资源简介

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《动量守恒定律》复习导学案
《动量
动量守恒定理》复习导学案
高考命题分析
1.理解冲量和动量。通过理论推导和实验，理解动量定理和
动量守恒定律，能用其解释生产生活中的有关现象。知道动量守恒定律的普适性。
2.体会用守恒定律分析物理问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
内容
要求
动量、动量定理、动量守恒定律及其应用
Ⅱ
弹性碰撞和非弹性碰撞
Ⅰ
1、考情统计
真题
涉分
考点
题型
难度
设题情境
思想方法
素养要求
动量、动量定理
动量守恒定律及其应用
2020课标卷Ⅱ，21
6
动量守恒
选择
难
运动员与滑块
分析综合
模型建构
2020课标卷Ⅲ，25
6
动量定理
计算
难
滑块
分析综合
模型建构
2019课标Ι.16
6
动量定理
选择
易
流体问题
运动建模
模型建构
2019课标Ι,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
斜面与碰撞
分析综合
科学性理、
科学论证
2019课标Ⅲ
,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
“弹簧-滑块”模型
分析综合
模型建构
科单推理
2018课标Ⅰ，14
6
功量
选择
易
列车启动
科学推理
2018课标Ⅰ，24
6
动量与能量
计算
中
烟花爆炸
科学论证
2018课标Ⅱ，15
6
动量定理
选择
中
高空业物
估算法
能量现为
2018课标Ⅱ,24
6
动量守恒
计算
局
汽车碰撞
模型法
科学论证
2017课标Ⅰ,14
6
反冲运动
选择
易
火箭点火
模型法
科学论证
2017课标Ⅱ，15
6
动量守恒
选择
中
衰变
模型法
运动与相互作用
2016课标Ⅰ,35(2)
5
动量定理
计算
中
喷泉顶物
图数法
科学推理、科学论证
2016课标Ⅱ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
冰块滑行
科学推理、科学论证
2016课标Ⅲ,35(1)
5
动量守恒
选择
中
原子俘获
模型建构、科学论证
2016课标
Ⅲ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
两物碰撞
极值法
科学推理、科学论证
2.考查方式
从前几年命题规律来看，应用碰撞或反冲运动模型，以计算题的形式考查动量和能量观点的综合应用。
3.命题趋势
由于动量守恒定律作为必考内容，因此综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点，既可以将动量与力学知识结合，也可将动量和电学知识结合，作为理综试卷压轴计算题进行命题。
4、备考建议
（1）因本专题涉及考点较多，但难度不大，大多为直接考查属于理解和记忆的相关考点，故在复习中常回头看看。
（2）涉及物理学史的选择题为易错题，在复习备考中，要将人和事的关系对应关系规律化。
专题强化
动力学
、动量和能量观点在力学中的应用
本热点是力学三大观点在力学中的综合应用，高考将作为计算题、压轴题的形式命题。
学好本热点，可以帮助同学们熟练应用力学三大观点分析和解决综合问题。（3）用到的知识、规律和方法有：动力学观点(牛顿运动定律和运动学基本规律)，动量观点(动量定理和动量守恒定律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律)。
一、解决力学问题的三个基本观点
动力学观点
用
结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题和圆周运动问题
能量观点
用
和能量守恒知识解题，可处理非匀变速运动问题
动量观点
用
和动量守恒定律解题，可处理非匀变速运动问题
综合问题要综合运用上述三种观点的多个规律，才能顺利求解。
二、力的三个作用效果与五个规律
分类
对应规律
公式表达
力的瞬时作用效果
牛顿第二定律
力对空间积累效果
动能定理
机械能守恒定律
力对时间积累效果
动量定理
动量守恒定律
三、力学三大观点的选用原则
1、求解物体某一时刻受力及加速度时，可用牛顿第二定律或运动学公式列式解决。
2、研究某一物体受到力的持续作用，运动状态发生改变的问题时，在涉及时间和速度，不涉及位移和加速度时要首先考虑选用动量定理；在涉及位移、速度，不涉及时间和加速度时要首先考虑选用动能定理。
3、若研究的对象为相互作用的物体组成的系统，一般考虑用机械能守恒定律和动量守恒定律解决，但要仔细分析研究的过程是否符合守恒条件。
4、在涉及相对位移问题时应优先考虑选用能量守恒定律，即滑动摩擦力与相对位移的乘积等于系统机械能的减少量，也等于系统产生的内能。
5、涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象的问题，通常可选用动量守恒定律，但须注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化。
四．用力学三大观点解题的步骤
1、认真审题，明确题目所述的物理情境，确定研究对象。
2、分析研究对象的受力情况、运动状态以及运动状态的变化过程，作出草图。
3、根据运动状态的变化规律确定解题观点，选择适用规律。
①若用动力学的观点解题，要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度。
②若用两大定理求解，应确定过程的始、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)。
③若可判断研究对象在某运动过程中满足动量守恒或机械能守恒的条件，则可根据题意选择合适的始、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求研究对象在末状态时的速度(率)。
4、根据选择的规律列式，有时还需要挖掘题目中的其他条件(如隐含条件、临界条件、几何关系等)并列出辅助方程。
5、代入数据，计算结果。
题型1
动量与动力学观点的综合应用
　如图甲所示，质量均为m＝0.5
kg的相同物块P和Q(可视为质点)分别静止在水平地面上A、C两点．P在按图乙所示随时间变化的水平力F作用下由静止开始向右运动，3
s末撤去力F，此时P运动到B点，之后继续滑行并与Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短．已知B、C两点间的距离L＝3.75
m，P、Q与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g＝10
m/s2，求：
(1)P到达B点时的速度大小v及其与Q碰撞前瞬间的速度大小v1；
(2)Q运动的时间t.
变式训练1　质量为m1＝1
200
kg的汽车A以速度v1＝21
m/s沿平直公路行驶时，驾驶员发现前方不远处有一质量m2＝800
kg的汽车B以速度v2＝15
m/s迎面驶来，两车立即同时急刹车，使车做匀减速运动，但两车仍在开始刹车t＝1
s后猛烈地相撞，相撞后结合在一起再滑行一段距离后停下，设两车与路面间的动摩擦因数μ＝0.3，取g＝10
m/s2，忽略碰撞过程中路面摩擦力的冲量，求：
(1)两车碰撞后刚结合在一起时的速度大小；
(2)设两车相撞时间(从接触到一起滑行)t0＝0.2
s，则A车受到的水平平均冲力是其自身重力的几倍；
(3)两车一起滑行的距离．
变式训练2　汽车A在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m．已知A和B的质量分别为2.0×103
kg和1.5×103
kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10
m/s2.求：
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小．
【变式训练3】
如图所示，带有圆管轨道的长轨道水平固定，圆管轨道竖直(管内直径可以忽略)，底端分别与两侧的直轨道相切，圆管轨道的半径
R＝0.5
m，P点左侧轨道(包括圆管)光滑，右侧轨道粗糙．质量m＝1
kg的物块A以v0＝10
m/s的速度滑入圆管，经过竖直圆管轨道后与直轨道上P处静止的质量M＝2
kg的物块B发生碰撞(碰撞时间极短)，碰后物块B在粗糙轨道上滑行18
m后速度减小为零．已知物块A、B与粗糙轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.1，取重力加速度大小g＝10
m/s2，物块A、B均可视为质点．求：
(1)物块A滑过竖直圆管轨道最高点Q时受到管壁的弹力；
(2)最终物块A静止的位置到P点的距离．
　如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2
kg的小球P和质量为m＝0.1
kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧(轻弹簧与两小球不拴接)，桌面边缘E处放置一质量也为m＝0.1
kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球P与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D点。已知水平桌面高为h＝0.2
m，D点到桌面边缘的水平距离为x＝0.2
m，重力加速度为g＝10
m/s2，求：
(1)小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小NB′；
(2)小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小vQ；
(3)被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。
题型2
动量与能量观点的综合应用
1．两大观点
动量的观点：动量定理和动量守恒定律．
能量的观点：动能定理和能量守恒定律．
2．解题技巧
(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)．
(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理．
(3)动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处．特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性．
如图所示，在水平面上依次放置小物块C和A以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M＝3m，劈B的曲面下端与水平面相切，且劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起又滑上劈B.重力加速度为g，求：
图2
(1)碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
变式训练1　如图甲所示，半径为R＝0.45
m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道最低点，在光滑水平面上紧挨B点有一静止的平板车，其质量M＝5
kg，长度L＝0.5
m，车的上表面与B点等高，可视为质点的物块从圆弧轨道最高点A由静止释放，其质量m＝1
kg，g取10
m/s2.
(1)求物块滑到B点时对轨道压力的大小；
(2)若平板车上表面粗糙，物块最终没有滑离平板车，求物块最终速度的大小；
(3)若将平板车固定且在上表面铺上一种动摩擦因数逐渐增大的特殊材料，物块在平板车上向右滑动时，所受摩擦力Ff随它距B点位移L的变化关系如图乙所示，物块最终滑离了平板车，求物块滑离平板车时的速度大小．
【变式训练2】如图所示，一小车置于光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，左端栓连物块b，小车质量M=3kg，AO部分粗糙且长L=2m，动摩擦因数μ=0.3，OB部分光滑．另一小物块a．放在车的最左端，和车一起以V0=4m/s的速度向右匀速运动，车撞到固定挡板后瞬间速度变为零，但不与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内．a、b两物块视为质点质量均为m=1kg，碰撞时间极短且不粘连，碰后一起向右运动．（取g=10m/s2）求：
（1）物块a与b碰后的速度大小；
（2）当物块a相对小车静止时小车右端B到挡板的距离；
（3）当物块a相对小车静止时在小车上的位置到O点的距离．
【变式训练3】如图所示，倾角θ＝37°的光滑固定斜面上放有A、B、C三个质量均为m＝0.5
kg的物块(均可视为质点)，A固定，C与斜面底端处的挡板接触，B与C通过轻弹簧相连且均处于静止状态，A、B间的距离d＝3
m，现释放A，一段时间后A与B发生碰撞，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去A，取g＝10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求A与B碰撞前瞬间A的速度大小v0；
(2)若B沿斜面向下运动到速度为零时(此时弹簧仍在弹性限度内)，弹簧的弹性势能增量Ep＝10.8
J，求B沿斜面向下运动的最大距离x；
(3)若C刚好要离开挡板时，B的动能Ek＝8.7
J，求弹簧的劲度系数k。
题型3
力学三大观点解决多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面有关的平抛运动、与圆轨道有关的平抛运动．
2、解题技巧：
多过程问题看似复杂，但一般都可以划分为多段基本运动形式：直线运动、平抛运动、圆周运动。
（1）解题思路：①对于这类问题，首先做受力分析和运动分析，根据受力和运动特点将多过程问题划分为几个基本的力学模型，最好画出草图。
提示：对于比较复杂的多过程运动，例如两个以上物块在木板上的滑动，当速度达到相同时受力特点有可能发生突变，这时要仔细分析临界情况，看是否要划分过程。
然后根据每个过程的特点，结合力学三大观点的选用原则选择合适的力学规律(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律、运动学关系式、动量守恒定律、动量定理)列方程，并注意过程衔接处的物理量关系(如速度大小不变)。
联立方程求解(有些情况需要先计算出一个过程末的物理量，然后再据此重复(1)(2)步骤分析下一个过程列方程求解，层层递进)。
（2）过程等效：根据受力特点，有些多个过程可以简化为一个过程应用力学规律，提高效率。例如物体经过多段光滑轨道，虽然运动规律不同，但可以整体上运用机械能守恒定律；多个物体连续多次碰撞，有时可以看成一个过程运用动量守恒定律。作简化等效处理时要注意细节分析，如几个物体连续碰撞时虽然动量守恒，但可能有机械能损失，这种情况极容易出错。
如图甲所示，足够长的木板C通过某一装置锁定在地面上，物块A、B静止在木板C上，物块A、B间距离为1.1
m。开始时物块A以速度v0＝6
m/s向右运动，物块A在与B碰撞前一段时间内的运动图象如图乙所示。已知物块A、B可视为质点，质量分别为mA＝1
kg、mB＝4
kg，A、B与木板间的动摩擦因数相同，木板C的质量为mC＝1
kg，C与地面间的动摩擦因数为。A与B弹性碰撞过程时间极短、可忽略摩擦力的影响，A、B碰撞瞬间木板C解除锁定。重力加速度取10
m/s2。求：
(1)物块与木板间的动摩擦因数；
(2)碰撞后瞬间物块A的速度；
(3)最后停止时物块A、B间的距离(结果保留两位小数)。
【变式训练1】如图4所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到出发点A.已知男演员质量为2m、女演员质量为m，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
图4
(1)摆到最低点B，女演员未推男演员时秋千绳的拉力大小；
(2)推开过程中，女演员对男演员做的功；
(3)男演员落地点C与O点的水平距离s.
变式训练2　如图5所示，光滑的水平桌面高h＝5
m，桌面上有两个质量分别为mA＝5
kg、mB＝1
kg的小球A、B，它们之间有一个压缩的轻弹簧(弹簧长度很短、与两小球没有拴接)，B球通过一个长L＝0.5
m、竖直绷紧的轻绳挂在B的正上方O点．现同时由静止释放两小球，已知B球以后恰好在竖直平面内做完整的圆周运动．不计空气阻力．g＝10
m/s2，求：
(1)小球A落地时距桌面边缘的水平距离x；
(2)最初弹簧储存的弹性势能Ep.
【变式训练3】如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1
kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2
m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3
kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4
m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10
m/s2.求：
(1)小物块到达C点时的速度大小；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大．
【变式训练4】
如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水平地面在P点相切，一个质量为2m的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左端固定有水平轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的左端点，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙、动摩擦因数为μ＝0.5，Q点右侧水平地面光滑，现将质量为m的物块A(可视为质点)从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g.求：
(1)物块A沿圆弧轨道滑至P点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A最终停止位置到Q点的距离．
1．(2019·湖南岳阳模拟)如图所示，一块足够长的木板C质量为4m，放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有A、B两个完全相同的炭块(在木板上滑行时能留下痕迹)，两炭块质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ，开始时木板静止不动，A、B两炭块的初速度分别为v0、2v0，方向如图所示，A、B两炭块相距足够远。求：
(1)木板的最终速度；
(2)木块A在整个过程中的最小速度；
(3)A、B两炭块在木板上所留痕迹的长度之和。
2．如图a所示，轻质弹簧左端固定在墙上，自由状态时右端在C点，C点左侧地面光滑、右侧地面粗糙。用可视为质点的质量为m＝1
kg的物体A将弹簧压缩至O点并锁定。以O点为原点建立坐标轴。现用水平向右的拉力F作用于物体A，同时解除弹簧锁定，使物体A做匀加速直线运动，拉力F随位移x变化的关系如图b所示，运动到0.225
m处时，撤去拉力F。
(1)求物体A与粗糙地面间的动摩擦因数以及向右运动至最右端的位置D点的坐标；
(2)若在D点给物体A一向左的初速度，物体A恰好能将弹簧压缩至O点，求物体A到C点时的速度；
(3)质量为M＝3
kg的物体B在D点与静止的物体A发生弹性正碰，碰后物体A向左运动并恰能压缩弹簧到O点，求物体B与A碰撞前的瞬时速度。
3．一质量M＝2
kg的长木板B静止在光滑的水平面上，B的右端与竖直挡板的距离为s＝0.5
m。一个质量为m＝1
kg的小物体A以初速度v0＝6
m/s从B的左端水平滑上B，当B与竖直挡板每次碰撞时，A都没有到达B的右端。
设物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ＝0.2，B与竖直挡板碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，g取10
m/s2。求：
(1)B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度值各是多少？
(2)最后要使A不从B上滑下，木板B的长度至少是多少？(最后结果保留三位有效数字)
(2019·全国卷Ⅰ·25)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v?t图象如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
(1)求物块B的质量；
(2)在图(b)所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
2.(2019·全国卷Ⅲ·25)静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA＝1.0
kg，mB＝4.0
kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0
m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek＝10.0
J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.20。重力加速度取g＝10
m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
3.(2016·全国卷Ⅲ)如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g，求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
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《动量守恒定律》复习导学案
《动量
动量守恒定理》复习导学案
高考命题分析
1.理解冲量和动量。通过理论推导和实验，理解动量定理和
动量守恒定律，能用其解释生产生活中的有关现象。知道动量守恒定律的普适性。
2.体会用守恒定律分析物理问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
内容
要求
动量、动量定理、动量守恒定律及其应用
Ⅱ
弹性碰撞和非弹性碰撞
Ⅰ
1、考情统计
真题
涉分
考点
题型
难度
设题情境
思想方法
素养要求
动量、动量定理
动量守恒定律及其应用
2020课标卷Ⅱ，21
6
动量守恒
选择
难
运动员与滑块
分析综合
模型建构
2020课标卷Ⅲ，25
6
动量定理
计算
难
滑块
分析综合
模型建构
2019课标Ι.16
6
动量定理
选择
易
流体问题
运动建模
模型建构
2019课标Ι,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
斜面与碰撞
分析综合
科学性理、
科学论证
2019课标Ⅲ
,25
6
动量中恒定律与机械能守恒定律的综合应用
计算
难
“弹簧-滑块”模型
分析综合
模型建构
科单推理
2018课标Ⅰ，14
6
功量
选择
易
列车启动
科学推理
2018课标Ⅰ，24
6
动量与能量
计算
中
烟花爆炸
科学论证
2018课标Ⅱ，15
6
动量定理
选择
中
高空业物
估算法
能量现为
2018课标Ⅱ,24
6
动量守恒
计算
局
汽车碰撞
模型法
科学论证
2017课标Ⅰ,14
6
反冲运动
选择
易
火箭点火
模型法
科学论证
2017课标Ⅱ，15
6
动量守恒
选择
中
衰变
模型法
运动与相互作用
2016课标Ⅰ,35(2)
5
动量定理
计算
中
喷泉顶物
图数法
科学推理、科学论证
2016课标Ⅱ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
冰块滑行
科学推理、科学论证
2016课标Ⅲ,35(1)
5
动量守恒
选择
中
原子俘获
模型建构、科学论证
2016课标
Ⅲ,35(2)
5
动量与能量
计算
中
两物碰撞
极值法
科学推理、科学论证
2.考查方式
从前几年命题规律来看，应用碰撞或反冲运动模型，以计算题的形式考查动量和能量观点的综合应用。
3.命题趋势
由于动量守恒定律作为必考内容，因此综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点，既可以将动量与力学知识结合，也可将动量和电学知识结合，作为理综试卷压轴计算题进行命题。
4、备考建议
（1）因本专题涉及考点较多，但难度不大，大多为直接考查属于理解和记忆的相关考点，故在复习中常回头看看。
（2）涉及物理学史的选择题为易错题，在复习备考中，要将人和事的关系对应关系规律化。
专题强化
动力学
、动量和能量观点在力学中的应用
　
本热点是力学三大观点在力学中的综合应用，高考将作为计算题、压轴题的形式命题。
学好本热点，可以帮助同学们熟练应用力学三大观点分析和解决综合问题。（3）用到的知识、规律和方法有：动力学观点(牛顿运动定律和运动学基本规律)，动量观点(动量定理和动量守恒定律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律)。
一、解决力学问题的三个基本观点
动力学观点
用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题和圆周运动问题
能量观点
用动能定理和能量守恒知识解题，可处理非匀变速运动问题
动量观点
用动量定理和动量守恒定律解题，可处理非匀变速运动问题
综合问题要综合运用上述三种观点的多个规律，才能顺利求解。
二、力的三个作用效果与五个规律
分类
对应规律
公式表达
力的瞬时作用效果
牛顿第二定律
F合＝ma
力对空间积累效果
动能定理
W合＝ΔEk
W合＝mv22－mv12
机械能守恒定律
E1＝E2
mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
力对时间积累效果
动量定理
F合t＝p′－p
I合＝Δp
动量守恒定律
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
三、力学三大观点的选用原则
1、求解物体某一时刻受力及加速度时，可用牛顿第二定律或运动学公式列式解决。
2、研究某一物体受到力的持续作用，运动状态发生改变的问题时，在涉及时间和速度，不涉及位移和加速度时要首先考虑选用动量定理；在涉及位移、速度，不涉及时间和加速度时要首先考虑选用动能定理。
3、若研究的对象为相互作用的物体组成的系统，一般考虑用机械能守恒定律和动量守恒定律解决，但要仔细分析研究的过程是否符合守恒条件。
4、在涉及相对位移问题时应优先考虑选用能量守恒定律，即滑动摩擦力与相对位移的乘积等于系统机械能的减少量，也等于系统产生的内能。
5、涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象的问题，通常可选用动量守恒定律，但须注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化。
四．用力学三大观点解题的步骤
1、认真审题，明确题目所述的物理情境，确定研究对象。
2、分析研究对象的受力情况、运动状态以及运动状态的变化过程，作出草图。
3、根据运动状态的变化规律确定解题观点，选择适用规律。
①若用动力学的观点解题，要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度。
②若用两大定理求解，应确定过程的始、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)。
③若可判断研究对象在某运动过程中满足动量守恒或机械能守恒的条件，则可根据题意选择合适的始、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求研究对象在末状态时的速度(率)。
4、根据选择的规律列式，有时还需要挖掘题目中的其他条件(如隐含条件、临界条件、几何关系等)并列出辅助方程。
5、代入数据，计算结果。
题型1
动量与动力学观点的综合应用
　如图甲所示，质量均为m＝0.5
kg的相同物块P和Q(可视为质点)分别静止在水平地面上A、C两点．P在按图乙所示随时间变化的水平力F作用下由静止开始向右运动，3
s末撤去力F，此时P运动到B点，之后继续滑行并与Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短．已知B、C两点间的距离L＝3.75
m，P、Q与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g＝10
m/s2，求：
(1)P到达B点时的速度大小v及其与Q碰撞前瞬间的速度大小v1；
(2)Q运动的时间t.
变式训练1　质量为m1＝1
200
kg的汽车A以速度v1＝21
m/s沿平直公路行驶时，驾驶员发现前方不远处有一质量m2＝800
kg的汽车B以速度v2＝15
m/s迎面驶来，两车立即同时急刹车，使车做匀减速运动，但两车仍在开始刹车t＝1
s后猛烈地相撞，相撞后结合在一起再滑行一段距离后停下，设两车与路面间的动摩擦因数μ＝0.3，取g＝10
m/s2，忽略碰撞过程中路面摩擦力的冲量，求：
(1)两车碰撞后刚结合在一起时的速度大小；
(2)设两车相撞时间(从接触到一起滑行)t0＝0.2
s，则A车受到的水平平均冲力是其自身重力的几倍；
(3)两车一起滑行的距离．
变式训练2　汽车A在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m．已知A和B的质量分别为2.0×103
kg和1.5×103
kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10
m/s2.求：
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小．
【变式训练3】
如图所示，带有圆管轨道的长轨道水平固定，圆管轨道竖直(管内直径可以忽略)，底端分别与两侧的直轨道相切，圆管轨道的半径
R＝0.5
m，P点左侧轨道(包括圆管)光滑，右侧轨道粗糙．质量m＝1
kg的物块A以v0＝10
m/s的速度滑入圆管，经过竖直圆管轨道后与直轨道上P处静止的质量M＝2
kg的物块B发生碰撞(碰撞时间极短)，碰后物块B在粗糙轨道上滑行18
m后速度减小为零．已知物块A、B与粗糙轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.1，取重力加速度大小g＝10
m/s2，物块A、B均可视为质点．求：
(1)物块A滑过竖直圆管轨道最高点Q时受到管壁的弹力；
(2)最终物块A静止的位置到P点的距离．
　如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2
kg的小球P和质量为m＝0.1
kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧(轻弹簧与两小球不拴接)，桌面边缘E处放置一质量也为m＝0.1
kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球P与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D点。已知水平桌面高为h＝0.2
m，D点到桌面边缘的水平距离为x＝0.2
m，重力加速度为g＝10
m/s2，求：
(1)小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小NB′；
(2)小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小vQ；
(3)被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。
题型2
动量与能量观点的综合应用
1．两大观点
动量的观点：动量定理和动量守恒定律．
能量的观点：动能定理和能量守恒定律．
2．解题技巧
(1)若研究对象为一个系统，应优先考虑应用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)．
(2)若研究对象为单一物体，且涉及功和位移问题时，应优先考虑动能定理．
(3)动量守恒定律、能量守恒定律(机械能守恒定律)、动能定理都只考查一个物理过程的初、末两个状态有关物理量间的关系，对过程的细节不予细究，这正是它们的方便之处．特别对于变力做功问题，就更显示出它们的优越性．
如图所示，在水平面上依次放置小物块C和A以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M＝3m，劈B的曲面下端与水平面相切，且劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起又滑上劈B.重力加速度为g，求：
图2
(1)碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
变式训练1　如图甲所示，半径为R＝0.45
m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道最低点，在光滑水平面上紧挨B点有一静止的平板车，其质量M＝5
kg，长度L＝0.5
m，车的上表面与B点等高，可视为质点的物块从圆弧轨道最高点A由静止释放，其质量m＝1
kg，g取10
m/s2.
(1)求物块滑到B点时对轨道压力的大小；
(2)若平板车上表面粗糙，物块最终没有滑离平板车，求物块最终速度的大小；
(3)若将平板车固定且在上表面铺上一种动摩擦因数逐渐增大的特殊材料，物块在平板车上向右滑动时，所受摩擦力Ff随它距B点位移L的变化关系如图乙所示，物块最终滑离了平板车，求物块滑离平板车时的速度大小．
【变式训练2】如图所示，一小车置于光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，左端栓连物块b，小车质量M=3kg，AO部分粗糙且长L=2m，动摩擦因数μ=0.3，OB部分光滑．另一小物块a．放在车的最左端，和车一起以V0=4m/s的速度向右匀速运动，车撞到固定挡板后瞬间速度变为零，但不与挡板粘连．已知车OB部分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内．a、b两物块视为质点质量均为m=1kg，碰撞时间极短且不粘连，碰后一起向右运动．（取g=10m/s2）求：
（1）物块a与b碰后的速度大小；
（2）当物块a相对小车静止时小车右端B到挡板的距离；
（3）当物块a相对小车静止时在小车上的位置到O点的距离．
【变式训练3】如图所示，倾角θ＝37°的光滑固定斜面上放有A、B、C三个质量均为m＝0.5
kg的物块(均可视为质点)，A固定，C与斜面底端处的挡板接触，B与C通过轻弹簧相连且均处于静止状态，A、B间的距离d＝3
m，现释放A，一段时间后A与B发生碰撞，A、B的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去A，取g＝10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求A与B碰撞前瞬间A的速度大小v0；
(2)若B沿斜面向下运动到速度为零时(此时弹簧仍在弹性限度内)，弹簧的弹性势能增量Ep＝10.8
J，求B沿斜面向下运动的最大距离x；
(3)若C刚好要离开挡板时，B的动能Ek＝8.7
J，求弹簧的劲度系数k。
题型3
力学三大观点解决多过程问题
1．表现形式
(1)直线运动：水平面上的直线运动、斜面上的直线运动、传送带上的直线运动．
(2)圆周运动：绳模型圆周运动、杆模型圆周运动、拱形桥模型圆周运动．
(3)平抛运动：与斜面有关的平抛运动、与圆轨道有关的平抛运动．
2、解题技巧：
多过程问题看似复杂，但一般都可以划分为多段基本运动形式：直线运动、平抛运动、圆周运动。
（1）解题思路：①对于这类问题，首先做受力分析和运动分析，根据受力和运动特点将多过程问题划分为几个基本的力学模型，最好画出草图。
提示：对于比较复杂的多过程运动，例如两个以上物块在木板上的滑动，当速度达到相同时受力特点有可能发生突变，这时要仔细分析临界情况，看是否要划分过程。
然后根据每个过程的特点，结合力学三大观点的选用原则选择合适的力学规律(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿运动定律、运动学关系式、动量守恒定律、动量定理)列方程，并注意过程衔接处的物理量关系(如速度大小不变)。
联立方程求解(有些情况需要先计算出一个过程末的物理量，然后再据此重复(1)(2)步骤分析下一个过程列方程求解，层层递进)。
（2）过程等效：根据受力特点，有些多个过程可以简化为一个过程应用力学规律，提高效率。例如物体经过多段光滑轨道，虽然运动规律不同，但可以整体上运用机械能守恒定律；多个物体连续多次碰撞，有时可以看成一个过程运用动量守恒定律。作简化等效处理时要注意细节分析，如几个物体连续碰撞时虽然动量守恒，但可能有机械能损失，这种情况极容易出错。
如图甲所示，足够长的木板C通过某一装置锁定在地面上，物块A、B静止在木板C上，物块A、B间距离为1.1
m。开始时物块A以速度v0＝6
m/s向右运动，物块A在与B碰撞前一段时间内的运动图象如图乙所示。已知物块A、B可视为质点，质量分别为mA＝1
kg、mB＝4
kg，A、B与木板间的动摩擦因数相同，木板C的质量为mC＝1
kg，C与地面间的动摩擦因数为。A与B弹性碰撞过程时间极短、可忽略摩擦力的影响，A、B碰撞瞬间木板C解除锁定。重力加速度取10
m/s2。求：
(1)物块与木板间的动摩擦因数；
(2)碰撞后瞬间物块A的速度；
(3)最后停止时物块A、B间的距离(结果保留两位小数)。
【变式训练1】如图4所示，一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到出发点A.已知男演员质量为2m、女演员质量为m，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R.不计空气阻力，重力加速度为g，求：
图4
(1)摆到最低点B，女演员未推男演员时秋千绳的拉力大小；
(2)推开过程中，女演员对男演员做的功；
(3)男演员落地点C与O点的水平距离s.
变式训练2　如图5所示，光滑的水平桌面高h＝5
m，桌面上有两个质量分别为mA＝5
kg、mB＝1
kg的小球A、B，它们之间有一个压缩的轻弹簧(弹簧长度很短、与两小球没有拴接)，B球通过一个长L＝0.5
m、竖直绷紧的轻绳挂在B的正上方O点．现同时由静止释放两小球，已知B球以后恰好在竖直平面内做完整的圆周运动．不计空气阻力．g＝10
m/s2，求：
(1)小球A落地时距桌面边缘的水平距离x；
(2)最初弹簧储存的弹性势能Ep.
【变式训练3】如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1
kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2
m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3
kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4
m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10
m/s2.求：
(1)小物块到达C点时的速度大小；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大．
【变式训练4】
如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水平地面在P点相切，一个质量为2m的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左端固定有水平轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的左端点，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙、动摩擦因数为μ＝0.5，Q点右侧水平地面光滑，现将质量为m的物块A(可视为质点)从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g.求：
(1)物块A沿圆弧轨道滑至P点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A最终停止位置到Q点的距离．
1．(2019·湖南岳阳模拟)如图所示，一块足够长的木板C质量为4m，放在光滑的水平面上，在木板上自左向右放有A、B两个完全相同的炭块(在木板上滑行时能留下痕迹)，两炭块质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ，开始时木板静止不动，A、B两炭块的初速度分别为v0、2v0，方向如图所示，A、B两炭块相距足够远。求：
(1)木板的最终速度；
(2)木块A在整个过程中的最小速度；
(3)A、B两炭块在木板上所留痕迹的长度之和。
解析　(1)选A、B、C整体为研究对象，由动量守恒定律可得：
mv0＋m·2v0＝(m＋m＋4m)v
解得：v＝0.5v0。
(2)A、B做匀减速直线运动的加速度大小a＝＝μg
A、B都滑动时，木板的加速度大小a′＝＝μg。
因为A的初速度较小，A与木板先达到共同速度，A与木板达到共同速度后，再与木板一起做匀加速直线运动，可知A与木板速度相同时，速度最小。设此过程经历时间为t，
则：v0－at＝a′t，
解得：t＝，
则A的最小速度vmin＝v0－at＝v0。
(3)全过程根据能量守恒定律得：
μmgx＝mv＋m·(2v0)2－·6mv2
解得：x＝。
2．如图a所示，轻质弹簧左端固定在墙上，自由状态时右端在C点，C点左侧地面光滑、右侧地面粗糙。用可视为质点的质量为m＝1
kg的物体A将弹簧压缩至O点并锁定。以O点为原点建立坐标轴。现用水平向右的拉力F作用于物体A，同时解除弹簧锁定，使物体A做匀加速直线运动，拉力F随位移x变化的关系如图b所示，运动到0.225
m处时，撤去拉力F。
(1)求物体A与粗糙地面间的动摩擦因数以及向右运动至最右端的位置D点的坐标；
(2)若在D点给物体A一向左的初速度，物体A恰好能将弹簧压缩至O点，求物体A到C点时的速度；
(3)质量为M＝3
kg的物体B在D点与静止的物体A发生弹性正碰，碰后物体A向左运动并恰能压缩弹簧到O点，求物体B与A碰撞前的瞬时速度。
解析　(1)由于物体A做匀加速直线运动，结合图象分析可知，
在C点：FC＝5
N＝ma
解得：a＝5
m/s2
在C点右侧：F－μmg＝ma，F＝10
N
解得：μ＝0.5
从O到C点，物体做匀加速运动，则：v＝2axOC
解得：vC＝1
m/s
从C到D的过程中，由动能定理得：
Fx1－μmg·xCD＝0－mv
其中x1＝0.225
m－0.1
m＝0.125
m
解得：xCD＝0.35
m
则D点坐标为：xD＝xOC＋xCD＝0.45
m。
(2)物体A将弹簧由C点压缩至O点的过程，由动能定理得：－W弹＝0－mv
物体从O到C，由动能定理得：W弹＋WF＝mv－0
其中WF＝xOC
联立解得：vC1＝
m/s。
(3)设B碰前速度为v0，碰后速度为v1；碰后A的速度为v2，则：
Mv0＝Mv1＋mv2
Mv＝Mv＋mv
物体A从D到C过程中，由动能定理：
－μmgxCD＝mv－mv
联立解得：v0＝
m/s。
3．一质量M＝2
kg的长木板B静止在光滑的水平面上，B的右端与竖直挡板的距离为s＝0.5
m。一个质量为m＝1
kg的小物体A以初速度v0＝6
m/s从B的左端水平滑上B，当B与竖直挡板每次碰撞时，A都没有到达B的右端。
设物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ＝0.2，B与竖直挡板碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，g取10
m/s2。求：
(1)B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度值各是多少？
(2)最后要使A不从B上滑下，木板B的长度至少是多少？(最后结果保留三位有效数字)
解析　(1)假设B与挡板碰撞前已与A达到共速，设A、B达到共同速度v1时，B向右运动的距离为s1，则
由动量守恒定律有：mv0＝(M＋m)v1
对B，由动能定理有：μmgs1＝Mv
联立解得：s1＝2
m
由于s＝0.5
m<2
m，可知B与挡板碰撞时，A、B还未达到共同速度，即假设不成立。设B与挡板碰撞前瞬间A的速度为vA，B的速度为vB，则
由动量守恒定律有：mv0＝mvA＋MvB
对B，由动能定理有：μmgs＝Mv
联立解得：vA＝4
m/s，vB＝1
m/s
(2)B与挡板第一次碰后向左减速运动，当B速度减为零时，设B向左运动的距离为sB，
由动能定理有：μmgsB＝Mv
由上式解得：sB＝0.5
m
在A的作用下B再次向右运动，假设B与挡板碰撞前A、B已共速，设当A、B向右运动达到共同速度v2时B向右运动距离为s2，
由动量守恒定律有：mvA－MvB＝(M＋m)v2
对B，由动能定理有：μmgs2＝Mv
解得：v2＝
m/s，s2＝
mA、B以共同速度
m/s向右运动，B第二次与挡板碰撞后，以原速率反弹向左运动。此后由于系统的总动量向左，故最后A、B将以共同速度v3向左匀速运动。
由动量守恒定律有：(M－m)v2＝(M＋m)v3
解得：v3＝
m/s
设A在B上运动的总路程为L(即木板B的最小长度)，对A、B组成的系统由功能关系得：μmgL＝mv－(M＋m)v
代入数据解得：L≈8.96
m。
(2019·全国卷Ⅰ·25)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图甲示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v?t图象如图乙所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
(1)求物块B的质量；
(2)在图(b)所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
解析：(1)根据题图乙，v1为物块A在碰撞前瞬间速度的大小，为其碰撞后瞬间速度的大小。设物块B的质量为m′，碰撞后瞬间的速度大小为v′。由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv1＝m＋m′v′①
mv＝m2＋m′v′2②
联立①②式得m′＝3m③
(2)在题图乙所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为Ff，下滑过程中所走过的路程为x1，返回过程中所走过的路程为x2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦力所做的功为W。由动能定理有
mgH－Ffx1＝mv－0④
－(Ffx2＋mgh)＝0－m2⑤
从题图乙所给出的v
?t图线可知
x1＝v1t1⑥
x2＝··(1.4t1－t1)⑦
由几何关系＝⑧
物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功为
W＝Ffx1＋Ffx2⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得W＝mgH
（3）设倾斜轨道倾角为θ，物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为μ，有
W＝μmgcos
θ·?
设物块B在水平轨道上能够滑行的距离为x′，由动能定理有
－μm′gx′＝0－m′v′2?
设改变后的动摩擦因数为μ′，由动能定理有
mgh－μ′mgcos
θ·－μ′mgx′＝0?
联立①③④⑤⑥⑦⑧???式可得
＝?
2.(2019·全国卷Ⅲ·25)静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA＝1.0
kg，mB＝4.0
kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0
m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek＝10.0
J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.20。重力加速度取g＝10
m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
解析：(1)设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有0＝mAvA－mBvB①
Ek＝mAv＋mBv②
联立①②式并代入题给数据得
vA＝4.0
m/s，vB＝1.0
m/s③
(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的距离为xB，则有mBa＝μmBg④
xB＝vBt－at2⑤
vB－at＝0⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程xA都可表示为xA＝vAt－at2⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
xA＝1.75
m，xB＝0.25
m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25
m处。B位于出发点左边0.25
m处，两物块之间的距离x为x＝0.25
m＋0.25
m＝0.50
m⑨
(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
mAvA′2－mAv
A2＝－μmAg(2l＋xB)
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
vA′＝
m/s?
故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA″和vB″，由动量守恒定律与机械能守恒定律有mA(－vA′)＝mAvA″＋mBvB″?
mAvA′2＝mAvA″2＋mBvB″2?
联立???式并代入题给数据得
vA″＝
m/s，vB″＝－
m/s?
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为xA′时停止，B向左运动距离为xB′时停止，由运动学公式
2axA′＝vA″2,2axB′＝vB″2?
由④??式及题给数据得
xA′＝0.63
m，xB′＝0.28
m?
xA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离x′＝xA′＋xB′＝0.91
m
?
3.(2016·全国卷Ⅲ)如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度v0向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞。重力加速度大小为g，求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件。
解析：　设物块与地面间的动摩擦因数为μ，若要物块a、b能够发生碰撞，应有
mv＞μmgl①
即μ＜②
设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间a的速度大小为v1。由能量守恒有
mv＝mv＋μmgl③
设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有
mv1＝mv1′＋mv2′④
mv＝mv1′2＋(m)v2′2⑤
联立④⑤式解得v2′＝v1⑥
由题意知，b没有与墙发生碰撞，由功能关系可知(m)v2′2≤μmgl⑦
联立③⑥⑦式，可得μ≥⑧
联立②⑧式，a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞的条件≤μ＜⑨
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