
9.（2018全国1）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动.爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度
解：(1)设烟花弹上升的初速度为v0，由题给条件有?
E=1/2mv20
①?
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t，由运动学公式有?
0-v0=-gt
②?
联立①②式得?
t=1/g
③?
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1，由机械能守恒定律有?
E=mgh1
④?
火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为v1和v2.由题给条件和动量守恒定律有?
1/4mv21+1/4mv22=E
⑤?
1/2mv1+1/2mv2=0
⑥?
由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动.设爆炸后烟花弹向上运动部分继续上升的高度为h2，由机械能守恒定律有?
1/4mv21=1/2mgh2
⑦?
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹向上运动部分距地面的最大高度为?
h=h1+h2=2E/mg
⑧?
10.（2017全国1）将质量为1.00
kg的模型火箭点火升空，50
g燃烧的燃气以大小为600
m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）
A．30
B．5.7×102
C．6.0×102
D．6.3×102
答案：A
解析：设火箭的质量（不含燃气）为m1，燃气的质量为m2，根据动量守恒，m1v1=m2v2，解得火箭的动量为：p=m1v1=m2v2=30
，所以A正确，BCD错误。
11.(2014·福建卷)
一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为________．(填选项前的字母)
A．v0－v2
B．v0＋v2
C．v0－v2
D．v0＋(v0－v2)
答案：D　
解析：忽略空气阻力和分离前后系统质量的变化，卫星和箭体整体分离前后动量守恒，则有(m1＋m2)v0＝m1v1＋m2v2，整理可得v1＝v0＋(v0－v2)，故D项正确．
12.（2018天津)质量为0.45
?kg?的木块静止在光滑水平面上，一质量为0.05
kg的子弹以200
m/s?的水平速度击中木块，并留在其中，整个木块沿子弹原方向运动，则木块最终速度的大小是______?m/s若子弹在木块中运动时受到的平均阻力为4.5×10?3
?N?,则子弹射入木块的深度为____?
答案：
20
0.2
?
解析：子弹打木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有mv0=(M+m)v，将已知条件代入解得v=20
m/s;由功能关系可知，Q=fd=1/2mv20－1/2（M+m）v2，解得d=0.2
m.?
13.（2017·天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2
kg、mB=1
kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8
m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10
m/s2。空气阻力不计。求：
（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。
解析：（1）B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有：解得：
（2）设细绳绷直前瞬间B速度大小为vB，有
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，总动量守恒：
绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A的最大速度为2
m/s
（3）细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有：
解得，初始时B离地面的高度
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《动量守恒定律》复习导学案
1.理解冲量和动量。通过理论推导和实验，理解动量定理和
动量守恒定律，能用其解释生产生活中的有关现象。知道动量守恒定律的普适性。
2.体会用守恒定律分析物理问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
内容
要求
动量、动量定理、动量守恒定律及其应用
Ⅱ
弹性碰撞和非弹性碰撞
Ⅰ
1、考情统计
真题
涉分
考点
题型
难度
设题情境
思想方法
素养要求
动量、动量定理
动量守恒定律及其应用
2020课标卷Ⅱ，21
6
动量守恒
选择
难
运动员与滑块
分析综合
模型建构
2020课标卷Ⅲ，25
6
动量定理
计算
难
滑块
分析综合
模型建构
2019课标Ι.16
6
动量定理
选择
易
流体问题
运动建模
模型建构
2019课标Ι,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
斜面与碰撞
分析综合
科学性理、
科学论证
2019课标Ⅲ
,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
“弹簧-滑块”模型
分析综合
模型建构
科单推理
2018课标Ⅰ，14
6
功量
选择
易
列车启动
科学推理
2018课标Ⅰ，24
6
动量与能量
计算
中
烟花爆炸
科学论证
2018课标Ⅱ，15
6
动量定理
选择
中
高空业物
估算法
能量现为
2018课标Ⅱ,24
6
动量守恒
计算
局
汽车碰撞
模型法
科学论证
2017课标Ⅰ,14
6
反冲运动
选择
易
火箭点火
模型法
科学论证
2017课标Ⅱ，15
6
动量守恒
选择
中
衰变
模型法
运动与相互作用
2016课标Ⅰ,35(2)
5
动量定理
计算
中
喷泉顶物
图数法
科学推理、科学论证
2016课标Ⅱ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
冰块滑行
科学推理、科学论证
2016课标Ⅲ,35(1)
5
动量守恒
选择
中
原子俘获
模型建构、科学论证
2016课标
Ⅲ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
两物碰撞
极值法
科学推理、科学论证
2.考查方式
从前几年命题规律来看，应用碰撞或反冲运动模型，以计算题的形式考查动量和能量观点的综合应用。
3.命题趋势
由于动量守恒定律作为必考内容，因此综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点，既可以将动量与力学知识结合，也可将动量和电学知识结合，作为理综试卷压轴计算题进行命题。
4、备考建议
（1）因本专题涉及考点较多，但难度不大，大多为直接考查属于理解和记忆的相关考点，故在复习中常回头看看。
（2）涉及物理学史的选择题为易错题，在复习备考中，要将人和事的关系对应关系规律化。
动量守恒及其应用
一、动量守恒定律
1．内容：如果一个系统__
__，或者所受__
__为0，这个系统的总动量保持不变。
2．动量守恒定律常用的三种表达形式
(1)m1v1＋m2v2＝
，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量矢量和等于作用后的动量矢量和。
(2)Δp1＝
，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零
3．适用条件：
(1)理想守恒：系统不受外力或所受
为零，则系统动量守恒。
(2)近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远
外力时，系统的动量可近似看成守恒。
(3)分方向守恒：系统在某个方向上所受合力
时，系统在该方向上动量守恒。
【即学即用】关于系统动量守恒，下列说法错误的是(　　)
A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒
B．只要系统所受的合外力为零，系统动量就守恒
C．系统所受合外力不为零，其动量一定不守恒，但有可能在某一方向上守恒
D．相互作用的两物体动量的增量的矢量和一定为零
二、碰撞、反冲、爆炸
1．碰撞：物体间的相互作用持续时间____,_而物体间相互作用力__
__的现象。
2．特点：在碰撞现象中，一般都满足内力__
__外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒。
3．分类：
两类守恒
碰撞类型
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
守恒
__
__
非弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失
4.反冲运动：
观察下列两幅图，思考图甲中喷灌工作原理以及图乙中运载火箭升空原理，填充以下内容：
(1)在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用的过程中系统的动能__
__，且常伴有其他形式能向动能的转化。
(2)反冲运动的过程中，如果合外力为零或外力的作用__
__物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。
5．爆炸问题：爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且__
__系统所受的外力，所以系统动量__
_，爆炸过程中位移很小，可忽略不计，作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动。
【即学即用】(多选)下列属于反冲运动的是(　　)
A．汽车的运动
B．直升飞机的运动
C．火箭的运动
D．反击式水轮机的运动
题型1
动量定理的理解和应用
1．适用条件
(1)前提条件：存在相互作用的物体组成的系统．
(2)理想条件：系统不受外力．
(3)实际条件：系统所受合外力为0.
(4)近似条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于系统所受的外力．
(5)方向条件：系统在某一方向上满足上面的条件，则在此方向上动量守恒．
2．解题步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
　两磁铁各放在两辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动．已知甲车和磁铁的总质量为0.5
kg，乙车和磁铁的总质量为1
kg，两磁铁的N极相对．推动一下，使两车相向运动，某时刻甲的速度大小为2
m/s，乙的速度大小为3
m/s，方向与甲相反，两车运动过程中始终未相碰．则：
(1)两车最近时，乙的速度为多大？
(2)甲车开始反向时，乙的速度为多大？
变式训练1　(多选)如图所示是两组短道速滑选手在接力瞬间的照片，在短道速滑接力时，后面队员把前面队员用力推出(推出过程中可忽略运动员受到的冰面水平方向的作用力)，以下说法正确的是(　　)
A．接力过程中前面队员动能增加量等于后面队员动能减少量
B．接力过程中前面队员受到的冲量和后面队员受到的冲量大小相等，方向相反
C．接力过程中前后两名队员总动量增加
D．接力过程中前后两名队员总动量不变
变式训练2　如图甲所示，光滑平台上物体A以初速度v0滑到静止于水平地面且上表面粗糙的水平小车上，车与水平面间的动摩擦因数不计，图乙为物体A与小车B的v－t图象，由图乙中各物理量可求得(　　)
A．小车上表面的长度
B．物体A的质量
C．小车B的质量
D．物体A与小车B的质量之比
变式训练3　一质量为M的航天器远离太阳和行星，正以速度v0在太空中飞行，某一时刻航天器接到加速的指令后，发动机瞬间向后喷出质量为m的气体，气体向后喷出的速度大小为v1，加速后航天器的速度大小v2等于(v0、v1、v2均为相对同一参考系的速度)(　　)
A.
B.
C.
D.
变式训练4如图所示，一质量为m的木块下端通过一细线悬挂一质量为M的金属小球，在水中以速度v0匀速下降。某一时刻细线突然断裂，此后经过时间t木块的速度减为零。已知重力加速度为g，求：
(1)t时刻金属小球的速度大小；
(2)t时间内水对金属小球的冲量的大小和方向。
题型2、动量守恒定律的几类经典模型
（一）　碰撞模型
1．分析碰撞问题的三个依据
(1)动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要合理
①碰前两物体同向，则v后>v前；碰后，原来在前的物体速度一定增大，且v前′≥v后′。
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
2．弹性碰撞的规律
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。
以质量为m1，速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′①
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2②
由①②得v1′＝　v2′＝
结论：
(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，两球碰撞后交换了速度。
(2)当m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两球都向前运动。
(3)当m10，碰撞后质量小的球被反弹回来。
3．非弹性碰撞的规律
满足动量守恒定律和能量守恒定律。
例如：以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面非弹性碰撞为例，由动量守恒定律知m1v1＝m1v1′＋m2v2′，由能量守恒定律知，系统损失的机械能ΔE损＝m1v－(m1v′＋m2v′)。
如图所示，一个质量为M＝50
kg的运动员和质量为m＝10
kg的木箱静止在光滑水平面上，从某时刻开始，运动员以v0＝3
m/s的速度向墙的方向推出箱子，箱子与右侧墙壁发生完全弹性碰撞后返回．当运动员接到箱子后，再次重复上述过程，每次运动员均以v0＝3
m/s的速度向墙的方向推出箱子．求：
(1)运动员第一次接到木箱后的速度大小；
(2)运动员最多能够推出木箱几次？
某超市两辆相同的手推购物车质量均为m且相距为l沿直线排列，静置于水平地面上。为了节省收纳空间，工人给第一辆车一个瞬间的水平推力使其运动，并与第二辆车相碰，且在极短时间内相互嵌套结为一体，以共同的速度运动了距离，恰好停靠在墙边。若车运动时受到的摩擦力恒为车重的k倍，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
⑴购物车碰撞过程中系统损失的机械能；
⑵工人给第一辆购物车的水平冲量大小。
变式训练1　(多选)如图7所示，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生碰撞后的可能运动状态是(　　)
图7
A．A和B都向左运动
B．A和B都向右运动
C．A、B都静止
D．A向左运动，B向右运动
变式训练2　(多选)如图8所示，在光滑水平面上，质量为m的A球以速度v0向右运动，与静止的质量为5m的B球碰撞，碰撞后A球以v＝av0(待定系数a<1)的速度弹回，并与固定挡板P发生弹性碰撞，若要使A球能再次追上B球并相撞，则系数a可以是(　　)
图8
A.
B.
C.
D.
变式训练3(2019·安徽砀山二中月考)(多选)质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是7
kg·m/s，B球的动量是5
kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是(　CD　)
A．－2
kg·m/s,14
kg·m/s
B．－4
kg·m/s,16
kg·m/s
C．6
kg·m/s,6
kg·m/s
D．5
kg·m/s,7
kg·m/s
变式训练4　如图9所示，在水平光滑直导轨上，静止着两个质量为m＝1
kg的相同的小球A、B.现让A球以v0＝2
m/s的速度向B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起继续向右运动．求：
图9
(1)A、B两球碰撞后一起运动的共同速度多大？
(2)碰撞过程中损失了多少动能？
变式训练5如图所示，三个直径相同的小球静止在足够长的光滑水平面上，A、C两球的质量均为m，B球的质量为km(k>1)。给A球一个水平向右的初速度v0，B球先与A球发生弹性正碰，再与C球发生弹性正碰。求系数k的值为多大时，B与C碰后瞬间B球的速度最大？
（二）反冲模型
1．反冲
(1)现象：物体的不同部分在内力的作用下向相反方向运动。
(2)特点：一般情况下，物体间的相互作用力(内力)较大，反冲运动中平均动量守恒，机械能往往不守恒。
(3)实例：喷气式飞机、火箭等。
2．火箭获得的最终速度
火箭发射前的总质量为M、燃料燃尽后的质量为m，火箭燃气的喷射速度为v1，如图所示，燃料燃尽后火箭的飞行速度v为多大？
在火箭发射过程中，由于内力远大于外力，所以动量守恒。
发射前的总动量为0，发射后的总动量为mv－(M－m)v1(以火箭的速度方向为正方向)
则：mv－(M－m)v1＝0
所以v＝(－1)v1
燃料燃尽时火箭获得的最终速度由喷气速度及质量比决定。
(2019·湖北鄂州、黄冈调研)“世界上第一个想利用火箭飞行的人”是明朝的士大夫万户。他把47个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，飞上天空，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备(含燃料的火箭、椅子、风筝等)总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以v0的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　B　)
A．火箭的推力来源于空气对它的反作用力
B．在燃气喷出的瞬间，火箭的速度大小为
C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为
D．在火箭喷气过程中，万户及所携设备机械能守恒
【变式训练1】质量m＝260
g的手榴弹从水平地面上以v0＝10
m/s的初速度斜向上抛出，上升到距地面h＝5
m的最高点时爆炸，手榴弹除火药外的部分炸裂成质量相等的两块弹片，其中一块弹片自由下落到达地面，落地时动能为5
J。重力加速度g＝10
m/s2，空气阻力不计，火药燃烧充分，求：
(1)手榴弹爆炸前瞬间的速度大小；
(2)手榴弹所装火药的质量；
(3)两块弹片落地点间的距离。
【变式训练2】如图所示，甲、乙两名宇航员正在离空间站一定距离的地方执行太空维修任务。某时刻甲、乙都以大小为v0＝2
m/s的速度相向运动，甲、乙和空间站在同一直线上且可视为质点。甲和他的装备总质量为M1＝90
kg，乙和他的装备总质量为M2＝135
kg，为了避免直接相撞，乙从自己的装备中取出一质量为m＝45
kg的物体A推向甲，甲迅速接住A后即不再松开，此后甲、乙两宇航员在空间站外做相对距离不变的同向运动，且安全“飘”向空间站。(设甲、乙距离空间站足够远，本题中的速度均指相对空间站的速度)
(1)乙要以多大的速度v(相对于空间站)将物体A推出？
(2)设甲与物体A作用时间为t＝0.5
s，求甲与A的相互作用力F的大小。
（三）爆炸模型
1.爆炸的特点
(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸时物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒。
(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加。
(3)位移不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中物体运动的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸时的位置以新的动量开始运动。
(2019·福建莆田一中月考)(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则(　)
A．b的速度方向一定与原速度方向相反
B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大
C．a、b一定同时到达地面
D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等
【变式训练】(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则(　　)
A．b的速度方向一定与原速度方向相反
B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大
C．a、b一定同时到达地面
D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等
人船模型
1.“人船模型”问题
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒。在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。这样的问题归为“人船模型”问题。
2.模型探究：如图所示，长为L、质量为m船的小船停在静水中，质量为m人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。
以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得m船v船＝m人v人，因人和船组成的系统动量始终守恒，故有m船x船＝m人x人，由图可看出x船＋x人＝L，可解得x人＝L，x船＝L。
2.模型特点
3.结论：m1x1＝m2x2(m1、m2为相互作用的物体质量，x1、x2为其位移大小)
如图所示，长为L、质量为M的船停在静水中，一个质量为m的人(可视为质点)站在船头，在人从船头走到船尾的过程中，船与人相对地的位移大小分别为多少？(忽略水对船的阻力)
【变式训练1】如图所示，物体A、B的质量分别为m、2m，物体B置于水平面上，B物体上部半圆形槽的半径为R，将物体A从B槽的右侧最顶端由静止释放，一切摩擦均不计。则下列选项正确的是(　　)
A．A不能到达B圆槽的左侧最高点
B．A运动到圆槽最低点时的速度为
C．B向右匀速运动
D．B向右运动的最大位移大小为R
【变式训练2】如图所示小船静止于水面上，站在船尾上的渔夫不断将鱼抛向船头的船舱内，将一定质量的鱼抛完后，关于小船的速度和位移，下列说法正确的是(　　)
小船向左运动，船向左移一些
B.小船静止，船向左移一些
C.小船静止，船向右移一些
D.小船静止，船不移动
【变式训练3】如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为m1＝50
kg的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为m2＝20
kg，长绳的下端刚好和水平面接触，当静止时人离地面的高度为h＝5
m。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，他离地面高度是(可以把人看做质点)(　　)
A.5
m　　　　　　
B.3.6
m
C.2.6
m
D.8
m
【变式训练4】如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h.今有一质量为m的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D.
（五）“子弹打木块”模型
1．木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，系统所受的合外力为零，因此动量守恒．
2．两者发生的相对位移为子弹射入的深度x相．
3．根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能．
4．系统产生的内能Q＝f·x相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积．
5．当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔEk＝f·L(L为木块的长度)．
(多选)如图，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s.则以下说法正确的是(　　)
A．子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
【变式训练1】
如图
甲所示，一块长度为L、质量为m的木块静止在光滑水平面上．一颗质量也为m的子弹以水平速度v0射入木块．当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s，如图乙所示．设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点．则子弹穿过木块的时间为(　　)
A.(s＋L)
B.(s＋2L)
C.(s＋L)
D.(L＋2s)
【变式训练2】如图示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980克的长方形匀质木块，现有一颗质量为m=20克的子弹以v0
=
300m/s
的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为L=10cm，子弹打进木块的深度为d=6cm，设木块对子弹的阻力保持不变。
（1）求子弹和木块的共同的速度以及它们在此过程中所增加的内能。
（2）若子弹是以v0
=
400m/s的水平速度从同一方向射向该木块的，则它能否射穿该木块？
（3）若能射穿木块，求子弹和木块的最终速度是多少？
板块模型
1.动量守恒—合外力为零，动量守恒；木板放在光滑的水平地面上，滑块和木板不受其他外力作用，动量守恒。
2.涉及绝对位移（即物体相对于地面的位移）或者涉及内力做功，可以针对性地利用动能定理求解。即涉及哪个物体的绝对位移或者内力对哪个物体做功，就针对性地对这个物体利用动能定理求解。
3.涉及相对位移（滑块相对于木板的位移也就是滑块在木板上滑行的位移或者是木板的长度）利用能量守恒求解，其中机械能转化为的内能表达式：ΔE=Q=μmgd相对
滑块模型的能量守恒为：
mv02=
(M+m)v2+μmgd
4.涉及作用时间或者内力的冲量，可以选择性地利用动量定理求解。对于不同物体的动量定理涉及的时间和内力的冲量大小相同，因此选择受力简单的物体进行动量定理求解较为方便。
如图所示，一个质量为m的滑块以初速度v0冲上静止在光滑水平面上质量为M的木板之后，滑块带动木板向前运动一段时间后两者相对静止。两者间的动摩擦因数为μ。求：
（1）滑块和木板最终的速度
（2）上述过程中滑块和木板在水平面上滑行的距离
（3）滑块在木板上滑行的距离
（4）系统损失的机械能和系统增加的内能
（5）上述过程经历的时间
【变式训练1】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小滑块A，m＜M，A、B间动摩擦因数为μ。现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0，使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：
（1）A、B最后的速度大小和方向
（2）平板车的长度至少是多少
（3）从地面上看，小木块向左运动最大位移
（4）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车运动的位移和整个过程中平板车运动的位移
（5）上述过程所经历的时间
【变式训练2】如图所示，质量为1.5kg的木块m以8m/s的速度水平地滑上静止在光滑水平地面上的平板小车M，车的质量为4.5kg，木块与小车之间的摩擦系数为0.2（g取l0m/s2）．设小车足够长，求：
（1）木块和小车相对静止时小车的速度
（2）从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间
（3）从木块滑上小车到它们处于相对静止时木块相对小车滑行的距离．
【变式训练2】如图所示，AB为半径R=0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰好与长度L=1.4m的小车右端平滑对接，小车质量M=4kg。现有一质量m=1kg的小滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.2.（g=10m/s2）试求：
(1)滑块到达B端时，它对轨道的压力FN。
(2)经多长时间滑块从小车左端滑落。
(3)整个运动过程中产生的热量Q。
（七）“滑块-弹簧”碰撞模型
1.两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒
2.在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
3.弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)
4.弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)
A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的质量分别为m和M(mA．L1>L2
B．L1C．L1＝L2
D．不能确定
【变式训练1】两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2
kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6
m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4
kg的物块C静止在前方，如图所示．已知B与C碰撞后会粘在一起运动．在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
【变式训练2】如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，滑板上表面光滑．可视为质点的小木块A以速度v0=10m/s，由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动．已知A的质量m=1kg，g?取10m/s2．求：
（1）弹簧被压缩到最短时木块A的速度；
（2）木块A?压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．
“滑块--斜面”碰撞模型
1.最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会从此处或提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)
2、最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(完全弹性碰撞拓展模型)
如图所示，半径均为R、质量均为M、内表面光滑的两个完全相同的圆槽A和B并排放在光滑的水平面上，图中a、c分别为A、B槽的最高点，b、b′分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着竖直墙壁，一个质量为m的小球C从圆槽A顶端的a点无初速度释放．重力加速度为g，求：
(1)小球C从a点运动到b点时的速度大小及A槽对地面的压力大小；
(2)小球C在B槽内运动所能达到的最大高度；
(3)B的最大速度的大小．
【变式训练】(2020·甘肃天水市调研)如图所示，在水平面上依次放置小物块A、C以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M＝3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈B.求：
(1)碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
1、一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（
）
A．动量守恒，机械能不守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
2.长为的轻绳，一端用质量为的圆环套在水平光滑的横杆上，另一端连接一质量为的小球。开始时，将小球移至横杆处（轻绳处于水平伸直状态，见图），然后轻轻放手，当绳子与横杆成直角时，小球速度沿水平方向且大小是，此过程圆环的位移是，则　　
，
B．，
，
D．，
3、（多选）如图所示，光滑水平面放置一个静止的质量为2m的带有半圆形轨道的滑块a，半圆形轨道的半径为R。一个质量为m的小球b从半圆轨道的左侧最高点处由静止释放，b到达半圆轨道最低点P时速度大小，然后进入右侧最高可到点Q，OQ连线与OP间的夹角=，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．滑块a向左滑行的最大距离为0.6R
B．小球b从释放到滑到Q点的过程中，克服摩擦力做的功为0.4mgR
C．小球b第一次到达P点时对轨道的压力为1.8mg
D．小球b第一次返回到P点时的速度大于
5.如图，一固定且足够长的斜面MN与水平面的夹角，斜面上有一质量为3m、上表面光滑且下端有挡板P的长木板A沿斜面匀速向下运动，速度大小，现将一质量为m的小滑块轻轻地放在长木板上，当小滑块运动到挡板P时（与挡板碰前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，之后小滑块与挡板发生第1次碰撞，以后每隔一段时间，小滑块就与挡板碰撞一次，小滑块始终在长木板上运动，已知小滑块与挡板的碰撞为弹性碰撞且磁撞时间极短，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　）
A．小滑块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小为
B．小滑块放在木板上的瞬间，其与P的距离为
C．小滑块与挡板第1次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
D．小滑块与挡板第2次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
6、用轻弹簧相连的质量均为m＝2kg的A、B两物体都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量M＝4kg的物体C静止在前方,如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动,在以后的运动中,求:
(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度.
(2)弹性势能的最大值.
7.如图所示，在水平面左侧固定一斜面，斜面倾角为θ=37°，斜面高h=0.6m，水平面右侧固定一光滑半圆轨道，半圆轨道半径R=0.1m，斜面底部A点和半圆底部B点之间距离为L=1.2m。小物块和斜面以及地面间的动摩擦因数都为=0.2。一小物块从斜面项端从静止滑下，在A处无动能损失，经水平面与静止在B点的小球发生弹性碰撞，小球恰好能通过半圆轨道最高点。
(1)求小滑块刚达到B点时的速度；
(2)求小滑块和小球的质量之比。
7.光滑的水平面上静止放置着长度一定的长木板，质量相同的滑块甲和乙并排放在长木板上的a点，两滑块均可视为质点，to=0时刻给两滑块反向的初速度，方向如图所示，经过一段时间两滑块均刚好运动到长木板的两端与木板保持相对静止，已知长木板的质量为M=2
kg，两滑块的质量均为m=l
kg，滑块甲和乙的初速度大小分别为v1
=2
m/s、v2=4
m/s，两滑块与长木板之间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速度g取10
m/s2。则：
(1)长木板的长度是多少？
(2)上述过程中，滑块乙与长木板之间因摩擦而产生的内能是多少？
1.（2020北京）.在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度；静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　）
A.
将1号移至高度释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度
B.
将1、2号一起移至高度释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都守恒
C.
将右侧涂胶的1号移至高度释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号仍能摆至高度
D.
将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都不守恒
2.（2020全国3）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？
3、（2019全国1）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前面动摩擦因数的比值。
。
甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1
m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1
m/s和2
m/s．求甲、乙两运动员的质量之比．
5、（2018全国2）汽车A在水平冰雪路面上行驶，驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m，已知A和B的质量分别为kg和kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小.求
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小.
6、（2019全国3）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0kg，mB=4.0kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
7、（2020全国2）水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0
kg的静止物块以大小为5.0
m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0
m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0
m/s，反弹的物块不能再追上
运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为（
）
A.
48
kg
B.
53
kg
C.
58
kg
D.
63
kg
8.（2019全国1）最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3
km/s，产生的推力约为4.8×106
N，则它在1
s时间内喷射的气体质量约为
A.
1.6×102
kg
B.
1.6×103
kg
C.
1.6×105
kg
D.
1.6×106
kg
9.（2018全国1）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动.爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度
10.（2017全国1）将质量为1.00
kg的模型火箭点火升空，50
g燃烧的燃气以大小为600
m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）
A．30
B．5.7×102
C．6.0×102
D．6.3×102
11.(2014·福建卷)
一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为________．(填选项前的字母)
A．v0－v2
B．v0＋v2
C．v0－v2
D．v0＋(v0－v2)
12.（2018天津)质量为0.45
?kg?的木块静止在光滑水平面上，一质量为0.05
kg的子弹以200
m/s?的水平速度击中木块，并留在其中，整个木块沿子弹原方向运动，则木块最终速度的大小是______?m/s若子弹在木块中运动时受到的平均阻力为4.5×10?3
?N?,则子弹射入木块的深度为____?
13.（2017·天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2
kg、mB=1
kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8
m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10
m/s2。空气阻力不计。求：
（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。
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